Séries de Fourier

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Análise de Fourier - Um Livro Colaborativo

3.2 Séries de Fourier

Deﬁnição 3.2.1. Seja $T > 0$ , deﬁnimos polinômio trigonométrico de grau $N$ uma função do tipo:

f (t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{N} [a_{n} \cos (w_{n} t) + b_{n} sen (w_{n} t)]

(3.9)

onde $w_{n} = \frac{2 π n}{T}$ .

Deﬁnição 3.2.2. Seja $T > 0$ , deﬁnimos série trigonométrica toda função do tipo:

f (t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} [a_{n} \cos (w_{n} t) + b_{n} sen (w_{n} t)]

(3.10)

onde $w_{n} = \frac{2 π n}{T}$ .

Exemplo 3.2.1. Mostre que $T$ é um período para séries e polinômios trigonométricos acima deﬁnidos.

Teorema 3.2.1 (Relações de ortogonalidade). As funções trigonométricas admitem as seguintes relações de ortogonalidade:

\begin{array}{rcl} \int_{0}^{T} sen (\frac{2 π n t}{T}) sen (\frac{2 π m t}{T}) d t & = & \{\begin{matrix} 0, & n \neq m \\ \frac{T}{2}, & n = m \neq 0 \end{matrix} & (3.11a) \\ \int_{0}^{T} \cos (\frac{2 π n t}{T}) \cos (\frac{2 π m t}{T}) d t & = & \{\begin{matrix} 0, & n \neq m \\ \frac{T}{2}, & n = m \neq 0 \\ T, & n = m = 0 \end{matrix} & (3.11b) \\ \int_{0}^{T} \cos (\frac{2 π n t}{T}) sen (\frac{2 π m t}{T}) d t & = & 0 & (3.11c) \end{array}

aqui $n$ e $m$ são inteiros não negativos.

Demonstração. Para obter (3.11a), usamos a seguinte identidade trigonométrica:

sen (a) sen (b) = \frac{\cos (a - b) - \cos (a + b)}{2}

(3.12)

com $a = \frac{2 π n t}{T}$ e $b = \frac{2 π m t}{T}$ , isto é:

sen (\frac{2 π n t}{T}) sen (\frac{2 π m t}{T}) = \frac{\cos (\frac{2 π (n - m) t}{T}) - \cos (\frac{2 π (n + m) t}{T})}{2}

(3.13)

Se $n = m \neq 0$ , temos:

\int_{0}^{T} sen (\frac{2 π n t}{T}) sen (\frac{2 π m t}{T}) d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{T} [1 - \cos (\frac{4 π n t}{T})] d t = \frac{T}{2}

(3.14)

Se $n \neq m$ , temos:

\int_{0}^{T} sen (\frac{2 π n t}{T}) sen (\frac{2 π m t}{T}) d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{T} [\cos (\frac{2 π (n - m) t}{T}) - \cos (\frac{2 π (n + m) t}{T})] d t = 0

(3.15)

Para obter (3.11b), usamos a seguinte identidade trigonométrica:

\cos (a) \cos (b) = \frac{\cos (a - b) + \cos (a + b)}{2}

(3.16)

com $a = \frac{2 π n t}{T}$ e $b = \frac{2 π m t}{T}$ , isto é:

\cos (\frac{2 π n t}{T}) \cos (\frac{2 π m t}{T}) = \frac{\cos (\frac{2 π (n - m) t}{T}) + \cos (\frac{2 π (n + m) t}{T})}{2}

(3.17)

Se $n = m \neq 0$ , temos:

\int_{0}^{T} \cos (\frac{2 π n t}{T}) \cos (\frac{2 π m t}{T}) d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{T} [1 + \cos (\frac{4 π n t}{T})] d t = \frac{T}{2}

(3.18)

Se $n \neq m$ , temos: Caso $n = m = 0$ , então $\cos (\frac{2 π n t}{T}) = 1$ , isto é:

\int_{0}^{T} \cos (\frac{2 π n t}{T}) \cos (\frac{2 π m t}{T}) d t = \int_{0}^{T} 1 d t = T

