Use o botão abaixo para reportar erros ou dar sugestões.

Transformada de Laplace - Um Livro Colaborativo

2.1 Definição de transformada de Laplace


Definição 2.1.1. Seja f(t) uma função definida nos reais não negativos. Quando a integral

L{f(t)} =0f(t)estdt (2.1)

for convergente, ela será chamada de transformada de Laplace da função f(t).

A transformada de Laplace L{f(t)} de uma função f(t) é uma função da variável s. A notação usual neste contexto é letra minúscula para a função e letra maiúscula para a transformada: L{f(t)} = F(s), L{g(t)} = G(s), L{h(t)} = H(s). Nos próximos exemplos, vamos aplicar a definição para calcular a transformadas de Laplace de algumas funções.

Exemplo 2.1.1. Vamos calcular a transformada de Laplace da função f(t) = 1: L{1} = 01 estdt = lim a0aestdt = lim a1 esa s .

O limite lim a1 esa s só existe se s > 0. Portanto, L{1} = 1 s,s > 0.

Exemplo 2.1.2. A transformada de Laplace da função f(t) = t é calculada fazendo integração por partes: L{t} = 0testdt = test s 0 0 est s dt. = test s 0 + 1 s0estdt.

onde a notação test s 0 indica lim a test s 0a. Observe que, se s > 0, a primeira parcela do lado direito é zero e a segunda é 1 sL{1}, isto é, L{t} = 1 sL{1} = 1 s2,s > 0.

onde usamos o resultado do exemplo 2.1.1.

Exemplo 2.1.3. Para calcular a transformada de Laplace da função f(t) = tn usamos a ideia introduzida no exemplo 2.1.2 e escrevemos-a em termos da transformada de tn1. Observe primeiro a transformada de t2 e t3 L{t2} = 0t2estdt = t2est s 0 0 2test s dt. = 2 s0testdt = 2 sL{t} = 2 s 1 s2 = 2 s3,s > 0

L{t3} = 0t3estdt = t3est s 0 0 3t2est s dt. = 3 s0t2estdt = 3 sL{t2} = 3 s 2 s3 = 3! s4,s > 0

Agora já podemos intuir qual seria a expressão para a transformada de tn:

L{tn} = n! sn+1,s > 0. (2.2)

Essa expressão pode ser formalmente demonstrada pelo método de indução matemática (ver exercício 2.1.5).

Exemplo 2.1.4. A transformada de Laplace da função f(t) = eat pode ser obtida por integração direta: L{eat} = 0eatestdt = 0e(s+a)tdt = e(s+a)t s + a 0 = 1 s + a,s + a > 0

Exemplo 2.1.5. A transformada de Laplace da função f(t) = sen (wt) pode ser obtida integrando por partes duas vezes: L{sen (wt)} = 0 sen (wt)estdt = sen (wt)est s 0 1 s0 w cos(wt) est dt = w s 0 cos(wt)estdt = w s cos(wt)est s 0 1 s0 w sen (wt) est dt = w s 1 s w s 0 sen (wt)estdt = w s2 w2 s2 L{sen (wt)}.

Observe que obtemos uma equação para L{sen (wt)}:

L{sen (wt)} = w s2 w2 s2 L{sen (wt)}. (2.3)

Resolvemos essa equação e obtemos

L{sen (wt)}1 + w2 s2 = w s2, (2.4)

isto é,

L{sen (wt)} = w s2 + w2,s > 0. (2.5)

Exemplo 2.1.6. Vamos agora calcular a transformada de Laplace L{f(t)} de uma função f(t) descontínua definida por partes:

f(t) = 0, 0 t 4 5, t > 4. (2.6)

Aqui usamos a seguinte propriedade de integral: abf(t)dt = axf(t)dt + xbf(t)dt. Portanto, L{f(t)} = 0f(t)estdt = 04f(t)estdt +4f(t)estdt = 040 estdt +45estdt = 5est s 4 = 5e4s s

Exercícios


E 2.1.1. Calcule a transforma de Laplace da função f(t) = cos(wt) usando a definição.

E 2.1.2. Calcule a transforma de Laplace da função f(t) definida por partes:

f(t) = 0, 0 t 3 1, 3 t 5, 0, t > 5. (2.7)

E 2.1.3. Use a definição de transformada de Laplace para calcular as transformadas das funções dadas nos gráficos abaixo:

PIC PIC PIC PIC PIC

Resposta.
  • F(s) = k sesc
  • F(s) = k s 1 esc
  • F(s) = k sesc 1 esb
  • F(s) = k c c sesc + 1 s2 esc 1
  • F(s) = k cs2 1 2ecs + e2cs

E 2.1.4. Use a definição de transformada de Laplace para calcular as transformadas das funções dadas a seguir:

  • f(t) = at
  • f(t) = 0, 0 t < 2 2, 2 t < 3 0, t > 3
  • f(t) = at,a > 0
  • f(t) = cos(wt)
  • f(t) = cosh(at)
  • f(t) = te2t
  • f(t) = et+4

Resposta.
  • F(s) = a s2
  • F(s) = 2 se2s 1 es
  • F(s) = 1 sln(a)
  • F(s) = s s2+w2
  • F(s) = s s2a2
  • F(s) = 1 (s2)2
  • F(s) = e4 s+1

E 2.1.5. (Princípio da Indução) Mostre que L{tn} = n! sn+1 seguindo os seguintes passos:

  • Mostre que a fórmula é válida para n = 0,1,2 e 3.1
  • Mostre que L{tn1} = (n 1)! sn é válida, então L{tn} = n! sn+1 também o é.

Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 8/5/2018 às 13:37:38.

Informe erros ou edite você mesmo!