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Transformada de Laplace - Um Livro Colaborativo

Capítulo 1
Introdução

A modelagem de muitos problemas encontrados na física, química e engenharias tais como massa-mola, ou circuitos em série, envolve funções descontínuas. Um exemplo disso é uma função do tipo chave liga/desliga, que é zero o início do fenômeno, depois sobe instantaneamente a um valor constante durante algum tempo e, finalmente, zero novamente. Métodos analíticos para resolver equações diferenciais, como fator integrante, separação de variáveis, coeficientes a determinar e variação de parâmetros, funcionam bem quando as funções e envolvidas são contínuas. O método que vamos introduzir aqui, chamado de transformada de Laplace, resolve esse tipo de problema. Essencialmente, a transformada de Laplace é uma transformação similar a derivação ou integração, pois leva função em outra função. Alem disso, essa transformação leva a derivada de uma função em produtos da função original. Isso significa que essa transformação leva uma equação diferencial a uma nova equação em termos da função transformada que é algébrica e pode ser resolvida facilmente. Uma vez que a transformada de Laplace é conhecida, temos que calcular a transformada inversa para obter a solução do problema ( [2] and [1]).

Para cursar essas disciplina o estudante deve conhecer técnicas básicas estudadas em disciplinas como Cálculo Diferencial e Integral e Equações Diferenciais. Nesse sentido, propomos alguns exercícios revisando algumas técnicas úteis.

Exercícios

E 1.0.1. Use as expressões cosh ⁡ x = ex+e−x 2 , senh ⁡ x = ex−e−x 2 , cos ⁡ x = eix+e−ix 2 e sen ⁡ x = eix−e−ix 2i para calcular as seguintes integrais:

  • ∫ ⁡0∞ sen ⁡ (t)e−tdt
  • ∫ ⁡0∞ cos ⁡ (wt)e−tdt
  • ∫ ⁡0∞ sen ⁡ 2(wt)e−tdt
  • ∫ ⁡0∞ cos ⁡ 2(wt)e−tdt
  • ∫ ⁡0∞ senh ⁡ (t)e−2tdt
  • ∫ ⁡0∞ cosh ⁡ (t)e−2tdt

Resposta.
  • 1 2
  • 1 w2+1
  • 2w2 4w2+1
  • 2w2+1 4w2+1
  • 1 3
  • 2 3

E 1.0.2. Calcule o valor da integral

∫ 0∞ sen ⁡ (wt)e−stdt (1.1)

como uma função de w e s sabendo que s e w são constantes reais positivas.

Resposta. w s2+w2

E 1.0.3. Calcule o valor da integral

∫ 0ae−stdt (1.2)

como uma função de a e s sabendo que a e s são constantes reais positivas.

Resposta. 1−e−as s

E 1.0.4. Mostre que se |x| < 1 então

  • ∑ ⁡ k=0∞xk = 1 1−x
  • ∑ ⁡ k=0∞kxk = x (1−x)2

E 1.0.5. Use o resultado anterior para resolver os seguintes somatórios

  • ∑ ⁡ k=0∞e−sk
  • ∑ ⁡ k=0∞(−1)ke−sk
  • ∑ ⁡ k=0∞ke−sk

onde s é uma constante real positiva.

Resposta.
  • 1 1−e−s
  • 1 1+e−s
  • e−s 1−e−s2

E 1.0.6. Use a técnica de integração por partes para realizar as seguintes integrais:

  • ∫ ⁡0∞te−tdt
  • ∫ ⁡0∞t2e−tdt

Resposta.
  • 1
  • 2

E 1.0.7. Calcule a integral

I = ∫ 0∞ sen ⁡ (πt) e−tdt (1.3)

escrevendo-o como o somatório

I = ∑ k=0∞(−1)k ∫ kk+1 sen ⁡ (πt)e−tdt. (1.4)

Resposta. I = ∑ k=0∞(−1)k ∫ kk+1 sen ⁡ (πt)e−tdt = π s2 + π2 ∑ k=0∞ e−ks + e−(k+1)s = π s2 + π2 1 + e−s 1 − e−s = π s2 + π2 es∕2 + e−s∕2 es∕2 − e−s∕2 = π s2 + π2 coth ⁡ (s∕2)

Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 26/7/2022 às 15:19:21.

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