1.3 Conjunto das partes

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Dado um conjunto $A$, o conjunto das partes de $A$, denotado por $\mathcal{𝒫}\left(A\right)$, é o conjunto de todos os subconjuntos de $A$, ou seja,

$$\mathcal{𝒫}\left(A\right)=\left\{X\mid X\text{ é um subconjunto de }A\right\}.$$

(1.5)

Dado um conjunto $A$ qualquer, precisamos ficar atentos a duas coisas:

• O conjunto $\varnothing$ sempre está no conjunto das partes de $A$, pois $\varnothing \subset A$;
• O conjunto $A$ sempre está no conjunto das partes de $A$, pois $A\subset A$.

Portanto, $\varnothing \in \mathcal{𝒫}\left(A\right)$ e $A\in \mathcal{𝒫}\left(A\right)$.

E como sabemos se este conjunto acima contém, de fato, todos os subconjuntos do conjunto $A$? Podemos verificar isso utilizando a seguinte propriedade do conjunto das partes:

Demonstração:  Nesta demonstração utilizaremos o princípio fundamental da contagem para contar quantos subconjuntos um conjunto $A$ com $n$ elementos tem.

Para começar, considere um subconjunto $B$ qualquer de $A$. Observe que para cada um dos $n$ elementos de $A$, só existem duas possibilidades:

• Ou o elemento pertence ao subconjunto $B$;
• Ou o elemento não pertence ao subconjunto $B$.

Logo, pelo princípio fundamental da contagem, nós podemos montar o conjunto $B$ de

$$\underset{nvezes}{\underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdots 2}}=2^n$$

(1.8)

maneiras diferentes.

Portanto, há $2^n$ subconjuntos de $A$ em $\mathcal{𝒫}\left(A\right)$. _

No Exemplo 1.3.1, temos que $\#A=3$. Logo, aplicando esta propriedade, obtemos que $\#\mathcal{𝒫}\left(A\right)=2^3=8$, que é exatamente a quantidade de elementos que listamos no conjunto $\mathcal{𝒫}\left(A\right)$. Podemos com isso concluir que estes são todos os subconjuntos do conjunto $A$ que existem, isto é, o conjunto $\mathcal{𝒫}\left(A\right)$ está completo.