(3.19)

Para obter (3.11c), usamos a seguinte identidade trigonométrica:

\cos (a) sen (b) = \frac{sen (a + b) + sen (a - b)}{2}

(3.20)

com $a = \frac{2 π n t}{T}$ e $b = \frac{2 π m t}{T}$ , isto é:

\cos (\frac{2 π n t}{T}) sen (\frac{2 π m t}{T}) = \frac{sen (\frac{2 π (n + m) t}{T}) + sen (\frac{2 π (n - m) t}{T})}{2}

(3.21)

E integrando conforme feito para os casos anteriores, temos o resultado.

$■$

Teorema 3.2.2. Seja $f (t)$ uma função deﬁnida por uma série trigonométrica da forma

f (t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} [a_{n} \cos (w_{n} t) + b_{n} sen (w_{n} t)]

(3.22)

Então sob determinadas hipóteses de convergência, os coeﬁcientes $a_{n}$ e $b_{n}$ são dados pelas seguintes expressões:

\begin{array}{rcl} a_{0} & = & \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f (t) d t = \frac{2}{T} \int_{- T ∕ 2}^{T ∕ 2} f (t) d t & (3.23a) \\ a_{n} & = & \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f (t) \cos (w_{n} t) d t = \frac{2}{T} \int_{- T ∕ 2}^{T ∕ 2} f (t) \cos (w_{n} t) d t & (3.23b) \\ b_{n} & = & \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f (t) sen (w_{n} t) d t = \frac{2}{T} \int_{- T ∕ 2}^{T ∕ 2} f (t) sen (w_{n} t) d t & (3.23c) \end{array}

onde $w_{n} = \frac{2 π n}{T}$ .

Demonstração.Multiplicamos a equação (3.22) por

\cos (w_{m} t)

e obtemos

\cos (w_{m} t) f (t) = \frac{a_{0}}{2} \cos (w_{m} t) + \sum_{n = 1}^{\infty} [a_{n} \cos (w_{n} t) \cos (w_{m} t) + b_{n} sen (w_{n} t) \cos (w_{m} t)] .

(3.24)

Seguimos integrando em $[0, T]$ e temos: $\begin{array}{rcl} \int_{0}^{T} \cos (w_{m} t) f (t) d t & = & \int_{0}^{T} \frac{a_{0}}{2} \cos (w_{m} t) d t + \sum_{n = 1}^{\infty} [a_{n} \int_{0}^{T} \cos (w_{n} t) \cos (w_{m} t) d t \\ + & b_{n} \int_{0}^{T} sen (w_{n} t) \cos (w_{m} t) d t] . \end{array}$

Pelo teorema 3.2.1, se $m \neq n$ , as parcelas do lado direito são nulas. A única parcela não nula é aquela onde $m = n$ . Supondo $m = n \neq 0$ , temos:

\int_{0}^{T} \cos (w_{m} t) f (t) d t = a_{m} \frac{T}{2},

(3.25)

onde obtemos a expressão (3.23b). Supondo $m = n = 0$ , obtemos a expressão (3.23a). Um argumento análoga para calcular $b_{n}$ .

$■$

Observação 3.2.1. Observe que como $\cos (0) = 1$ , a fórmula de $a_{n}$ com $n = 0$ recai na fórmula para $a_{0}$ .

Deﬁnição 3.2.3. Seja $f (t)$ uma função $T$ -periódica integrável em $[0, T]$ . Deﬁnimos como a série de Fourier associada à função $f$ , a série trigonométrica cujos coeﬁcientes são dados por (3.23).

Observe que a série de Fourier de uma função $f (t)$ não é necessariamente igual a função $f (t)$ . De fato, não se pode se quer garantir que a série de Fourier associada a uma função integrável seja convergente. Estas questões teóricas fogem do escopo do nosso curso e são normalmente tratadas em cursos de análise matemática (veja, por exemplo, [?], [?] e [?]).

