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Análise de Fourier - Um Livro Colaborativo

3.2 Séries de Fourier


Definição 3.2.1. Seja T > 0, definimos polinômio trigonomético de grau N uma função do tipo:

f(t) = a0 2 + n=1N a n cos(wnt) + bn sen (wnt) (3.9)

onde wn = 2πn T .

Definição 3.2.2. Seja T > 0, definimos série trigonométrica toda função do tipo:

f(t) = a0 2 + n=1 a n cos(wnt) + bn sen (wnt) (3.10)

onde wn = 2πn T .

Exemplo 3.2.1. Mostre que T é um período para séries e polinômios trigonométricos acima definidos.

Teorema 3.2.1 (Relações de ortogonalidade). As funções trigonométricas admitem as seguintes relações de ortogonalidade:

0T sen 2πnt T sen 2πmt T dt = 0, nm T 2 , n = m0 (3.11a) 0T cos 2πnt T cos 2πmt T dt = 0, nm T 2 , n = m0 T , n = m = 0 (3.11b) 0T cos 2πnt T sen 2πmt T dt = 0 (3.11c)

aqui n e m são inteiros não negativos.

Demonstração. Para obter (3.11a), usamos a seguinte identidade trigonométrica:
sen (a) sen (b) = cos(a b) cos(a + b) 2 (3.12)

com a = 2πnt T e b = 2πmt T , isto é:

sen 2πnt T sen 2πmt T = cos 2π(nm)t T cos 2π(n+m)t T 2 (3.13)

Se n = m0, temos:

0T sen 2πnt T sen 2πmt T dt = 1 20T 1 cos 4πnt T dt = T 2 (3.14)

Se nm, temos:

0T sen 2πnt T sen 2πmt T dt = 1 20T cos 2π(n m)t T cos 2π(n + m)t T dt = 0 (3.15)

Para obter (3.11b), usamos a seguinte identidade trigonométrica:

cos(a) cos(b) = cos(a b) + cos(a + b) 2 (3.16)

com a = 2πnt T e b = 2πmt T , isto é:

cos 2πnt T cos 2πmt T = cos 2π(nm)t T + cos 2π(n+m)t T 2 (3.17)

Se n = m0, temos:

0T cos 2πnt T cos 2πmt T dt = 1 20T 1 + cos 4πnt T dt = T 2 (3.18)

Se nm, temos: Caso n = m = 0, então cos 2πnt T = 1, isto é:

0T cos 2πnt T cos 2πmt T dt =0T 1dt = T (3.19)

Para obter (3.11c), usamos a seguinte identidade trigonométrica:

cos(a) sen (b) = sen (a + b) + sen (a b) 2 (3.20)

com a = 2πnt T e b = 2πmt T , isto é:

cos 2πnt T sen 2πmt T = sen 2π(n+m)t T + sen 2π(nm)t T 2 (3.21)

E integrando conforme feito para os casos anteriores, temos o resultado.

Teorema 3.2.2. Seja f(t) uma função definida por uma série trigonométrica da forma

f(t) = a0 2 + n=1 a n cos(wnt) + bn sen (wnt) (3.22)

Então sob determinadas hipóteses de convergência, os coeficientes an e bn são dados pelas seguintes expressões:

a0 = 2 T0T f(t)dt = 2 TT2T2f(t)dt (3.23a) an = 2 T0T f(t) cos(w nt)dt = 2 TT2T2f(t) cos(w nt)dt (3.23b) bn = 2 T0T f(t) sen (w nt)dt = 2 TT2T2f(t) sen (w nt)dt (3.23c)

onde wn = 2πn T .

Demonstração.Multiplicamos a equação (3.22) por cos(wmt) e obtemos
cos(wmt)f(t) = a0 2 cos(wmt)+ n=1 a n cos(wnt) cos(wmt) + bn sen (wnt) cos(wmt) . (3.24)

Seguimos integrando em [0,T] e temos: 0T cos(w mt)f(t)dt = 0T a0 2 cos(wmt)dt + n=1 a n0T cos(w nt) cos(wmt)dt + bn0T sen (w nt) cos(wmt)dt.

Pelo teorema 3.2.1, se mn, as parcelas do lado direito são nulas. A única parcela não nula é aquela onde m = n. Supondo m = n0, temos:

0T cos(w mt)f(t)dt = amT 2 , (3.25)

onde obtemos a expressão (3.23b). Supondo m = n = 0, obtemos a expressão (3.23a). Um argumento análoga para calcular bn.

