Ortogonalidade

Álgebra Linear - Um Livro Colaborativo

9.2 Ortogonalidade

Como vimos na seção anterior, o produto escalar está relacionado com o ângulo entre dois vetores pela fórmula

cos 𝜃 = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{∥ \vec{x} ∥ ∥ \vec{y} ∥} .

(9.17)

Quando este ângulo $𝜃$ é igual a $π ∕ 2$ (que é equivalente a $9 0^{o}$ ), vale que $cos 𝜃 = 0$ e logo $\vec{x} \cdot \vec{y} = 0$ .

Nós vamos dizer que os dois vetores $\vec{x}$ e $\vec{y}$ são ortogonais quando satisfazem

\vec{x} \cdot \vec{y} = 0 .

(9.18)

Poderíamos também usar a palavra perpendiculares, mas por algum motivo esta terminologia é bastante menos comum quando lidamos com vetores em espaços vetoriais de dimensão maior do que $3$ .

Dizemos também que um conjunto de vetores é um conjunto ortogonal se todo par de vetores do conjunto for ortogonal. Em outras palavras, um conjunto ${{\vec{v}}_{1}, {\vec{v}}_{2}, \dots, {\vec{v}}_{k}}$ é um conjunto ortonogonal se, para qualquer escolha de índices $i \neq j$ , tivermos ${\vec{v}}_{i} \cdot {\vec{v}}_{j} = 0$ .

Se, além de o conjunto ser ortogonal, todos os seus elementos serem unitários (estarem normalizados), então nós dizemos que o conjunto é um conjunto ortonormal. De outra maneira, um conjunto ${{\vec{v}}_{1}, {\vec{v}}_{2}, \dots, {\vec{v}}_{k}}$ é um conjunto ortonormal se, para qualquer índice $i$ , $∥ {\vec{v}}_{i} ∥ = 1$ e, para qualquer escolha de índices $i \neq j$ , tivermos ${\vec{v}}_{i} \cdot {\vec{v}}_{j} = 0$ .²

Exemplo 81. Os vetores

\vec{x} = [\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix}] e \vec{y} = [\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}]

(9.20)

são ortogonais, pois $\vec{x} \cdot \vec{y} = (- 1) \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 0$ , enquanto que os vetores

\vec{w} = [\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}] e \vec{z} = [\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}]

(9.21)

não são ortogonais, já que $\vec{w} \cdot \vec{z} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 4$ . Nestes casos, podemso dizer que o conjunto ${\vec{x}, \vec{y}}$ é um conjunto ortogonal enquanto ${\vec{w}, \vec{z}}$ não é.

Exemplo 82. A base canônica do espaço $ℝ^{n}$ :

{\vec{e}}_{1} = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}], {\vec{e}}_{2} = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}], {\vec{e}}_{3} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}], \dots, {\vec{e}}_{n} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix}]

(9.22)

é um conjunto ortogonal, porque quando escolhermos $i \neq j$ , temos

{\vec{e}}_{i} \cdot {\vec{e}}_{j} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 .

(9.23)

É também ortonormal, já que, para todo $i$ ,

∥ {\vec{e}}_{i} ∥ = \sqrt{0^{2} + 0^{2} + \dots + 1^{2} + \dots + 0^{2} + 0^{2}} = 1 .

(9.24)

Uma primeira propriedade de ortogonalidade é uma versão para espaços vetoriais quaisquer do Teorema de Pitágoras, que aparece naturamente ao considerarmos vetores ortogonais.

Teorema 83 (Teorema de Pitágoras). Se dois vetores $\vec{x}$ e $\vec{y}$ são ortogonais, então

∥ \vec{x} + \vec{y} ∥^{2} = ∥ \vec{x} ∥^{2} + ∥ \vec{y} ∥^{2} .

(9.25)

Demonstração. Esperamos que esta demonstração auxilie no compreendimento analítico e geométrico dos conceitos que introduzimos até agora. O vetor

\vec{x} + \vec{y}

pode ser considerado a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos

\vec{x}

\vec{y}

(fazer uma ﬁgura!).

Pelas propriedades do comprimento e do produto escalar, temos que, para quaisquer dois vetores $\vec{x}$ e $\vec{y}$ (não necessariamente ortogonais), vale que

∥ \vec{x} + \vec{y} ∥^{2} = (\vec{x} + \vec{y}) \cdot (\vec{x} + \vec{y}) = \vec{x} \cdot \vec{x} + \vec{x} \cdot \vec{y} + \vec{y} \cdot \vec{x} + \vec{y} \cdot \vec{y} = ∥ \vec{x} ∥^{2} + 2 (\vec{x} \cdot \vec{y}) + ∥ \vec{y} ∥^{2} .