Teorema 3.2.3. Seja $f$ uma função periódica de período $T$ , suave por partes e descontínua no máximo em um número ﬁnito de saltos dentro de cada intervalo, então a série de Fourier converge em cada ponto $t$ para

\frac{f (t +) + f (t -)}{2},

(3.26)

onde $f (t +)$ e $f (t -)$ são os limites laterais à direita e à esquerda, respectivamente. Observe que nos pontos $t$ onde $f (t)$ é contínua, então $f (t +) = f (t -)$ e a série de Fourier converge para $f (t)$ .

Exemplo 3.2.2. Seja $f (t)$ uma função dada por $\begin{array}{rcl} f (t) & = & | t |, - 1 \leq t < 1 \\ f (t + 2) & = & f (t), \forall t \in ℝ . \end{array}$

Essa função é suave por partes e contínua em todos os pontos. Portanto se aplica o teorema 3.2.3.

Observamos que essa é uma função par, ou seja, $f (t) = f (- t)$ . A ﬁm de explorar essa simetria, utilizaremos as fórmulas (3.23) envolvendo integrais simétricas, isto é, $\begin{array}{rcl} a_{0} & = & \frac{2}{T} \int_{- T ∕ 2}^{T ∕ 2} f (t) d t \\ a_{n} & = & \frac{2}{T} \int_{- T ∕ 2}^{T ∕ 2} f (t) \cos (w_{n} t) d t \\ b_{n} & = & \frac{2}{T} \int_{- T ∕ 2}^{T ∕ 2} f (t) sen (w_{n} t) d t \end{array}$

onde $T = 2$ e $w_{n} = \frac{2 π n}{T} = π n$ . Logo,

a_{0} = \int_{- 1}^{1} | t | d t = 2 \int_{0}^{1} t d t = 2 {[\frac{t^{2}}{2}]}_{0}^{1} = 1

$\begin{array}{rcl} a_{n} = \int_{- 1}^{1} | t | \cos (π n t) d t & = & 2 \int_{0}^{1} t \cos (π n t) d t \\ = & 2 {[\frac{t sen (π n t)}{π n}]}_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{sen (π n t)}{π n} d t \\ = & 2 {[\frac{t sen (π n t)}{π n} + \frac{\cos (π n t)}{π^{2} n^{2}}]}_{0}^{1} = 2 \frac{{(- 1)}^{n} - 1}{π^{2} n^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} b_{n} & = & \int_{- 1}^{1} | t | sen (π n t) d t = 0 . \end{array}$

onde se usou que $| t |$ , $| t | \cos (π n t)$ são funções pares em $t$ e $| t | sen (π n t)$ é ímpar em $t$ . Assim, temos

f (t) = \frac{1}{2} - \frac{4}{π^{2}} (\cos (π t) + \frac{1}{3^{2}} \cos (3 π t) + \frac{1}{5^{2}} \cos (5 π t) + \dots)

(3.27)

Observe que, quando $t = 0$ , obtemos como subproduto da série de Fourier da $f (t)$ a soma da seguinte série numérica:

1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \dots = \frac{π^{2}}{8} .

(3.28)

A ﬁgura 3.1 apresenta os gráﬁcos da série que representa a função $f (t)$ com um termo, dois termos e três termos.

Figura 3.1: Gráﬁcos de

f_{0} (t) = \frac{1}{2}

(azul),

f_{1} (t) = \frac{1}{2} - \frac{4}{π^{2}} \cos (π t)

(verde) e

f_{2} (t) = \frac{1}{2} - \frac{4}{π^{2}} (\cos (π t) + \frac{1}{3^{2}} \cos (3 π t))

(vermelho).

Exemplo 3.2.3. Seja $g (t)$ uma função dada por $\begin{array}{rcl} g (t) & = & - 1, - 1 < t < 0 \\ g (t) & = & 0, t = 0 o u t = 1 \\ g (t) & = & 1, 0 < t < 1 \\ g (t + 2) & = & g (t), \forall t \in ℝ . \end{array}$

Essa função é suave por partes e contínua em todos os pontos exceto por saltos nos inteiros, onde a função vale a média aritmética dos limites laterais. Portanto se aplica o teorema 3.2.3.