Observação 3.2.1. Observe que como cos(0) = 1, a fórmula de an com n = 0 recai na fórmula para a0.

Definição 3.2.3. Seja f(t) uma função T-periódica integrável em [0,T]. Definimos como a série de Fourier associada à função f, a série trigonométrica cujos coeficientes são dados por (3.23).

Observe que a série de Fourier de uma função f(t) não é necessariamente igual a função f(t). De fato, não se pode se quer garantir que a série de Fourier associada a uma função integrável seja convergente. Estas questões teóricas fogem do escopo do nosso curso e são normalmente tratadas em cursos de análise matemática (veja, por exemplo, [?], [?] e [?]).

Teorema 3.2.3. Seja f uma função periódica de período T, suave por partes e descontínua no máximo em um número finito de saltos dentro de cada intervalo, então a série de Fourier converge em cada ponto t para

f(t+) + f(t) 2 , (3.26)

onde f(t+) e f(t) são os limites laterais à direita e à esquerda, respectivamente. Observe que nos pontos t onde f(t) é contínua, então f(t+) = f(t) e a série de Fourier converge para f(t).

Exemplo 3.2.2. Seja f(t) uma função dada por f(t) = |t|, 1 t < 1 f(t + 2) = f(t),t .

Essa função é suave por partes e contínua em todos os pontos. Portanto se aplica o teorema 3.2.3.

PIC

Observamos que essa é uma função par, ou seja, f(t) = f(t). A fim de explorar essa simetria, utilisaremos as fórmulas (3.23) envolvendo integrais simétricas, isto é, a0 = 2 TT2T2f(t)dt an = 2 TT2T2f(t) cos(w nt)dt bn = 2 TT2T2f(t) sen (w nt)dt

onde T = 2 e wn = 2πn T = πn. Logo,

a0 =11|t|dt = 201tdt = 2 t2 2 01 = 1

an =11|t| cos(πnt)dt = 201t cos(πnt)dt = 2 t sen (πnt) πn 01 201 sen (πnt) πn dt = 2 t sen (πnt) πn + cos(πnt) π2n2 01 = 2(1)n 1 π2n2

bn = 11|t| sen (πnt)dt = 0.

onde se usou que |t|, |t| cos(πnt) são funções pares em t e |t| sen (πnt) é ímpar em t. Assim, temos

f(t) = 1 2 4 π2 cos(πt) + 1 32 cos(3πt) + 1 52 cos(5πt) + (3.27)

Observe que, quando t = 0, obtemos como subproduto da série de Fourier da f(t) a soma da seguinte série numérica:

1 + 1 32 + 1 52 + = π2 8 . (3.28)

A figura 3.1 apresenta os gráficos da série que representa a função f(t) com um termo, dois termos e três termos.


PIC


Figura 3.1: Gráficos de f0(t) = 1 2 (azul), f1(t) = 1 2 4 π2 cos(πt) (verde) e f2(t) = 1 2 4 π2 cos(πt) + 1 32 cos(3πt) (vermelho).


Exemplo 3.2.3. Seja g(t) uma função dada por g(t) = 1, 1 < t < 0 g(t) = 0,t = 0out = 1 g(t) = 1,0 < t < 1 g(t + 2) = g(t),t .

Essa função é suave por partes e contínua em todos os pontos exceto por saltos nos inteiros, onde a função vale a média aritmética dos limites laterais. Portanto se aplica o teorema 3.2.3.


PIC


Observamos que essa é uma função ímpar, ou seja, f(t) = f(t). Novamente, utilisaremos as fórmulas (3.23) envolvendo integrais simétricas:

a0 =11g(t)dt = 0

an =11g(t) cos(πnt)dt = 0

bn =11g(t) sen (πnt)dt = 201g(t) sen (πnt)dt = 201 sen (πnt)dt = 2 πn cos(πnt) 01 = 21 (1)n πn

Logo,

g(t) = 4 π sen (πt) + 1 3 sen (3πt) + 1 5 sen (5πt) + . (3.29)

A figura 3.2 apresenta os gráficos da série que representa a função g(t) com um termo, dois termos, três termos e quatro termos.


