Forma exponencial

Análise de Fourier - Um Livro Colaborativo

4.2 Forma exponencial

A forma exponencial de uma série de Fourier é obtida quando se substiuem as funções trigonométricas $sen (w_{n} t)$ e $\cos (w_{n} t)$ por suas representações em termos de exponenciais complexos, isto é

\cos (w_{n} t) = \frac{e^{i w_{n} t} + e^{- i w_{n} t}}{2} e sen (w_{n} t) = \frac{e^{i w_{n} t} - e^{- i w_{n} t}}{2 i}

(4.5)

$\begin{array}{rcl} f (t) & = & \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos (w_{n} t) + \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} sen (w_{n} t) \\ = & \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (\frac{e^{i w_{n} t} + e^{- i w_{n} t}}{2}) + \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} (\frac{e^{i w_{n} t} - e^{- i w_{n} t}}{2 i}) \end{array}$

Reagrupando os termos e usando o fato que $\frac{1}{i} = - i$ , temos: $\begin{array}{rcl} f (t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n} - i b_{n}}{2} e^{i w_{n} t} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n} + i b_{n}}{2} e^{- i w_{n} t} & (4.6) \end{array}$

Agora observamos que as deﬁnições 3.23 dadas por $\begin{array}{rcl} a_{0} & = & \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f (t) d t = \frac{2}{T} \int_{- T ∕ 2}^{T ∕ 2} f (t) d t \\ a_{n} & = & \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f (t) \cos (w_{n} t) d t = \frac{2}{T} \int_{- T ∕ 2}^{T ∕ 2} f (t) \cos (w_{n} t) d t \\ b_{n} & = & \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f (t) sen (w_{n} t) d t = \frac{2}{T} \int_{- T ∕ 2}^{T ∕ 2} f (t) sen (w_{n} t) d t \end{array}$

Embora estas expressões estejam deﬁnadas apenas para $n > 0$ , elas fazem sentidos para qualquer $n$ inteiro. Neste caso, valem as seguintes identidades:

a_{- n} = a_{n}, b_{- n} = - b_{n} b_{0} = 0 .

(4.7)

onde se usou que $w_{- n} = \frac{2 π (- n)}{T} = - \frac{2 π n}{T} = - w_{n}$ e a paridade das funções cosseno e seno. Estendendo estas deﬁnições para qualquer inteiro, introduzimos os coeﬁcientes $C_{n}$ dados por:

C_{n} = \frac{a_{n} - i b_{n}}{2}

(4.8)

Observe que estes coeﬁcientes estão deﬁnidos para para número inteiro $n$ , assim temos:

C_{0} = \frac{a_{0} - i b_{0}}{2} = \frac{a_{0}}{2}

(4.9)

C_{- n} = \frac{a_{- n} - i b_{- n}}{2} = \frac{a_{n} + i b_{n}}{2}

(4.10)

Substituindo estas expressões para $C_{0}$ , $C_{n}$ e $C_{- n}$ em (4.6), obtemos: $\begin{array}{rcl} f (t) = C_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} C_{n} e^{i w_{n} t} + \sum_{n = 1}^{\infty} C_{- n} e^{- i w_{n} t} \end{array}$

Escrevemos agora esta última expressão em um único somatório: $\begin{array}{rcl} f (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} C_{n} e^{i w_{n} t} & (4.11) \end{array}$

onde se usou que $w_{- n} = \frac{2 π (- n)}{T} = - \frac{2 π n}{T} = - w_{n}$ Observamos também que os coeﬁcientes $C_{n}$ podem ser escritos das seguinte forma mais enxuta: $\begin{array}{rcl} C_{n} & = & \frac{a_{n} - i b_{n}}{2} \\ = & \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f (t) [\cos (w_{n} t) - i sen (w_{n} t)] d t \\ = & \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f (t) e^{- i w_{n} t} d t = \frac{1}{T} \int_{- T ∕ 2}^{T ∕ 2} f (t) e^{- i w_{n} t} d t \end{array}$

Exemplo 4.2.1. A função $f (t)$ dada no exemplo 3.2.2 pode ser escrita na forma exponencial com os seguintes coeﬁcientes:

C_{0} = \frac{a_{0}}{2} = \frac{1}{2}

(4.12)

C_{n} = \frac{a_{n} - i b_{n}}{2} = \frac{2 \frac{{(- 1)}^{n} - 1}{π^{2} n^{2}} + 0}{2} = \frac{{(- 1)}^{n} - 1}{π^{2} n^{2}}, n \neq 0

(4.13)

Exemplo 4.2.2. A função $g (t)$ ,

g (t) = \frac{4}{π} (sen (π t) + \frac{1}{3} sen (3 π t) + \frac{1}{5} sen (5 π t) + \dots),

(4.14)

calculada no exemplo 3.2.3 pode ser escrita na forma exponencial com os seguintes coeﬁcientes:

C_{0} = \frac{a_{0}}{2} = 0

(4.15)

C_{n} = \frac{a_{n} - i b_{n}}{2} = \frac{0 - i 2 \frac{1 - {(- 1)}^{n}}{π n}}{2} = i \frac{{(- 1)}^{n} - 1}{π n}, n \neq 0 .

(4.16)

Logo,

g (t) = \dots + \frac{2 i}{5 π} e^{- 5 i π t} + \frac{2 i}{3 π} e^{- 3 i π t} + \frac{2 i}{π} e^{- i π t} - \frac{2 i}{π} e^{i π t} - \frac{2 i}{3 π} e^{3 i π t} - \frac{2 i}{5 π} e^{5 i π t} - \dots,

(4.17)

Exercícios

E 4.2.1. Mostre que se $f (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} C_{n} e^{i w_{n} t}$ é uma função real, então $C_{- n} = \bar{C_{n}}$ . Em especial, $| C_{- n} | = | C_{n} |$ .

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