Observamos que essa é uma função ímpar, ou seja, $f (t) = - f (- t)$ . Novamente, utilizaremos as fórmulas (3.23) envolvendo integrais simétricas:

a_{0} = \int_{- 1}^{1} g (t) d t = 0

$\begin{array}{rcl} a_{n} = \int_{- 1}^{1} g (t) \cos (π n t) d t = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} b_{n} = \int_{- 1}^{1} g (t) sen (π n t) d t = 2 \int_{0}^{1} g (t) sen (π n t) d t & = & 2 \int_{0}^{1} sen (π n t) d t \\ = & \frac{2}{π n} {[- \cos (π n t)]}_{0}^{1} = 2 \frac{1 - {(- 1)}^{n}}{π n} \end{array}$

Logo,

g (t) = \frac{4}{π} (sen (π t) + \frac{1}{3} sen (3 π t) + \frac{1}{5} sen (5 π t) + \dots) .

(3.29)

A ﬁgura 3.2 apresenta os gráﬁcos da série que representa a função $g (t)$ com um termo, dois termos, três termos e quatro termos.

Figura 3.2: Gráﬁcos de

g_{0} (t) = \frac{4}{π} sen (π t)

(azul),

g_{1} (t) = \frac{4}{π} (sen (π t) + \frac{1}{3} sen (3 π t))

(verde),

g_{2} (t) = g (t) = \frac{4}{π} (sen (π t) + \frac{1}{3} sen (3 π t) + \frac{1}{5} sen (5 π t))

(vermelho) e

g_{3} (t) = g (t) = \frac{4}{π} (sen (π t) + \frac{1}{3} sen (3 π t) + \frac{1}{5} sen (5 π t) + \frac{1}{7} sen (7 π t))

(preto).

Exemplo 3.2.4. Seja $h (t)$ uma função dada por $\begin{array}{rcl} f (t) & = & t, 0 < t < 1 \\ f (t) & = & \frac{1}{2}, t = 1 \\ f (t + 1) & = & f (t), \forall t \in ℝ . \end{array}$

Essa função é suave por partes e contínua exceto por salto nos inteiros onde $h (t)$ assume o valor médio dos limites laterais. Portanto se aplica o teorema 3.2.3.

Utilizaremos as fórmulas (3.23) envolvendo integrais no intervalo $[0, 1]$ , isto é,

a_{0} = 2 \int_{0}^{1} t d t = 2 {[\frac{t^{2}}{2}]}_{0}^{1} = 1

$\begin{array}{rcl} a_{n} = 2 \int_{0}^{1} t \cos (2 π n t) d t = & = & 2 {[\frac{t sen (2 π n t)}{2 π n}]}_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{sen (2 π n t)}{2 π n} d t \\ = & 2 {[\frac{t sen (2 π n t)}{2 π n} + \frac{\cos (2 π n t)}{4 π^{2} n^{2}}]}_{0}^{1} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} b_{n} = 2 \int_{0}^{1} t sen (2 π n t) d t = & = & 2 {[- \frac{t \cos (2 π n t)}{2 π n}]}_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} \frac{\cos (2 π n t)}{2 π n} d t \\ = & 2 {[- \frac{t \cos (2 π n t)}{2 π n} + \frac{sen (2 π n t)}{4 π^{2} n^{2}}]}_{0}^{1} = - \frac{1}{π n} \end{array}$

Logo,

h (t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{π} (sen (2 π t) + \frac{1}{2} sen (4 π t) + \frac{1}{3} sen (6 π t) + \dots) .

(3.30)

Observação 3.2.2. Os coeﬁciente $b_{n}$ da série de Fourier de uma função par são nulos bem como os coeﬁciente $a_{n}$ da série de Fourier de uma função ímpar também o são.

Exemplo 3.2.5. Demonstre a observação 3.2.2.

