Definição 2.1.1. Seja $f\left(t\right)$ uma função definida nos reais não negativos. A transformada de laplace de $f\left(t\right)$ é dada pela seguinte integral imprópria:

para os valores complexos de $s$ para os quais ela for convergente.

Exemplo 2.1.1. Vamos calcular a transformada de Laplace da função $f\left(t\right)=1$: $$\begin{array}{rcll}\mathcal{L}\left\{1\right\}& =& {\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }1\cdot e^{-st}dt& \\ & =& \underset{a\to \infty }{\lim <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}{\int \; <!--nolimits-->}_0^a{e}^{-st}dt& \\ & =& \underset{a\to \infty }{\lim <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}\frac{1-e^{-sa}}{s}.& \\ & & & \end{array}$$

O limite $\underset{a\to \infty }{\lim <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}\frac{1-e^{-sa}}{s}$ só existe se $s>0$. Portanto, $$\begin{array}{rcll}\mathcal{L}\left\{1\right\}=\frac{1}{s},s>0.& & & \\ & & & \end{array}$$

Exemplo 2.1.2. A transformada de Laplace da função $f\left(t\right)=t$ é calculada fazendo integração por partes: $$\begin{array}{rcll}\mathcal{L}\left\{t\right\}& =& {\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }t{e}^{-st}dt& \\ & =& {\left.-\frac{t{e}^{-st}}{s}\right|}_0^{\infty }-{\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }\left(-\frac{e^{-st}}{s}\right)dt.& \\ & =& {\left.-\frac{t{e}^{-st}}{s}\right|}_0^{\infty }+\frac{1}{s}{\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }{e}^{-st}dt.& \\ & & & \end{array}$$

onde a notação ${\left.-\frac{t{e}^{-st}}{s}\right|}_0^{\infty }$ indica $\underset{a\to \infty }{\lim <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}\left({\left.-\frac{t{e}^{-st}}{s}\right|}_0^a\right)$. Observe que, se $s>0$, a primeira parcela do lado direito é zero e a segunda é $\frac{1}{s}\mathcal{L}\left\{1\right\}$, isto é, $$\begin{array}{rcll}\mathcal{L}\left\{t\right\}& =& \frac{1}{s}\mathcal{L}\left\{1\right\}=\frac{1}{s^2},s>0.& \\ & & & \end{array}$$

onde usamos o resultado do exemplo 2.1.1.

Exemplo 2.1.3. Para calcular a transformada de Laplace da função $f\left(t\right)=t^n$ usamos a ideia introduzida no exemplo 2.1.2 e escrevemos-a em termos da transformada de $t^{n-1}$. Observe primeiro a transformada de $t^2$ e $t^3$ $$\begin{array}{rcll}\mathcal{L}\left\{t^2\right\}& =& {\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }{t}^2{e}^{-st}dt& \\ & =& {\left.-\frac{t^2{e}^{-st}}{s}\right|}_0^{\infty }-{\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }\left(-2t\frac{e^{-st}}{s}\right)dt.& \\ & =& \frac{2}{s}{\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }t{e}^{-st}dt=\frac{2}{s}\mathcal{L}\left\{t\right\}=\frac{2}{s}\frac{1}{s^2}=\frac{2}{s^3},s>0& \end{array}$$

$$\begin{array}{rcll}\mathcal{L}\left\{t^3\right\}& =& {\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }{t}^3{e}^{-st}dt& \\ & =& {\left.-\frac{t^3{e}^{-st}}{s}\right|}_0^{\infty }-{\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }\left(-3t^2\frac{e^{-st}}{s}\right)dt.& \\ & =& \frac{3}{s}{\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }{t}^2{e}^{-st}dt=\frac{3}{s}\mathcal{L}\left\{t^2\right\}=\frac{3}{s}\frac{2}{s^3}=\frac{3!}{s^4},s>0& \end{array}$$

Agora já podemos intuir qual seria a expressão para a transformada de $t^n$:

Essa expressão pode ser formalmente demonstrada pelo método de indução matemática (ver exercício 2.1.5).

