10.4 Fatoração QR e matrizes ortogonais

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Como passamos a discutir abaixo, o método de Gram-Schmidt permite fatorar uma matriz $A$ cujas colunas são linearmente independentes em um produto

$$A=QR,$$

(10.48)

onde Q é uma matriz cujas colunas formam um conjunto ortonormal e $R$ é uma matriz triangular superior. Tal fatoração é muito importante do ponto de vista computacional, como veremos em breve, quando usarmos a fatoração QR como uma alternativa para resolução de sistemas lineareas por mínimos quadrados. Também é a base de um eficiente método numérico para encontrar autovalores de uma matriz quadrada.

Matrizes cujas colunas formam um conjunto ortonormal são muito úteis e por isso recebem um nome especial: são chamadas de matrizes ortogonais. Aqui cabe uma observação relevante: este é um exemplo de uma situação onde a terminologia clássica está longe de ser satisfatória: matrizes cujas colunas formam um conjunto ortonormal são chamadas de matrizes ortogonais.

Faremos agora uma exposição da fatoração QR usando uma matriz inicial $A$ que tem 3 colunas, observando que a construção abaixo é facilmente generalizada para uma matriz de qualquer dimensão (desde que tenha colunas LI).

Dada uma matriz $A=\left[\begin{array}{ccc}\hfill {\overrightarrow{v}}_1\hfill & \hfill {\overrightarrow{v}}_2\hfill & \hfill {\overrightarrow{v}}_3\hfill \end{array}\right]$ cujas colunas são LI e são denotadas pelos vetores ${\overrightarrow{v}}_1$, ${\overrightarrow{v}}_2$, e ${\overrightarrow{v}}_3$, o processo de Gram-Schmidt começa com a construção de uma base ortogonal formada pelos vetores ${\overrightarrow{u}}_1$, ${\overrightarrow{u}}_2$, e ${\overrightarrow{u}}_3$, para o espaço-coluna da matriz $A$. Para isso, definimos

$$\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{u}}_1={\overrightarrow{v}}_1\hfill \\ {\overrightarrow{u}}_2={\overrightarrow{v}}_2-{proj}_{{\overrightarrow{u}}_1}{\overrightarrow{v}}_2\hfill \\ {\overrightarrow{u}}_3={\overrightarrow{v}}_3-{proj}_{Span\left\{{\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2\right\}}{\overrightarrow{v}}_3\hfill \end{array}\right.$$

(10.49)

Desta forma, existem coeficientes $b_1$, $c_1$ e $c_2\in ℝ$ tais que

$$\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{u}}_1={\overrightarrow{v}}_1\hfill \\ {\overrightarrow{u}}_2={\overrightarrow{v}}_2-b_1{\overrightarrow{u}}_1\hfill \\ {\overrightarrow{u}}_3={\overrightarrow{v}}_3-c_1{\overrightarrow{u}}_1-c_2{\overrightarrow{u}}_2\hfill \end{array}\right..$$

(10.50)

Estes coeficientes são justamente aqueles que aparecem nas fórmulas (10.33) e (10.35). Apenas denotamos desta forma para não poluir as equações e facilitar o entendimento.

Em um segundo momento, cada um dos três vetores ${\overrightarrow{u}}_1$, ${\overrightarrow{u}}_2$, e ${\overrightarrow{u}}_3$ pode ser normalizado, ou seja, podemos dividir cada um deles pelo seu comprimento para obter uma base ortonormal. Assim, ${\overrightarrow{u}}_1$, ${\overrightarrow{u}}_2$, e ${\overrightarrow{u}}_3$ formam uma base ortonormal para o espaço coluna de $A$, e existem coeficientes ${\alpha }_1$, ${\beta }_1$, ${\beta }_2$, ${\gamma }_1$, ${\gamma }_2$ e ${\gamma }_3\in ℝ$ tais que²

$$\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{u}}_1={\alpha }_1{\overrightarrow{v}}_1\hfill \\ {\overrightarrow{u}}_2={\beta }_2{\overrightarrow{v}}_2-{\beta }_1{\overrightarrow{u}}_1\hfill \\ {\overrightarrow{u}}_3={\gamma }_3{\overrightarrow{v}}_3-{\gamma }_1{\overrightarrow{u}}_1-{\gamma }_2{\overrightarrow{u}}_2\hfill \end{array}\right.$$

(10.52)

Podemos agora inverter estas equações (que são do tipo triangular – faça as contas!) para escrever as colunas da matriz $A$ em função dos vetores da base ortonormal $\left\{{\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2,{\overrightarrow{u}}_3\right\}$ que acaba de ser obtida:

$$\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{v}}_1={\alpha }_1^{-1}{\overrightarrow{u}}_1\hfill \\ {\overrightarrow{v}}_2={\beta }_2^{-1}{\beta }_1{\overrightarrow{u}}_1+{\beta }_2^{-1}{\overrightarrow{u}}_2\hfill \\ {\overrightarrow{v}}_3={\gamma }_3^{-1}{\gamma }_1{\overrightarrow{u}}_1+{\gamma }_3^{-1}{\gamma }_2{\overrightarrow{u}}_2+{\gamma }_3^{-1}{\overrightarrow{u}}_3\hfill \end{array}\right.$$

(10.53)

