Relações entre superfícies e perímetros dos retângulos – Piaget

Autor: Jean Piaget
Fonte: PIAGET, Jean. Abstração reflexionante. Porto Alegre: Artes Médicas, 1995. p. 193-205

A abstração reflexionante é um processo que permite construir estruturas novas, em virtude da reorganização de elementos tirados de estruturas anteriores, e, como tal, tanto pode funcionar de maneira inconsciente como sob a direção de intenções deliberadas: particularmente, o sujeito de uma investigação ignora, por muito tempo, de que fontes tem aurido os mecanismos constitutivos de sua nova construção; e um matemático pode nada saber, sem por isso sentir-se impedido de realizar seu trabalho sobre as raízes psicogenéticas das estruturas elementares que utiliza (como, por ex., a de grupo). Já chamamos de abstração “refletida” a tomada de consciência dos resultados de uma abstração reflexionante, e é interessante estudar-lhes as condições. Para fazê-lo, o melhor método é o utilizado relativamente às estruturas de ordem: ou fazer o sujeito resolver dois problemas análogos, de domínio em qualquer idade, ou analisar previamente as soluções em sua evolução, e perguntar aos sujeitos de todos os níveis o que há de semelhante ou de diferente nestas duas situações. Trata-se, pois, de conduzir o essencial da pesquisa mais para a comparação das estruturas do que para a sua formação. A seguir, serão estudadas as comparações e a abstração refletida que intervêm em problemas espaciais de superfícies e de perímetros, com o risco de reencontrar aí a questão das diagonais, etc.

E. Lunzer e Vinh-Bang já estudaram, há alguns anos, as relações entre superfície e perímetro nos retângulos, cuja forma se modifica, deixando invariável um destes dois aspectos, e eles puseram em evidência, entre outros, o fato notável de que, com o progresso das noções de conservação, os sujeitos são levados a considerá-los, todos os dois, como se conservando simultaneamente, em virtude de uma ligação aparentemente necessária.

Este capítulo retomará, pois, não mais do que brevemente, estes fatos, a fim de dar toda a ênfase ao nosso problema, que é o das comparações feitas pelos sujeitos, entre as duas situações em que se conservam, seja a superfície, seja o perímetro.

A técnica consiste, em seu princípio geral, em transformar um quadrado em retângulos cada vez mais compridos. Mas utiliza-se, para este fim, dois dispositivos difO texto integral está disponível na fonte indicada acima.erentes A e B, cuja descrição é a seguinte:

MATERIAL A – No centro de uma prancha, quatro pregos constituem os quatro cantos de um quadrado de 25 cm de lado. Em uma e outra parte do quadrado, estão dispostos oito pregos, que constituem os cantos de dois retângulos, tendo, respectivamente, 35 e 45cm de comprimento, 15 e 5 cm de largura. Enfim, dois pregos constituem as duas extremidades de uma reta de 50cm. Estas diferentes figuras têm, pois, um perímetro de 100cm; este último é materializado por um barbante “fechado”. Com a ajuda deste material, pode-se, pois, efetuar, a partir de um quadrado C, dois retângulos e uma linha reta, que chamaremos, respectivamente, R1, R2 e R3, realizando para tanto, três transformações T1, T2 e T3.

MATERIAL B – É constituído de oito tiras de cartolina resistente, de cor verde. Cada uma destas tiras tem 24cm de comprimento e 3cm de largura. As oito tiras unidas uma à outra, lado a lado, no sentido do comprimento, formam um quadrado de 24cm de lado. As quatro tiras superiores, dispostas ao lado das quatro tiras inferiores ,forma um retângulo de 48cm de comprimento e 12 cm de largura (R!). Com uma operação do mesmo tipo, pode-se, ainda, constituir um retângulo de 96cm de comprimento e 6 de largura (R2), e, finalmente, um último retângulo de 192cm de comprimento e 3cm de largura (R3). Como em A, as transformações que servirão para constituir R1, R2 e R3, chamar-se-ão T1, T2 e T3.