(9.26)

De certa maneira, esta é uma forma de reescrever a Lei dos Cossenos. Quando os vetores $\vec{x}$ e $\vec{y}$ forem ortogonais, temos $\vec{x} \cdot \vec{y} = 0$ , concluimos que

∥ \vec{x} + \vec{y} ∥^{2} = ∥ \vec{x} ∥^{2} + ∥ \vec{y} ∥^{2} .

(9.27)

$■$

Notamos que, de acordo com a nossa deﬁnição, o vetor nulo é ortogonal a qualquer outro. Vejamos, no entanto, que vetores não nulos satisfazem propriedades adicionais.

Teorema 84. Todo conjunto ortogonal ${{\vec{v}}_{1}, {\vec{v}}_{2}, \dots, {\vec{v}}_{k}}$ formado por vetores não nulos é um conjunto linearmente independente (LI).

Demonstração. Considerando uma combinação linear

c_{1} {\vec{v}}_{1} + c_{2} {\vec{v}}_{2} + \dots + c_{k} {\vec{v}}_{k} = \vec{0}

(9.28)

e fazendo o produto escalar com qualquer dos vetores ${\vec{v}}_{j}$ na equação acima, concluimos que

(c_{1} {\vec{v}}_{1} + c_{2} {\vec{v}}_{2} + \dots + c_{k} {\vec{v}}_{k}) \cdot {\vec{v}}_{j} = \vec{0} \cdot {\vec{v}}_{j} .

(9.29)

Agora, a condição de ortogonalidade nos diz que ${\vec{v}}_{i} \cdot {\vec{v}}_{j} = 0$ sempre que $i \neq j$ . Portanto,

c_{j} ∥ {\vec{v}}_{j} ∥ = c_{j} ({\vec{v}}_{j} \cdot {\vec{v}}_{j}) = 0 \overset{{\vec{v}}_{j} \neq \vec{0}}{\Rightarrow} c_{j} = 0 .

(9.30)

Isto é a deﬁnição de um conjunto ser LI: qualquer combinação linear que resulte no vetor nulo deve ter todos os coeﬁcientes nulos.

$■$

Exemplo 85. O conjunto

\{{\vec{u}}_{1} = [\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}], {\vec{u}}_{2} = [\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}], {\vec{u}}_{3} = [\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}]\}

(9.31)

pois

\begin{matrix} \begin{aligned} {\vec{u}}_{1} \cdot {\vec{u}}_{2} = 2 + 2 - 4 = 0, \\ {\vec{u}}_{1} \cdot {\vec{u}}_{3} = 2 - 4 + 2 = 0, \\ {\vec{u}}_{2} \cdot {\vec{u}}_{3} = 4 - 2 - 2 = 0 . \end{aligned} \end{matrix}

(9.32)

Logo, pelo teorema acima, o conjunto ${{\vec{u}}_{1}, {\vec{u}}_{2}, {\vec{u}}_{3}}$ é linearmente independente. Neste exemplo, são todos elementos de $ℝ^{3}$ ; portanto, formam uma base para $ℝ^{3}$ que é também ortogonal (voltaremos a falar sobre bases ortogonais em breve) $.$

Uma das aplicações mais importantes do produto escalar reside no fato de nós conseguirmos fazer projeções ortogonais em direções ﬁxadas. Por exemplo, suponhamos que em um sistema físico, um vetor $\vec{v}$ representa a força aplicada em um ponto, como na ﬁgura abaixo.

Gostaríamos de encontrar a componente do vetor na direção da reta tracejada. Para isto, podemos considerar um vetor unitário $\vec{u}$ sobre a reta. Assim, a componente de $\vec{v}$ na direção de $\vec{u}$ é igual a $k \vec{u}$ , onde $k$ tem a ver com o cosseno do ângulo entre os vetores:

cos 𝜃 = \frac{cateto adjacente}{hipotenusa} = \frac{k}{∥ \vec{v} ∥} .

(9.33)

Utilizando novamente que $\vec{u}$ é um vetor unitário (isto é, $∥ \vec{u} ∥ = 1$ ), concluimos que

k = ∥ \vec{v} ∥ cos 𝜃 = ∥ \vec{u} ∥ ∥ \vec{v} ∥ cos 𝜃 = \vec{u} \cdot \vec{v} .

(9.34)

Assim sendo, deﬁnimos a projeção ortogonal de $\vec{v}$ em um vetor unitário $\vec{u}$ como sendo

{proj}_{\vec{u}} \vec{v} = (\vec{u} \cdot \vec{v}) \vec{u} .