Matricialemente, estas equações podem ser escritas como

$$\left[\begin{array}{ccc}\hfill |\hfill & \hfill |\hfill & \hfill |\hfill \\ \hfill {\overrightarrow{v}}_1\hfill & \hfill {\overrightarrow{v}}_2\hfill & \hfill {\overrightarrow{v}}_3\hfill \\ \hfill |\hfill & \hfill |\hfill & \hfill |\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\hfill |\hfill & \hfill |\hfill & \hfill |\hfill \\ \hfill {\overrightarrow{u}}_1\hfill & \hfill {\overrightarrow{u}}_2\hfill & \hfill {\overrightarrow{u}}_3\hfill \\ \hfill |\hfill & \hfill |\hfill & \hfill |\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\hfill {\alpha }_1^{-1}\hfill & \hfill {\beta }_2^{-1}{\beta }_1\hfill & \hfill {\gamma }_3^{-1}{\gamma }_1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill {\beta }_2^{-1}\hfill & \hfill {\gamma }_3^{-1}{\gamma }_2\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill {\gamma }_3^{-1}\hfill \end{array}\right],$$

(10.54)

visto que cada coluna do produto da direita é definido como a combinação linear das colunas da primeira matriz com pesos dados pela respectiva coluna da segunda matriz.³ Assim, definindo

$$Q=\left[\begin{array}{ccc}\hfill |\hfill & \hfill |\hfill & \hfill |\hfill \\ \hfill {\overrightarrow{u}}_1\hfill & \hfill {\overrightarrow{u}}_2\hfill & \hfill {\overrightarrow{u}}_3\hfill \\ \hfill |\hfill & \hfill |\hfill & \hfill |\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]\text{e}R=\left[\begin{array}{ccc}\hfill {\alpha }_1^{-1}\hfill & \hfill {\beta }_2^{-1}{\beta }_1\hfill & \hfill {\gamma }_3^{-1}{\gamma }_1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill {\beta }_2^{-1}\hfill & \hfill {\gamma }_3^{-1}{\gamma }_2\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill {\gamma }_3^{-1}\hfill \end{array}\right],$$

(10.55)

obtemos

$$A=QR,$$

(10.56)

que é o que queríamos obter.

Note também que $R$ é invertível, já que sua diagonal principal contém apenas termos não-nulos.

A construção acima é facilmente generalizada para matrizes quaisquer e nos permite enunciar o seguinte fato (lembre que uma matriz ortogonal é uma matriz cujas colunas formam um conjunto ortonormal):

Note que a fatoração QR está para o processo de Gram-Schmidt assim como a fatoração LU está para o método de eliminação gaussiana à forma escada

Bem, vimos que a matriz $Q$ tem como colunas a base ortonormal gerada pelo processo de Gram-Schmidt. E como podemos calcular a matriz $R$ no caso geral ?

Usando o seguinte fato surpreendente:

Assim, se $A=QR$, basta multiplicar ambos os lados desta equação por $Q^T$ pela esquerda para obtermos:

$$Q^{T}A=Q^{T}QR\Rightarrow R=Q^{T}A.$$

(10.58)

No último exemplo da seção anterior, obtemos através do método de Gram-Schmidt uma base ortonormal para $ColA$ onde

$$A=\left[\begin{array}{ccc}\hfill 12\hfill & \hfill -51\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill 6\hfill & \hfill 167\hfill & \hfill -68\hfill \\ \hfill -4\hfill & \hfill 24\hfill & \hfill -41\hfill \end{array}\right].$$

(10.59)

Vamos definir a matriz $Q$ como a matriz formada pelos vetores desta base ortonormal:

$$Q=\left[\begin{array}{ccc}\hfill 6∕7\hfill & \hfill -69∕175\hfill & \hfill -58∕175\hfill \\ \hfill 3∕7\hfill & \hfill 158∕175\hfill & \hfill 6∕175\hfill \\ \hfill -2∕7\hfill & \hfill 6∕35\hfill & \hfill -33∕35\hfill \end{array}\right]$$

(10.60)

Vimos que $R=Q^{T}A$ e portanto

$$R=Q^{T}A=\left[\begin{array}{ccc}\hfill 6∕7\hfill & \hfill 3∕7\hfill & \hfill -2∕7\hfill \\ \hfill -69∕175\hfill & \hfill 158∕175\hfill & \hfill 6∕35\hfill \\ \hfill -58∕175\hfill & \hfill 6∕175\hfill & \hfill -33∕35\hfill \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\hfill 12\hfill & \hfill -51\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill 6\hfill & \hfill 167\hfill & \hfill -68\hfill \\ \hfill -4\hfill & \hfill 24\hfill & \hfill -41\hfill \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\hfill 14\hfill & \hfill 21\hfill & \hfill -14\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 175\hfill & \hfill -70\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 35\hfill \end{array}\right].$$

(10.61)

Finalmente podemos escrever

$$A=\left[\begin{array}{ccc}\hfill 12\hfill & \hfill -51\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill 6\hfill & \hfill 167\hfill & \hfill -68\hfill \\ \hfill -4\hfill & \hfill 24\hfill & \hfill -41\hfill \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\hfill 6∕7\hfill & \hfill -69∕175\hfill & \hfill -58∕175\hfill \\ \hfill 3∕7\hfill & \hfill 158∕175\hfill & \hfill 6∕175\hfill \\ \hfill -2∕7\hfill & \hfill 6∕35\hfill & \hfill -33∕35\hfill \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\hfill 14\hfill & \hfill 21\hfill & \hfill -14\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 175\hfill & \hfill -70\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 35\hfill \end{array}\right]=QR.$$

(10.62)