Razão

Pré-calculo - Um Livro Colaborativo

D.1 Razão

A razão é utilizada para comparar duas grandezas, esta comparação é feita através do quociente entre as grandezas. Dadas duas grandezas $a$ e $b$ quaisquer, com $b \neq 0$ , o quociente entre $a$ e $b$ é o resultado da divisão de $a$ por $b$ , que pode ser representado pela fração $(a ∕ b)$ , ou pela divisão $a : b$ . Normalmente é denotada por razão de $a$ para $b$ .

O próximo exemplo mostra como podemos utilizar a teoria de razão para melhor avaliar como iremos investir nosso dinheiro.

Exemplo D.1.1. Maria Clara vendeu seu apartamento e aplicou R$ 8000,00 numa caderneta de poupança, ao ﬁnal de um ano este valor rendeu R$ 960,00. No mesmo período, ela aplicou R$ 5000,00 num fundo de investimento que rendeu R$ 800,00. Qual das duas aplicações teve maior rentabilidade?

Resolução:

Em termos absolutos, o rendimento da caderneta foi maior.

Em termos relativos:

a rentabilidade da caderneta foi de $\frac{960}{8000} = \frac{12}{100} = 12 %$ ,

e a do fundo foi de $\frac{800}{5000} = \frac{16}{100} = 16 %$ .

Portanto a rentabilidade do fundo foi maior.

$□$

A seguir temos um exemplo de como a teoria de razão poder ser cobrada em concurso, e de como ela aparece em seu dia-a-dia.

Exemplo D.1.2 (Comperve - 2018). Um idoso foi a uma farmácia com a prescrição de um medicamento da marca $X$ cuja caixa com $30$ comprimidos custa $R $ 60, 00$ . O farmacêutico, então, lhe apresentou a opção de um medicamento similar da marca $A$ cuja caixa com $20$ comprimidos custa $R $ 35, 00$ . Havia também um medicamento da marca $B$ , com mesmo princípio ativo, no valor de $R $ 25, 00$ e cuja caixa contém $15$ comprimidos. Em relação à essas opções de compra, conclui-se que

a): a caixa do medicamento da marca B é a que apresenta o menor valor por comprimido.
b): a caixa do medicamento da marca A é a que apresenta maior valor por comprimido.
c): o valor de cada comprimido é o mesmo independente da escolha da marca.
d): cada comprimido do medicamento da marca A custa o dobro do comprimido da marca B.

Resolução:

Note que o valor de cada comprimido da caixa $(V_{c})$ é dado pela razão:

V_{c} = \frac{valor da caixa}{quantidade de comprimidos},

(D.1)

consideremos então as seguintes razões:

para a marca $X$ temos:

V_{c_{x}} = \frac{valor da caixa da marca X}{quantidade de comprimidos da marca X} = \frac{60}{30} = 2,

(D.2)

para a marca $A$ temos:

V_{c_{A}} = \frac{valor da caixa da marca A}{quantidade de comprimidos da marca A} = \frac{35}{20} = \frac{7}{4} = 1, 75,

(D.3)

para a marca $B$ temos:

V_{c_{B}} = \frac{valor da caixa da marca B}{quantidade de comprimidos da marca B} = \frac{25}{15} = \frac{5}{3} = 1, 66 \dots .

(D.4)

Portanto, cada comprimido da marca $X$ custa $R $ 2, 00$ , cada comprimido da marca $A$ custa $R $ 1, 75$ e cada comprimido da marca $B$ custa $R $ 1, 67$ , donde concluímos que a resposta da questão é o item a).

$□$

D.1.1 Algumas razões especiais

Escala: Quando construímos mapas ou plantas baixas de lugares sempre representamos as medidas das distâncias em escala menor que a real. A escala é por deﬁnição dada pela seguinte razão:

Escala = \frac{Medida no mapa}{Medida real} (ambos na mesma unidade de medida)

(D.5)

Velocidade Média: É a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso. A velocidade média será sempre acompanhada de uma unidade, que depende das unidades escolhidas para calcular distância e tempo. Por convenção, no sistema internacional de medidas, para o cálculo da velocidade sempre trabalhamos com distância em quilômetros $(k m)$ ou metros $(m)$ e com tempo em horas $(h)$ ou segundos $(s)$ , assim as unidades de medida para a velocidade média são $k m ∕ h$ ou $m ∕ s$ . A velocidade média é dada pela razão:

Velocidade média = \frac{Distância percorrida}{Tempo total de percurso}

(D.6)

Densidade de um corpo: A densidade de um corpo é a razão entre a sua massa e o seu volume. A densidade também será sempre acompanhada de uma unidade, que depende das unidades escolhidas para medir a massa e o volume. Alguns exemplos de unidades para a densidades são $g ∕ c m^{3}$ , $k g ∕ m^{3}$ etc.

Densidade de um corpo = \frac{Massa do corpo}{Volume do corpo}

(D.7)

Densidade demográﬁca: A densidade demográﬁca é a razão entre o número de habitantes de uma região e sua área.

Densidade demográﬁca = \frac{Número de habitantes}{Área}

(D.8)

Por exemplo, a densidade demográﬁca do Brasil segundo a Wikipédia é de 23,8 habitantes por quilômetro quadrado $(k m^{2})$ .

Relação candidato/vaga: Está presente em todos os concursos e vestibulares e dá aos candidatos uma ideia do quão concorrido está o concurso em questão, esta relação que norteia os candidatos, dando a eles uma ideia do quanto precisam estudar é dada pela seguinte razão:

Relação candidato/vaga = \frac{Número de candidatos}{Número de vagas}

(D.9)

Exemplo D.1.3. Após uma pesquisa rápida no Google sobre os concursos mais concorridos me deparei com o concurso de 2012 do Departamento da Polícia Federal para Agente da Polícia Federal, o qual possuía 500 vagas e contou com 107799 inscritos tendo portanto a seguinte relação candidato/vaga:

Relação candidato/vaga = \frac{Número de candidatos}{Número de vagas} = \frac{107799}{500} = 215, 598

(D.10)

ou seja, tinham aproximadamente $215, 6$ pessoas concorrendo a uma vaga neste concurso.

$□$

Exemplo D.1.4 (FGV - 2014). Certa rua da cidade de João Pessoa tem $450 m$ de comprimento e aparece em um mapa com comprimento de $3 c m$ . A escala desse mapa é:

a) $1 : 15$ b) $1 : 150$ c) $1 : 1500$ d) $1 : 15000$ e) $1 : 150000$

Resolução:

O primeiro passo da resolução desta questão é transformar os $450 m$ em centímetros, lembramos que um metro possui 100cm, logo $450 m = 450 * 100 c m = 45000 c m$ .

Como $450 m$ de comprimento é representado em um mapa com comprimento de $3 c m$ , temos que neste mapa a escala é de:

\frac{3}{45000} = \frac{1}{15000} \Rightarrow 1 : 15000 .

(D.11)

$□$

Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 18/7/2022 às 10:54:49.

Recursos

Projeto

IME - UFRGS
- Página do IME
- Página da UFRGS

UFRGS - IME - Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Contato: reamat@ufrgs.br.

Informe erros ou edite você mesmo!