Funções periódicas

Análise de Fourier - Um Livro Colaborativo

3.1 Funções periódicas

Deﬁnição 3.1.1. Uma função $f : ℝ \to ℝ$ é dita periódica de período $T$ (também chamada de T-periódica) se existe uma constante positiva $T$ tal que

f (t) = f (t + T)

(3.1)

para todo $t \in ℝ .$

Observação 3.1.1. Se uma função $f$ é periódica de período $T$ , então, $f$ também é periódica de período $n T$ onde $n \in ℕ$ , já que

f (t) = f (t + T) = f (t + 2 T) = f (t + 3 T) = \dots = f (t + n T) .

(3.2)

Exemplo 3.1.1. As funções $f (t) = sen (t)$ e $g (t) = \cos (t)$ são periódicas de período $2 π$ .

Exemplo 3.1.2. A função constante $f (t) = 1$ é periódica e admite qualquer $T > 0$ como período.

Deﬁnição 3.1.2. Algumas funções periódicas admitem um menor período, chamado de período fundamental. A frequência fundamental é então dada por $f_{f} = \frac{1}{T}$ e a frequência angular fundamental é dada por $w_{f} = \frac{2 π}{T}$ .

Proposição 3.1.1. O período fundamental das funções $f (t) = sen (w t)$ e $g (t) = \cos (w t)$ é $\frac{2 π}{w}$ .

Demonstração. Para provar isso, supomos que

T

é um período de

f (t)

, isto é,

f (t + T) = f (t)

para todo

t

. Em especial, para

t = 0

, temos:

sen (w T) = sen (0) = 0 .

(3.3)

Logo, $w T = n π$ , onde $n$ é um natural positivo. Observe que $\frac{π}{w}$ não pode ser o período fundamental, pois tomando $t = \frac{π}{2 w}$ , temos

1 = sen (w (\frac{π}{2 w})) \neq sen (w (\frac{π}{2 w} + \frac{π}{w})) = - 1 .

(3.4)

Como, por construção do círculo trigonométrico, temos:

sen (w (t + \frac{2 π}{w})) = sen (w t + 2 π) = sen (w t),

(3.5)

então $\frac{2 π}{w}$ é o período fundamental. Observe que $w$ é a frequência angular fundamental. Um raciocínio análogo vale para $g (t)$ .

$■$

Exemplo 3.1.3. Vamos calcular o período fundamental da função $f (t) = sen (w_{1} t) + sen (w_{2} t)$ . Ambas as parcelas que compõem $f (t)$ são periódicas, com períodos $T_{1} = \frac{2 π}{w_{1}} n$ e $T_{2} = \frac{2 π}{w_{2}} m$ , onde $n$ e $m$ são inteiros positivos. A função $f (t)$ é periódica se existirem $m$ e $n$ tais que $T_{1} = T_{2}$ , ou seja, $\frac{2 π}{w_{1}} n = \frac{2 π}{w_{2}} m$ . Isso implica em $\frac{w_{2}}{w_{1}} = \frac{m}{n}$ . Essa identidade só é possível se $\frac{w_{1}}{w_{2}}$ for racional, pois $m$ e $n$ são inteiros. Por exemplo,

se $w_{1} = \frac{2}{3}$ e $w_{2} = \frac{3}{2}$ , então $\frac{3 ∕ 2}{2 ∕ 3} = \frac{9}{4} = \frac{m}{n}$ e os menores inteiros positivos que satisfazem a identidade são $m = 9$ e $n = 4$ . Logo, o período fundamental da função $f (t) = sen (\frac{2}{3} t) + sen (\frac{3}{2} t)$ é $\frac{2 π}{2 ∕ 3} \cdot 4 = 12 π$ e a frequência angular fundamental é $\frac{2 π}{12 π} = \frac{1}{6}$ ;
se $w_{1} = \sqrt{3}$ e $w_{2} = \sqrt{\frac{4}{3}}$ , então $\frac{\sqrt{4 ∕ 3}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3} = \frac{m}{n}$ e os menores inteiros positivos que satisfazem a identidade são $m = 2$ e $n = 3$ . Logo, o período fundamental da função $f (t) = sen (\sqrt{3} t) + sen (\sqrt{\frac{4}{3}} t)$ é $\frac{2 π}{\sqrt{3}} \cdot 3 = \frac{6 π}{\sqrt{3}}$ e a frequência angular fundamental é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ;
a função $f (t) = sen (2 t) + sen (π t)$ não é periódica, pois não existem inteiros positivos $n$ e $m$ que satisfazem $\frac{2}{π} = \frac{m}{n}$ .