PIC


Figura 3.2: Gráficos de g0(t) = 4 π sen (πt) (azul), g1(t) = 4 π sen (πt) + 1 3 sen (3πt) (verde), g2(t) = g(t) = 4 π sen (πt) + 1 3 sen (3πt) + 1 5 sen (5πt) (vermelho) e g3(t) = g(t) = 4 π sen (πt) + 1 3 sen (3πt) + 1 5 sen (5πt) + 1 7 sen (7πt) (preto).


Exemplo 3.2.4. Seja h(t) uma função dada por f(t) = t,0 < t < 1 f(t) = 1 2,t = 1 f(t + 1) = f(t),t .

Essa função é suave por partes e contínua exceto por salto nos inteiros onde h(t) assume o valor médio dos limites laterais. Portanto se aplica o teorema 3.2.3.


PIC


Utilisaremos as fórmulas (3.23) envolvendo integrais no intervalo [0,1], isto é,

a0 = 201tdt = 2 t2 2 01 = 1

an = 201t cos(2πnt)dt = = 2 t sen (2πnt) 2πn 01 201 sen (2πnt) 2πn dt = 2 t sen (2πnt) 2πn + cos(2πnt) 4π2n2 01 = 0

bn = 201t sen (2πnt)dt = = 2 t cos(2πnt) 2πn 01 + 201 cos(2πnt) 2πn dt = 2 t cos(2πnt) 2πn + sen (2πnt) 4π2n2 01 = 1 πn

Logo,

h(t) = 1 2 1 π sen (2πt) + 1 2 sen (4πt) + 1 3 sen (6πt) + . (3.30)

Observação 3.2.2. Os coeficiente bn da série de Fourier de uma função par são nulos bem como os coeficiente an da série de Fourier de uma função ímpar também o são.

Exemplo 3.2.5. Demonstre a observação 3.2.2.

Exercícios


E 3.2.1. Considere a função periódica de período T dada na região (T2,T2) por

f(t) = 0, T2 t < d2, 1, d2 t d2, 0, d2 < t T2. (3.31)

onde d é uma constante entre 0 e T. Estude a paridade desta função. Encontre sua representação em série de Fourier.

Resposta. a0 2 = 1 TT2T2f(t)dt = 1 Td2d2dt = d T an = 2 TT2T2f(t) cos(w nt)dt = 2 Td2d2 cos(w nt)dt = 2 T sen (wnt) wn d2d2 = 4 wnT sen (wnd2)

Como wn = 2πn T , temos an = 2 πn sen πnd T e, portanto

f(t) = d T + n=1a n cos(wnt) = d T + 2 π n=11 n sen πnd T cos(wnt) (3.32)

E 3.2.2. Calcule a soma da série

f(t) = n=0bn sen (nt) (3.33)

onde 0 < b < 1 e mostre que

f(t) = b sen (t) 1 2b cos(t) + b2. (3.34)

Com base neste resultado, obtenha o valor da integral definida dada por

02π b sen (t) sen (kt) 1 2b cos(t) + b2dt. (3.35)

Resposta. Dica: Lembre que sen (x) = eixeix 2i

E 3.2.3. Considere a função periódica de período T dada para T2 < t < T2 por

f(t) = t, |t| d2, 0, d2 < |t| < T2, (3.36)

onde 0 < d T. Calcule sua representação em série de Fourier. Estude o caso particular d = T. Dica: u cos(u)du = cos(u) + u sen (u) + C e u sen (u)du = sen (u) u cos(u) + C

Resposta. bn = 4 T0d2t sen (w nt)dt = T sen πdn T dnπ cosπdn T π2n2

E 3.2.4. Trace o gráfico e obtenha a representação em série de Fourier das seguintes funções:

  • f(t) = | sen (πt)|
  • g(t) = n=δ(t nT) onde T > 0.

Resposta.
  • f(t) = 2 π 4 π n=1 cos(2nπt) 4n21

    PIC

  • g(t) = 1 T + 2 T n=1 cos 2πn T t

    PIC

E 3.2.5. Use o item a do exercício anterior para obter uma representação em Série de Fourier da função

h(t) = | cos(πt)|. (3.37)

Resposta. h(t) = f 1 2 t = 2 π 4 π n=1 cos nπ 2nπt 4n2 1 = 2 π 4 π n=1(1)n cos 2nπt 4n2 1

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