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Álgebra Linear - Um Livro Colaborativo

3.3 Transformações lineares


Uma transformação linear é um tipo especial de função que associa um vetor a outro vetor

T : {vetores}{vetores} (3.27)

e com a propriedade adicional:

Tau + bv = aT(u) + bT(v),para todos a,b e todos u,v. (3.28)

Em geral, pensamos em uma transformação linear como “transformando um vetor em outro” de forma linear, isto é, satisfazendo a propriedade acima.

Exemplo 3.3.1. A aplicação T : 3 3 dada por T(u) = 3u é a transformação linear que transforma um vetor de 3 no vetor que tem o triplo do comprimento. Utilizamos a própria fórmula da transformada para verificar que a transformação T é de fato linear:

Tau + bv = 3(au + bv) = a 3u + b 3v = aT(u) + bT(v). (3.29)

Exemplo 3.3.2. Também é linear a transformação que faz uma rotação de um ângulo π2. Tente se convencer geometricamente que esta transformação é uma transformação linear. Voltaremos a este exmeplo com mais detalhes na seção seguinte.

Exemplo 3.3.3. Consideramos a transformação T : 2 3, que transforma vetores de 2 em vetores de 3, dada pela fórmula

T(x1,x2) = (x1 3x2, 3x1 + 5x2,x1 + x2). (3.30)

Nota que, excepcionalmente, estamos representando os vetores como linhas. É comum quando tratamos de transformações lineares. Esta fórmula nos diz, por exemplo, que os vetores

u = 1 1 ev = 0 3 (3.31)

são transformados nos vetores

Tu = 1 3 (1) 3 1 + 5 (1) 1 + (1) = 4 2 2 eTv = 0 3 3 3 0 + 5 3 0 + 3 = 9 15 3 . (3.32)

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