Exercícios

E 3.2.1. Considere a função periódica de período $T$ dada na região $(- T ∕ 2, T ∕ 2)$ por

f (t) = \{\begin{matrix} 0, & - T ∕ 2 \leq t < - d ∕ 2, \\ 1, & - d ∕ 2 \leq t \leq d ∕ 2, \\ 0, & d ∕ 2 < t \leq T ∕ 2 . \end{matrix}

(3.31)

onde $d$ é uma constante entre $0$ e $T$ . Estude a paridade desta função. Encontre sua representação em série de Fourier.

Resposta.

\begin{array}{rcl} \frac{a_{0}}{2} & = & \frac{1}{T} \int_{- T ∕ 2}^{T ∕ 2} f (t) d t = \frac{1}{T} \int_{- d ∕ 2}^{d ∕ 2} d t = \frac{d}{T} \\ a_{n} & = & \frac{2}{T} \int_{- T ∕ 2}^{T ∕ 2} f (t) \cos (w_{n} t) d t = \frac{2}{T} \int_{- d ∕ 2}^{d ∕ 2} \cos (w_{n} t) d t = \frac{2}{T} {\frac{sen (w_{n} t)}{w_{n}}|}_{- d ∕ 2}^{d ∕ 2} = \frac{4}{w_{n} T} sen (w_{n} d ∕ 2) \end{array}

Como $w_{n} = \frac{2 π n}{T}$ , temos $a_{n} = \frac{2}{π n} sen (π n \frac{d}{T})$ e, portanto

f (t) = \frac{d}{T} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos (w_{n} t) = \frac{d}{T} + \frac{2}{π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} sen (\frac{π n d}{T}) \cos (w_{n} t)

(3.32)

E 3.2.2. Calcule a soma da série

f (t) = \sum_{n = 0}^{\infty} b^{n} sen (n t)

(3.33)

onde $0 < b < 1$ e mostre que

f (t) = \frac{b sen (t)}{1 - 2 b \cos (t) + b^{2}} .

(3.34)

Com base neste resultado, obtenha o valor da integral deﬁnida dada por

\int_{0}^{2 π} \frac{b sen (t) sen (k t)}{1 - 2 b \cos (t) + b^{2}} d t .

(3.35)

Resposta. Dica: Lembre que

sen (x) = \frac{e^{i x} - e^{- i x}}{2 i}

E 3.2.3. Considere a função periódica de período $T$ dada para $- T ∕ 2 < t < T ∕ 2$ por

f (t) = \{\begin{matrix} t, & | t | \leq d ∕ 2, \\ 0, & d ∕ 2 < | t | < T ∕ 2, \end{matrix}

(3.36)

onde $0 < d \leq T$ . Calcule sua representação em série de Fourier. Estude o caso particular $d = T$ . Dica: $\int u \cos (u) d u = \cos (u) + u sen (u) + C$ e $\int u sen (u) d u = sen (u) - u \cos (u) + C$

Resposta.

b_{n} = \frac{4}{T} \int_{0}^{d ∕ 2} t sen (w_{n} t) d t = \frac{T sen (\frac{π d n}{T}) - d n π \cos (\frac{π d n}{T})}{π^{2} n^{2}}

E 3.2.4. Trace o gráﬁco e obtenha a representação em série de Fourier das seguintes funções:

$f (t) = | sen (π t) |$
$g (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (t - n T)$ onde $T > 0$ .

Resposta.

$f (t) = \frac{2}{π} - \frac{4}{π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\cos (2 n π t)}{4 n^{2} - 1}$
$g (t) = \frac{1}{T} + \frac{2}{T} \sum_{n = 1}^{\infty} \cos (\frac{2 π n}{T} t)$

E 3.2.5. Use o item a do exercício anterior para obter uma representação em Série de Fourier da função

h (t) = | \cos (π t) | .

(3.37)

Resposta.

\begin{array}{rcl} h (t) & = & f (\frac{1}{2} - t) = \frac{2}{π} - \frac{4}{π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\cos (n π - 2 n π t)}{4 n^{2} - 1} = \frac{2}{π} - \frac{4}{π} \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{\cos (2 n π t)}{4 n^{2} - 1} \end{array}

Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 26/7/2022 às 15:19:5.

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