Exemplo 2.1.4. A transformada de Laplace da função $f\left(t\right)=e^{-at}$ pode ser obtida por integração direta: $$\begin{array}{rcll}\mathcal{L}\left\{e^{-at}\right\}& =& {\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }{e}^{-at}{e}^{-st}dt& \\ & =& {\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }{e}^{-\left(s+a\right)t}dt& \\ & =& {\left.\frac{e^{-\left(s+a\right)t}}{s+a}\right|}_0^{\infty }=\frac{1}{s+a},s+a>0& \end{array}$$

Exemplo 2.1.5. A transformada de Laplace da função $f\left(t\right)=\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)$ pode ser obtida integrando por partes duas vezes: $$\begin{array}{rcll}\mathcal{L}\left\{\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)\right\}& =& {\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)e^{-st}dt& \\ & =& {\left.-\frac{\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)e^{-st}}{s}\right|}_0^{\infty }-\frac{1}{s}{\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }\left(w\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)\right)\left(-e^{-st}\right)dt& \\ & =& \frac{w}{s}{\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)e^{-st}dt& \\ & =& \frac{w}{s}\left({\left.-\frac{\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)e^{-st}}{s}\right|}_0^{\infty }-\frac{1}{s}{\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }\left(-w\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)\right)\left(-e^{-st}\right)dt\right)& \\ & =& \frac{w}{s}\left(\frac{1}{s}-\frac{w}{s}{\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)e^{-st}dt\right)& \\ & =& \frac{w}{s^2}-\frac{w^2}{s^2}\mathcal{L}\left\{\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)\right\}.& \end{array}$$

Observe que obtemos uma equação para $\mathcal{L}\left\{\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)\right\}$:

Resolvemos essa equação e obtemos

isto é,

Exemplo 2.1.6. Vamos agora calcular a transformada de Laplace $\mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}$ de uma função $f\left(t\right)$ descontínua definida por partes:

Aqui usamos a seguinte propriedade de integral: ${\mathrm{\int \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_a^{b}f\left(t\right)dt={\mathrm{\int <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_a^{x}f\left(t\right)dt+{\mathrm{\int <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_x^{b}f\left(t\right)dt$. Portanto, $$\begin{array}{rcll}\mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}& =& {\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }f\left(t\right)e^{-st}dt& \\ & =& {\int \; <!--nolimits-->}_0^{4}f\left(t\right)e^{-st}dt+{\int \; <!--nolimits-->}_4^{\infty }f\left(t\right)e^{-st}dt& \\ & =& {\int \; <!--nolimits-->}_0^{4}0\cdot e^{-st}dt+{\int \; <!--nolimits-->}_4^{\infty }5e^{-st}dt& \\ & =& {\left.-\frac{5e^{-st}}{s}\right|}_4^{\infty }=\frac{5e^{-4s}}{s}& \end{array}$$

E 2.1.1. Calcule a transformada de Laplace da função $f\left(t\right)=\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)$ usando a definição.

E 2.1.2. Calcule a transformada de Laplace da função $f\left(t\right)$ definida por partes:

E 2.1.3. Use a definição de transformada de Laplace para calcular as transformadas das funções dadas nos gráficos abaixo:

E 2.1.4. Use a definição de transformada de Laplace para calcular as transformadas das funções dadas a seguir:

• $f\left(t\right)=at$
• $f\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}0,\hfill & 0\le t<2\hfill \\ 2,\hfill & 2\le t<3\hfill \\ 0,\hfill & t>3\hfill \end{array}\right.$
• $f\left(t\right)=a^t,a>0$
• $f\left(t\right)=\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(wt\right)$
• $f\left(t\right)=\cosh <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(at\right)$
• $f\left(t\right)=t{e}^{2t}$
• $f\left(t\right)=e^{-t+4}$

E 2.1.5. (Princípio da Indução) Mostre que $\mathcal{L}\left\{t^n\right\}=\frac{n!}{s^{n+1}}$ seguindo os seguintes passos:

• Mostre que a fórmula é válida para $n=0,1,2$ e $3$.¹
• Mostre que $\mathcal{L}\left\{t^{n-1}\right\}=\frac{\left(n-1\right)!}{s^n}$ é válida, então $\mathcal{L}\left\{t^n\right\}=\frac{n!}{s^{n+1}}$ também o é.