Definição 5.1.1. Define-se a potência média de um função periódica $f\left(t\right)$ como

Exemplo 5.1.1. A potência média da função $f\left(t\right)=A\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)$ é dada por $$\begin{array}{rcll}{\overline{P}}_f& =& \frac{1}{T}{\int \; <!--nolimits-->}_0^T|f\left(t\right){|}^{2}dt& \\ & =& \frac{1}{T}{\int \; <!--nolimits-->}_0^T{A}^2\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->{\left(\frac{2\pi }{T}t\right)}^{2}dt& \\ & =& \frac{A^2}{T}{\int \; <!--nolimits-->}_0^T\left(\frac{\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(\frac{4\pi }{T}t\right)+1}{2}\right)dt& \\ & =& \frac{A^2}{2}& \end{array}$$

onde se usou que $w=\frac{2\pi }{T}$ e identidade trigonométrica dada por:

Exemplo 5.1.2. Seja $V\left(t\right)=A\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)$ uma fonte de tensão com frequência $w=60$ Hz $=120\pi$ rad/s ligado a um resistor de resitência $R\Omega$. A potência no resistor é

e a potência média $P_m$ é

onde $T=\frac{1}{60}s$. Por outro lado, a potência média é calculada em termos da tensão média por

ou seja,

O exemplo 5.1.1 nos dá o valor da potência média do sinal $V\left(t\right)=A\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)$. Logo,

Se $V_m=127V$, então a amplitude do sinal é aproximadamente $A\approx 180$.

Observação 5.1.1. Na expressão (5.6), $V_m$ também é chamado de valor RMS do sinal $v\left(t\right)$ (Root mean square):

Teorema 5.1.1 (Teorema de Parseval). Seja $f\left(t\right)$ uma função periódica representável por uma série de Fourier, então vale a seguinte identidade.

Exemplo 5.1.3. Seja $g\left(t\right)$ um função dada no exemplo 3.2.3, isto é, $$\begin{array}{rcll}g\left(t\right)& =& -1,-1<t<0& \\ g\left(t\right)& =& 0,t=0out=1& \\ g\left(t\right)& =& 1,0<t<1& \\ g\left(t+2\right)& =& g\left(t\right),\forall <!--FUNCTION\; APPLICATION-->t\in ℝ.& \end{array}$$

Vimos no exemplo 3.2.3 que sua expansão em série de Fourie é da forma:

Calcularemos agora a potência média desta função através de sua representação no tempo e depois em frequência: $$\begin{array}{rcll}\overline{P_f}=\frac{1}{T}{\int \; <!--nolimits-->}_0^T|g\left(t\right){|}^{2}dt=\frac{1}{2}{\int \; <!--nolimits-->}_0^2|g\left(t\right){|}^{2}dt=\frac{1}{2}{\int \; <!--nolimits-->}_0^{2}1dt=1& & & \end{array}$$

Alternativamente, temos pelo Teorema de Parseval: $$\begin{array}{rcll}\overline{P_f}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|C_n{|}^2=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|\frac{a_n-i{b}_n}{2}\right|}^2=\frac{1}{4}\sum _{n=-\infty }^{\infty }|b_n{|}^2& & & \end{array}$$

Como $b_{-n}=b_n$, temos que $\left|b_{-n}\right|=\left|b_n\right|$ e ainda temos que $b_0=0$, portanto: $$\begin{array}{rcll}\overline{P_f}=\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\infty }|b_n{|}^2=\frac{1}{2}{\left(\frac{4}{\pi }\right)}^2\left(1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\cdots \right)& & & \end{array}$$

usando a equação (3.28) da página 74, temos: $$\begin{array}{rcll}\overline{P_f}=\frac{1}{2}{\left(\frac{4}{\pi }\right)}^2\frac{{\pi }^2}{8}=1& & & \end{array}$$

E 5.1.1. Dado o diagrama de espectro de amplitude de uma função periódica $f\left(t\right)$, marque as alternativas que representam, respectivamente, o módulo do valor médio e a potência média da função $\left(\left|\frac{1}{T}{\mathrm{\int \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_0^{T}f\left(t\right)dt\right|\text{e}\frac{1}{T}{\mathrm{\int \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_0^T|f\left(t\right){|}^{2}dt\right)$.