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Álgebra Linear - Um Livro Colaborativo

9.1 Comprimento, ângulos e o produto escalar


Se, na base canônica (isto é, no sistema de coordenadas usual) do espaço 3, representamos um vetor por

v = v1 v2 v3 , (9.1)

então o seu comprimento (ou magnitude ou norma) é dado por

v = v1 2 + v2 2 + v3 2. (9.2)

Esta é uma instância do Teorema de Pitágoras1 .


PIC


A definição acima pode ser generalizada para dimensão n qualquer:

v = v1 v2 v n v = v1 2 + v2 2 + + vn 2. (9.3)

O produto escalar ou produto interno entre dois vetores v e w é um número (também dito escalar) associado com estes dois vetores. Em coordenadas, se v = (v1,v2,v3) e w = (w1,w2,w3) são vetores do espaço tridimensional 3, temos

v w = v1w1 + v2w2 + v3w3. (9.4)

Vejamos que realmente o produto escalar tem a ver com o ângulo entre dois vetores. Isto é uma consequência da Lei dos Cossenos, que nos diz que

v w2 = v2 + w2 2vw cos 𝜃, (9.5)

onde 𝜃 é o ângulo entre v e w.

PIC

Escrevendo estes comprimentos em termos das coordenadas e fazendo os cancelamentos necessários, chegamos na seguinte identidade:

v1w1 + v2w2 + v3w3 = vw cos 𝜃, isto é,v w = vw cos 𝜃. (9.6)

Motivados pelos conceitos acima, consideramos

x = x1 x2 x n ey = y1 y2 y n (9.7)

vetores de n representados na base canônica, e definimos o produto escalar ou produto interno entre x e y:

x y = x1y1 + x2y2 + + xnyn. (9.8)

O ângulo entre x e y, para n qualquer, pode então ser definido pela equação

cos 𝜃 = x y xy. (9.9)

Embora abstratos, estes conceitos são bem fundamentados geometricamente. Dois vetores (linearmente independentes) de um espaço vetorial n-dimensional geram um subespaço vetorial de dimensão 2. Este pode, por sua vez, pode ser pensado como um plano que passa pela origem de n. Assim, podemos imaginar o ângulo entre estes vetores naturalmente.

Proposição 9.1.1 (Principais propriedades do produto escalar). Para x,y,z n e c um escalar, temos as seguintes propriedades

1.
x y = y x
2.
(x + y) z = x z + y z
3.
(cx) y = cx y = x (cy)
4.
x x 0 e x x = 0 se, e somente se, x = 0;
5.
x = x x;
6.
cx = |c|x.

Estas propriedades são todas de fácil verificação (e são deixadas para o leitor verificar, como exercício).

Exemplo 9.1.1. Considere os vetores de 5 escritos na base canônica:

x = 1 2 0 3 1 ey = 4 3 1 11 1 (9.10)

Assim, temos

xy = (1)4+23+0(1)+3(11)+(1)1 = 4+6+0331 = 31. (9.11)

Da mesma forma, podemos calcular os comprimentos

x = (1)2 + 22 + 02 + 32 + (1)2 = 15ey = 42 + 32 + (1)2 + (11)2 + 12 = 148. (9.12)

Logo, o ângulo 𝜃 entre estes vetores satisfaz (utilizamos uma calculadora para calcular as raízes quadradas e a função inversa do cosseno):

cos 𝜃 = x y xy = 31 15148 0,65794𝜃 2,28887634 radianos 131,12o. (9.13)

Exemplo 9.1.2. Considere um vetor tridimensional

u = 2 3 1 . (9.14)

Já sabemos a multiplicação de um escalar pelo vetor u muda o comprimento (e talvez também o sentido) do vetor. Por exemplo, se multiplicarmos por 2, o comprimento será multiplicado por 2; se dividirmos por 3, o comprimento será dividido por 3. Se nós dividirmos pelo próprio comprimento de u nós obtemos um vetor unitário. Para verificar analíticamente, basta utilizar a Propriedade 6 acima:

c = 1 u u u = cu = cu = 1 uu = 1. (9.15)

Então se quisermos encontrar um vetor unitário na direção de u acima, calculamos

u = 4 + 9 + 1 = 14 v = u u = u 14 = 214 314 114 (9.16)

é o vetor procurado. Este processo de obter um vetor unitário na mesma direção de um vetor previamente fixado é chamado de normalização. Observe que existem apenas dois vetores unitários na mesma direção de u, a saber, v e v.

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