Transformações lineares

Álgebra Linear - Um Livro Colaborativo

3.3 Transformações lineares

Uma transformação linear é um tipo especial de função que associa um vetor a outro vetor

T : {vetores} \to {vetores}

(3.18)

e com a propriedade adicional:

T (a \vec{u} + b \vec{v}) = a T (\vec{u}) + b T (\vec{v}), para todos a, b \in ℝ e todos \vec{u}, \vec{v} .

(3.19)

Em geral, pensamos em uma transformação linear como “transformando um vetor em outro” de forma linear, isto é, satisfazendo a propriedade acima.

Exemplo 16. A aplicação $T : ℝ^{3} \to ℝ^{3}$ dada por $T (\vec{u}) = 3 \vec{u}$ é a transformação linear que transforma um vetor de $ℝ^{3}$ no vetor que tem o triplo do comprimento. Utilizamos a própria fórmula da transformada para veriﬁcar que a tranformação $T$ é de fato linear:

T (a \vec{u} + b \vec{v}) = 3 (a \vec{u} + b \vec{v}) = a \cdot 3 \vec{u} + b \cdot 3 \vec{v} = a T (\vec{u}) + b T (\vec{v}) .

(3.20)

Exemplo 17. Também é linear a transformação que faz uma rotação de um ângulo $π ∕ 2$ . Tente se convencer geometricamente que esta transformação é uma transformação linear. Voltaremos a este exmeplo com mais detalhes na seção seguinte $.$

Exemplo 18. Consideramos a transformação $T : ℝ^{2} \to ℝ^{3}$ , que transforma vetores de $ℝ^{2}$ em vetores de $ℝ^{3}$ , dada pela fórmula

T (x_{1}, x_{2}) = (x_{1} - 3 x_{2}, 3 x_{1} + 5 x_{2}, - x_{1} + x_{2}) .

(3.21)

Nota que, excepcionalmente, estamos representando os vetores como linhas. É comum quando tratamos de transformações lineares. Esta fórmula nos diz, por exemplo, que os vetores

\vec{u} = [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}] e \vec{v} = [\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix}]

(3.22)

são transformados nos vetores

T (\vec{u}) = [\begin{matrix} 1 - 3 \cdot (- 1) \\ 3 \cdot 1 + 5 \cdot (- 1) \\ - 1 + (- 1) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 \\ - 2 \\ - 2 \end{matrix}] e T (\vec{v}) = [\begin{matrix} 0 - 3 \cdot 3 \\ 3 \cdot 0 + 5 \cdot 3 \\ - 0 + 3 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 9 \\ 15 \\ 3 \end{matrix}] .

(3.23)

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