Note-se que, tanto em B como em A, é a criança mesma quem constrói os retângulos de R1 a R3 e executa, assim, as transformações de T1 a T3, no início, com uma simples ajuda eventual do experimentador.

Tentamos abordar o processo de abstração, tirada da ação do sujeito em três fases sucessivas.

Fase 1 – Após cada transformação, perguntamos ao sujeito qual ́-e o efeito quantitativo desta última sobre a superfície e o perímetro. (a superfície tornou-se maior, menor ou ficou a mesma?)

Comparamos as respostas obtidas em A e em B pelos mesmos sujeitos. Um grupo de sujeitos, de acordo com a idade, efetua as manipulações com A, depois com B, um outro, com B primeiramente, com A em seguida.

Fase 2 – Depois que a criança efetuou todas as transformações em A, pede-se para resumir o que ela acabou de fazer e, em particular, precisar a orientação da evolução das superfícies e dos perímetros. Pede-se a mesma coisa após as manipulações feitas em B.

Fase 3 – Depois das manipulações em A e em B, pede-se um resumo de conjunto; o experimentador tenta, especialmente, verificar a partir de que momento a criança é capaz de distinguir as características comuns aos dois tipos de manipulação.

Propõe-se, então, uma comparação entre as duas manipulações. Trata-se de “jogos” semelhantes ou diferentes, e por que razões?

Enfim, pergunta-se se existem características comuns nas variações quantitativas das superfícies e dos perímetros em A e em B.

§1 | As conservações. – Na ordem AB, um primeiro nível IA é o das correspondências globais entre superfície e perímetro, ambos aumentando ou diminuindo ao mesmo tempo. Mas esta reação raramente é pura, e sobretudo no caso R3 em A, encontram-se, com freqüência, diminuições de superfície com aumento do perímetro, como se houvesse compensação, mas, ao menos no começo, há simplesmente uma aceitação das aparências sem busca de coerência:

MIC (6;9) – Em A, para R1: “A quantidade de madeira dentro é maior, menor ou a mesma coisa do que tinha antes? – É maior, porque antes era um quadrado. – Eu ajuntei alguma coisa? – É o mesmo barbante. – E se a gente medir o barbante? – Ele será mais comprido. – Tu ainda podes fazer um retângulo? (Ele faz R2) – A quantidade dentro? – É menor. – E o barbante? – É menor. – Tem menos barbante? – Sim. – Tu podes fazer o último retângulo? (Ele faz R3) – A grandeza da madeira dentro? – Menor. – Ainda tem mais? – Não. – E o comprimento de todo o barbante? – É maior, mais comprido. – Há mais do que antes? – Não…. sim. – Eu acrescentei algo? – Tem menos. – Ou a mesma coisa? – Menos”. Dispositivo B. Ele faz R1: “Dentro há mais, ou menos papel, ou a mesma coisa? – Tem menos papel. – E a borda? – É mais comprida, os lados são mais compridos”. – (Ele faz R2) – “A grandeza do papel? – Menor, porque é mais comprida. – Há menos papel, ou mais, ou a mesma coisa? – Menos, é mais fino. – E a borda? – É comprida. – Mudou? – Sim, é mais longa”.

Em um nível IB, as não-correspondências ultrapassam um pouco as correspondências globais, e em certos casos, pode-se ver nisso, ao sujeito hesitar entre os aumentos e as diminuições, uma espécie de compensação, de onde decorrem soluções mistas que se assemelham, aliás, mais a acordos do que a compensações explícitas:

YVO (7;0) – A em R1: a superfície (quantidade interior): “É a mesma coisa, ela é menor. – E o limite? – Ele mudou de forma, a grandeza é um pouco maior. – Sim, lá (lado grande), mas menor lá (lado pequeno)? – Sim, faz um todo médio (uma média). – A gente ajuntou alguma coisa? – Sim, ajuntou. – Tu me viste ajuntar alguma coisa? – Não. – É o mesmo barbante ou não? – O mesmo. – E sua grandeza? – É maior”. Mesmas reações para R2 e sobretudo R3.

[…]


O texto integral está disponível na fonte indicada acima.


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