Forma harmônica

Análise de Fourier - Um Livro Colaborativo

4.1 Forma harmônica

A forma harmônica, também chamada de forma amplitude-fase, da série de Fourier de uma função $f (t)$ é dada conforme a seguir:

f (t) = A_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} A_{n} \cos (w_{n} t - 𝜃_{n}),

(4.1)

onde $w_{n} = \frac{2 π n}{T}$ , $A_{n}$ são constantes não negativas chamadas de amplitude e $𝜃_{n}$ são ângulos de fase. Para relacionar esta representação com a forma trigonométrica, usamos a identidade trigonométrica

\cos (a - b) = \cos (a) \cos (b) + sen (a) sen (b),

(4.2)

com $a = w_{n} t$ e $b = 𝜃_{n}$ . Assim temos: $\begin{array}{rcl} f (t) & = & A_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} A_{n} \cos (w_{n} t - 𝜃_{n}) \\ = & A_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} A_{n} [\cos (w_{n} t) \cos (𝜃_{n}) + sen (w_{n} t) sen (𝜃_{n})] \\ = & \underset{a_{0} ∕ 2}{\underset{︸}{A_{0}}} + \sum_{n = 1}^{\infty} [\underset{a_{n}}{\underset{︸}{A_{n} \cos (𝜃_{n})}} \cos (w_{n} t) + \underset{b_{n}}{\underset{︸}{A_{n} sen (𝜃_{n})}} sen (w_{n} t)] \end{array}$

Comparando os termos da representação trigonométrica, temos que: $\begin{array}{rcl} \frac{a_{0}}{2} & = & A_{0} \\ a_{n} & = & A_{n} \cos (𝜃_{n}) \\ b_{n} & = & A_{n} sen (𝜃_{n}) \end{array}$

Observe que

a_{n}^{2} + b_{n}^{2} = A_{n}^{2}

(4.3)

e, como $A_{n} \geq 0$ por hipótese, temos que

A_{n} = \sqrt{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}} .

(4.4)

Também temos $\begin{array}{rcl} \cos (𝜃_{n}) & = & \frac{a_{n}}{\sqrt{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}}} \\ sen (𝜃_{n}) & = & \frac{b_{n}}{\sqrt{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}}} \end{array}$

Observe que sempre é possível converter uma forma na outra e os ângulos de fase estão unicamente deﬁnidos em cada volta do ciclo trigonométrico.

Exemplo 4.1.1. Considere um função periódica ( $T = 4$ ) dada pelo gráﬁco

Os coeﬁcientes de Fourier são dados por $\begin{array}{rcl} \frac{a_{0}}{2} & = & \frac{1}{4} \int_{0}^{4} f (t) d t = \frac{1}{4} \int_{0}^{1} 1 d t = \frac{1}{4} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} a_{n} & = & \frac{2}{4} \int_{0}^{4} f (t) \cos (w_{n} t) d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \cos (\frac{π n}{2} t) d t \\ = & \frac{1}{π n} {[sen (\frac{π n}{2} t)]}_{0}^{1} \\ = & \{\begin{matrix} 0, & n p a r \\ \frac{1}{π n} {(- 1)}^{\frac{n - 1}{2}} & n í m p a r \end{matrix} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} b_{n} & = & \frac{2}{4} \int_{0}^{4} f (t) sen (w_{n} t) d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} sen (\frac{π n}{2} t) d t \\ = & \frac{1}{π n} {[- \cos (\frac{π n}{2} t)]}_{0}^{1} \\ = & \{\begin{matrix} \frac{1}{π n}, & n í m p a r \\ \frac{1}{π n} (1 - {(- 1)}^{\frac{n}{2}}) & n p a r \end{matrix} \end{array}$


$n$	$a_{n}$	$b_{n}$	$A_{n}$	$𝜃_{n}$


0	$\frac{1}{2}$	0	$\frac{1}{4}$



1	$\frac{1}{π}$	$\frac{1}{π}$	$\frac{\sqrt{2}}{π}$	$\frac{π}{4}$



2	$0$	$\frac{1}{π}$	$\frac{1}{π}$	$\frac{π}{2}$



3	$- \frac{1}{3 π}$	$\frac{1}{3 π}$	$\frac{\sqrt{2}}{3 π}$	$\frac{3 π}{4}$



4	$0$	$0$	0



5	$\frac{1}{5 π}$	$\frac{1}{5 π}$	$\frac{\sqrt{2}}{5 π}$	$\frac{π}{4}$

Tabela 4.1:

Para escrever a forma harmônica da série de Fourier da função $f (t)$ calculamos as amplitudes $A_{n}$ e as fases $𝜃_{n}$ . Para $n = 0$ , temos $a_{0} = \frac{1}{2}$ e, portanto, $A_{0} = \frac{a_{0}}{2} = \frac{1}{4}$ . Para $n = 1$ , temos $a_{1} = b_{1} = \frac{1}{π}$ e, consequentemente, $A_{1} = \sqrt{\frac{1}{π^{2}} + \frac{1}{π^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{π}$ e $𝜃_{1} = \frac{π}{4}$ . Os cálculos foram repetidos de forma análoga para $n = 2, 3, 4$ e $5$ e apresentados na tabela 4.1. Portanto, $\begin{array}{rcl} f (t) & = & \frac{1}{4} + \frac{1}{π} [\sqrt{2} \cos (\frac{π}{2} t - \frac{π}{4}) + \cos (π t - \frac{π}{2}) + \\ + & \frac{\sqrt{2}}{3} \cos (\frac{3 π}{2} t - \frac{3 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{5} \cos (\frac{5 π}{2} t - \frac{π}{4}) + \dots] \end{array}$

Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 26/7/2022 às 15:19:5.

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