Comprimento, ângulos e o produto escalar

Álgebra Linear - Um Livro Colaborativo

9.1 Comprimento, ângulos e o produto escalar

Se, na base canônica (isto é, no sistema de coordenadas usual) do espaço $ℝ^{3}$ , representamos um vetor por

\vec{v} = [\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}],

(9.1)

então o seu comprimento (ou magnitude ou norma) é dado por

∥ \vec{v} ∥ = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}} .

(9.2)

Esta é uma instância do Teorema de Pitágoras¹ .

A deﬁnição acima pode ser generalizada para dimensão $n$ qualquer:

\vec{v} = [\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}] ⇝ ∥ \vec{v} ∥ = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + \dots + v_{n}^{2}} .

(9.3)

O produto escalar ou produto interno entre dois vetores $\vec{v}$ e $\vec{w}$ é um número (também dito escalar) associado com estes dois vetores. Em coordenadas, se $\vec{v} = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ e $\vec{w} = (w_{1}, w_{2}, w_{3})$ são vetores do espaço tridimensional $ℝ^{3}$ , temos

\vec{v} \cdot \vec{w} = v_{1} w_{1} + v_{2} w_{2} + v_{3} w_{3} .

(9.4)

Vejamos que realmente o produto escalar tem a ver com o ângulo entre dois vetores. Isto é uma consequência da Lei dos Cossenos, que nos diz que

∥ \vec{v} - \vec{w} ∥^{2} = ∥ \vec{v} ∥^{2} + ∥ \vec{w} ∥^{2} - 2 ∥ \vec{v} ∥ ∥ \vec{w} ∥ cos 𝜃,

(9.5)

onde $𝜃$ é o ângulo entre $\vec{v}$ e $\vec{w}$ .

Escrevendo estes comprimentos em termos das coordenadas e fazendo os cancelamentos necessários, chegamos na seguinte identidade:

v_{1} w_{1} + v_{2} w_{2} + v_{3} w_{3} = ∥ \vec{v} ∥ ∥ \vec{w} ∥ cos 𝜃, isto é, \vec{v} \cdot \vec{w} = ∥ \vec{v} ∥ ∥ \vec{w} ∥ cos 𝜃 .

(9.6)

Motivados pelos conceitos acima, consideramos

\vec{x} = [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] e \vec{y} = [\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ ⋮ \\ y_{n} \end{matrix}]

(9.7)

vetores de $ℝ^{n}$ representados na base canônica, e deﬁnimos o produto escalar ou produto interno entre $\vec{x}$ e $\vec{y}$ :

\vec{x} \cdot \vec{y} = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + \dots + x_{n} y_{n} .

(9.8)

O ângulo entre $\vec{x}$ e $\vec{y}$ , para $n$ qualquer, pode então ser deﬁnido pela equação

cos 𝜃 = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{∥ \vec{x} ∥ ∥ \vec{y} ∥} .

(9.9)

Embora abstratos, estes conceitos são bem fundamentados geometricamente. Dois vetores (linearmente independentes) de um espaço vetorial $n$ -dimensional geram um subespaço vetorial de dimensão $2$ . Este pode, por sua vez, pode ser pensado como um plano que passa pela origem de $ℝ^{n}$ . Assim, podemos imaginar o ângulo entre estes vetores naturalmente.

Proposição 78 (Principais propriedades do produto escalar). Para $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in ℝ^{n}$ e $c \in ℝ$ um escalar, temos as seguintes propriedades

1.: $\vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{x}$
2.: $(\vec{x} + \vec{y}) \cdot \vec{z} = \vec{x} \cdot \vec{z} + \vec{y} \cdot \vec{z}$
3.: $(c \vec{x}) \cdot \vec{y} = c \vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{x} \cdot (c \vec{y})$
4.: $\vec{x} \cdot \vec{x} \geq 0$ e $\vec{x} \cdot \vec{x} = 0$ se, e somente se, $\vec{x} = \vec{0}$ ;
5.: $∥ \vec{x} ∥ = \sqrt{\vec{x} \cdot \vec{x}}$ ;
6.: $∥ c \vec{x} ∥ = | c | ∥ \vec{x} ∥$ .

Estas propriedades são todas de fácil veriﬁcação (e são deixadas para o leitor veriﬁcar, como exercício).

Exemplo 79. Considere os vetores de $ℝ^{5}$ escritos na base canônica:

\vec{x} = [\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 0 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix}] e \vec{y} = [\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ - 1 \\ - 11 \\ 1 \end{matrix}]

(9.10)

Assim, temos

\vec{x} \cdot \vec{y} = (- 1) \cdot 4 + 2 \cdot 3 + 0 \cdot (- 1) + 3 \cdot (- 11) + (- 1) \cdot 1 = - 4 + 6 + 0 - 33 - 1 = - 31 .

(9.11)

Da mesma forma, podemos calcular os comprimentos

∥ \vec{x} ∥ = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 2^{2} + 0^{2} + 3^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{15} e ∥ \vec{y} ∥ = \sqrt{4^{2} + 3^{2} + {(- 1)}^{2} + {(- 11)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{148} .

(9.12)

Logo, o ângulo $𝜃$ entre estes vetores satisfaz (utilizamos uma calculadora para calcular as raízes quadradas e a função inversa do cosseno):

cos 𝜃 = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{∥ \vec{x} ∥ ∥ \vec{y} ∥} = \frac{- 31}{\sqrt{15} \sqrt{148}} ≃ - 0, 65794 \Rightarrow 𝜃 ≃ 2, 28887634 radianos ≃ 131, 1 2^{o} .

(9.13)

Exemplo 80. Considere um vetor tridimensional

\vec{u} = [\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix}] .

(9.14)

Já sabemos a multiplicação de um escalar pelo vetor $\vec{u}$ muda o comprimeto (e talvez também o sentido) do vetor. Por exemplo, se multiplicarmos por $2$ , o comprimento será multiplicado por $2$ ; se dividirmos por $3$ , o comprimento será dividido por $3$ . Se nós dividirmos pelo próprio comprimento de $\vec{u}$ nós obtemos um vetor unitário. Para veriﬁcar analíticamente, basta utilizar a Propriedade 6 acima:

c = \frac{1}{∥ \vec{u} ∥} \Rightarrow ∥\frac{\vec{u}}{∥ \vec{u} ∥}∥ = ∥ c \vec{u} ∥ = c ∥ \vec{u} ∥ = \frac{1}{∥ \vec{u} ∥} ∥ \vec{u} ∥ = 1 .

(9.15)

Então se quisermos encontrar um vetor unitário na direção de $\vec{u}$ acima, calculamos

∥ \vec{u} ∥ = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} ⇝ \vec{v} = \frac{\vec{u}}{∥ \vec{u} ∥} = \frac{\vec{u}}{\sqrt{14}} = [\begin{matrix} 2 ∕ \sqrt{14} \\ 3 ∕ \sqrt{14} \\ - 1 ∕ \sqrt{14} \end{matrix}]

(9.16)

é o vetor procurado. Este processo de obter um vetor unitário na mesma direção de um vetor previamente ﬁxado é chamado de normalização. Observe que existem apenas dois vetores unitários na mesma direção de $\vec{u}$ , a saber, $\vec{v}$ e $- \vec{v} .$

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