3.4 Matriz de uma transformação linear

---

Voltemos à transformação linear

$$T\left(x_1,x_2\right)=\left(x_1-3x_2,3x_1+5x_2,-x_1+x_2\right)$$

(3.24)

do Exemplo 18. Lembramos que um vetor qualquer de ${ℝ}^2$ pode ser escrito como combinação linear dos vetores

$${\overrightarrow{e}}_1=\left[\begin{array}{c}\hfill 1\\ \hfill 0\\ \hfill \end{array}\right]\text{e}{\overrightarrow{e}}_2=\left[\begin{array}{c}\hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right].$$

(3.25)

De fato,

$$\overrightarrow{u}=\left[\begin{array}{c}\hfill x_1\\ \hfill x_2\\ \hfill \end{array}\right]=x_1\left[\begin{array}{c}\hfill 1\\ \hfill 0\\ \hfill \end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}\hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]=x_1{\overrightarrow{e}}_1+x_2{\overrightarrow{e}}_2.$$

(3.26)

Logo, utilizando a propriedade de a transformação ser linear, temos que

$$T\left(\overrightarrow{u}\right)=T\left(\right.x_1{\overrightarrow{e}}_1+x_2{\overrightarrow{e}}_2\left)\right.=x_{1}T\left({\overrightarrow{e}}_1\right)+x_{2}T\left({\overrightarrow{e}}_2\right).$$

(3.27)

Calculamos $T\left({\overrightarrow{e}}_1\right)$ e $T\left({\overrightarrow{e}}_2\right)$ pela fórmula dada da transformação linear:

$$T\left({\overrightarrow{e}}_1\right)=\left[\begin{array}{c}\hfill 1\\ \hfill 3\\ \hfill -1\\ \hfill \end{array}\right]\text{e}T\left({\overrightarrow{e}}_2\right)=\left[\begin{array}{c}\hfill -3\\ \hfill 5\\ \hfill 1\\ \hfill \end{array}\right].$$

(3.28)

Concluimos que

$$T\left(\overrightarrow{u}\right)=x_1\left[\begin{array}{c}\hfill 1\\ \hfill 3\\ \hfill -1\\ \hfill \end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}\hfill -3\\ \hfill 5\\ \hfill 1\\ \hfill \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\hfill 1& \hfill -3\\ \hfill 3& \hfill 5\\ \hfill -1& \hfill 1\\ \hfill \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hfill x_1\\ \hfill x_2\\ \hfill \end{array}\right].$$

(3.29)

Desta forma, associamos uma matriz de ordem $3\times 2$ à transformação linear $T:{ℝ}^2\to {ℝ}^3$.

O procedimento que aplicamos acima não é particular do exemplo que analisamos, de modo que é sempre possível associar a uma transformação linear $T:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ uma matriz $A$ de ordem $m\times n$, chamada matriz canônica associada à transformação linear $T$ ou apenas matriz associada a $T$, cujas colunas são os vetores $T\left({\overrightarrow{e}}_1\right),T\left({\overrightarrow{e}}_2\right),T\left({\overrightarrow{e}}_3\right),\dots ,T\left({\overrightarrow{e}}_n\right)\in {ℝ}^m$ (e portanto $n$ colunas com $m$ componentes cada).

Exercícios resolvidos

---

Exercícios

---