Teorema 3.1.1. Se $f (t)$ é uma função integrável $T$ -periódica, então o valor da integral deﬁnida dentro de um período não depende do ponto inicial, isto é:

\int_{x}^{x + T} f (t) d t

(3.6)

não depende do valor $x$ . Em especial, vale a identidade:

\int_{0}^{T} f (t) d t = \int_{- T ∕ 2}^{T ∕ 2} f (t) d t .

(3.7)

Demonstração. Primeiro, escrevemos

\frac{x}{T} = n + α

, isto é, como um número inteiro

n

mais uma parte fracionária

α \in [0, 1)

e concluímos que podemos escrever

x = n T + y

, onde

y = α T

, isto é

0 \leq y < T

\begin{array}{rcl} I : = \int_{x}^{x + T} f (t) d t & = & \int_{n T + y}^{(n + 1) T + y} f (t) d t \\ = & \int_{n T + y}^{(n + 1) T} f (t) d t + \int_{(n + 1) T}^{(n + 1) T + y} f (t) d t \end{array}

Inserimos a mudança de variáveis $t = n T + u$ e $t = (n + 1) T + v$ :

I = \int_{y}^{T} f (u + n T) d u + \int_{0}^{y} f (v + (n + 1) T) d v

(3.8)

Da periodicidade, temos que $f (u) = f (u + n T)$ e $f (v) = f (v + (n + 1) T)$ : $\begin{array}{rcl} I & = & \int_{y}^{T} f (u) d u + \int_{0}^{y} f (v) d v \\ = & \int_{0}^{y} f (v) d v + \int_{y}^{T} f (u) d u \end{array}$

Como $u$ e $v$ são variáveis mudas, as integrais envolvidas podem ser escritas em termos de $t$ da seguinte forma: $\begin{array}{rcl} I & = & \int_{0}^{y} f (t) d t + \int_{y}^{T} f (t) d t \\ = & \int_{0}^{T} f (t) d t \end{array}$

$■$

Exercícios

E 3.1.1. Veriﬁque as seguintes aﬁrmações são verdadeiras e justiﬁque:

1.: A soma de funções periódicas é uma função periódica.
2.: Toda função periódica possui uma representação em série de Fourier.
3.: Séries de Fourier convergentes são contínuas.
4.: Seja $f (x)$ uma função real ímpar, então $f (0) = 0$ .
5.: Seja $f (x)$ uma função real par, então $f (0) = 0$ .
6.: Seja $f (x)$ uma função real ímpar diferenciável, então $f^{'} (0) = 0$ .
7.: Seja $f (x)$ uma função real par diferenciável, então $f^{'} (0) = 0$ .
8.: Seja $f (x)$ uma função real par diferenciável, então $f^{'} (x)$ é uma função ímpar.
9.: Seja $f (x)$ uma função real ímpar diferenciável, então $f^{'} (x)$ é uma função par.
10.: Seja $f (x)$ uma função real par integrável, então $\int_{0}^{x} f (s) d s$ é uma função ímpar.
11.: Seja $f (x)$ uma função real ímpar integrável, então $\int_{0}^{x} f (s) d s$ é uma função par.
12.: A única função real par e ímpar é a função $f (x) = 0$ .
13.: Toda função real pode ser escrita de forma única como a soma de uma função ímpar e outra par.

Resposta. São verdadeiras: 4, 7, 8,9,10,11,12 e 13.

E 3.1.2. Identiﬁque a paridade das seguintes funções. Veriﬁque quais delas são periódicas.

1.: $f (x) = sen (x^{2})$ .
2.: $f (x) = sen^{2} (x)$ .
3.: $f (x) = \cos (x) + e^{sen (x)}$
4.: $f (x) = \cos (π x) + e^{sen (x)}$
5.: $f (x) = 2$
6.: $f (x) = {(sen (x) + \cos (x) + 1)}^{5}$
7.: $f (x) = {(\cos (2 x) + 1)}^{7}$
8.: $f (x) = sen^{2} (π x) + \cos (π x)$
9.: $f (x) = sen (x) \cos (x)$
10.: $f (x) = sen (1 + \cos (x))$

Resposta. São pares: 1,2,5,7, 8 e 10. É ímpar: 9. São periódicas: 2,3,5,6,7,8, 9 e 10.

E 3.1.3. Seja $f (t)$ um função periódica integrável de período $T$ e $F (t) = \int_{0}^{t} f (τ) d τ$ . Encontre uma condição necessária e suﬁciente para que $F (t)$ seja periódica de período $T$ .