(9.35)

No caso onde $\vec{u}$ não está normalizado, devemos primeiramente normalizar o vetor, de modo que a projeção ortogonal é dada por

{proj}_{\vec{u}} \vec{v} = (\frac{\vec{u}}{∥ \vec{u} ∥} \cdot \vec{v}) \frac{\vec{u}}{∥ \vec{u} ∥} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{∥ \vec{u} ∥^{2}} \vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\vec{u} \cdot \vec{u}} \vec{u} .

(9.36)

Exemplo 86. Considere vetores no espaço de quatro dimensões $ℝ^{4}$ . Vamos determinar a projeção do vetor $\vec{v} = [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}]$ na direção da reta que tem a mesma direção do vetor $\vec{u} = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}] .$ Observamos inicialmente que $∥ \vec{u} ∥ = \sqrt{4} = 2$ não é unitário. Temos que

{proj}_{\vec{u}} \vec{v} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{∥ \vec{u} ∥^{2}} \vec{u} = \frac{1 - 1 + 3 - 4}{4} [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}] = - \frac{1}{4} [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 ∕ 4 \\ 1 ∕ 4 \\ 1 ∕ 4 \\ - 1 ∕ 4 \end{matrix}] .

(9.37)

A projeção de $\vec{v}$ sobre o vetor ${\vec{e}}_{3}$ da base canônica de $ℝ^{4}$ é (observe que $∥ {\vec{e}}_{3} ∥ = 1$ )

{proj}_{{\vec{e}}_{3}} \vec{v} = ({\vec{e}}_{3} \cdot \vec{v}) {\vec{e}}_{3} = (0 + 0 + 3 + 0) [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}] .

(9.38)

Observe que a projeção sobre o vetor ${\vec{e}}_{3}$ da base canônica apenas “enfatiza” a terceira componente do vetor $\vec{v}$ . Isto é bastante natural, pois $\vec{v} \cdot {\vec{e}}_{3}$ deve fornecer o comprimento da projeção de $\vec{v}$ na direção do vetor unitário ${\vec{e}}_{3}$ , que deve ser igual a terceira componente do vetor. É justamente assim que usamos a base canônica para representar vetores geometricamente. De forma geral, podemos escrever

\vec{v} = (\vec{v} \cdot {\vec{e}}_{1}) {\vec{e}}_{1} + (\vec{v} \cdot {\vec{e}}_{2}) {\vec{e}}_{2} + (\vec{v} \cdot {\vec{e}}_{3}) {\vec{e}}_{3} + (\vec{v} \cdot {\vec{e}}_{4}) {\vec{e}}_{4} .

(9.39)

Este tipo de represetação será explorado com mais detalhes na próxima seção $.$

As projeções ortogonais também podem ser utilizadas para o cálculo de distâncias de ponto à retas que passam pela origem: Pela interpretação geométrica da subtração de vetores, obtemos um vetor perpendicular à reta com a direção de $\vec{u}$ e que termina onde termina o vetor $\vec{v}$ (ver ﬁgura).

Desta maneira, o comprimento deste vetor, a saber $∥ \vec{u} - {proj}_{\vec{u}} \vec{v} ∥$ , é a distância procurada.³

Exemplo 87. Calcular a distância do ponto $P = (0, 2, 3)$ e a reta que passa pela origem e tem a direção do vetor $\vec{u} = [\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}] .$

Para isto, consideramos o vetor $\vec{v}$ cujas componentes são as componentes do ponto $P$ . Assim, estamos na situação da discussão acima e vale que

{proj}_{\vec{u}} \vec{v} = \frac{7}{6} [\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}] \Rightarrow \vec{u} - {proj}_{\vec{u}} \vec{v} = [\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}] - \frac{7}{6} [\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 7 ∕ 6 \\ - 1 ∕ 3 \\ 11 ∕ 6 \end{matrix}] .

(9.40)

Portanto,

d = ∥ \vec{u} - {proj}_{\vec{u}} \vec{v} ∥ = \frac{\sqrt{49 + 1 + 121}}{6} = \frac{\sqrt{171}}{6} ≃ 2, 18 .

(9.41)

Exercício 7. Como poderíamos fazer se a reta não passasse pela origem? O mesmo raciocínio funciona?

Exercícios resolvidos

Esta seção carece de exercícios resolvidos. Clique em e inicie a editá-la agora mesmo. Veja outras formas de participar clicando aqui.

Exercícios

Esta seção carece de exercícios. Clique em e inicie a editá-la agora mesmo. Veja outras formas de participar clicando aqui.

Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 19/8/2020 às 17:34:13.

Recursos

Projeto

IME - UFRGS
- Página do IME
- Página da UFRGS

UFRGS - IME - Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Contato: reamat@ufrgs.br.

Informe erros ou edite você mesmo!