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Álgebra Linear - Um Livro Colaborativo

3.4 Matriz de uma transformação linear


Voltemos à transformação linear

T(x1,x2) = (x1 3x2, 3x1 + 5x2,x1 + x2) (3.33)

do Exemplo 3.3.3. Lembramos que um vetor qualquer de 2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores

e1 = 1 0 ee2 = 0 1 . (3.34)

De fato,

u = x1 x2 = x1 1 0 +x2 0 1 = x1e1+x2e2. (3.35)

Logo, utilizando a propriedade de a transformação ser linear, temos que

T(u) = Tx1e1 + x2e2 = x1T(e1) + x2T(e2). (3.36)

Calculamos T(e1) e T(e2) pela fórmula dada da transformação linear:

T(e1) = 1 3 1 eT(e2) = 3 5 1 . (3.37)

Concluimos que

T(u) = x1 1 3 1 +x2 3 5 1 = 1 3 3 5 1 1 x1 x2 . (3.38)

Desta forma, associamos uma matriz de ordem 3 × 2 à transformação linear T : 2 3.

O procedimento que aplicamos acima não é particular do exemplo que analisamos, de modo que é sempre possível associar a uma transformação linear T : n m uma matriz A de ordem m × n, chamada matriz canônica associada à transformação linear T ou apenas matriz associada a T, cujas colunas são os vetores T(e1),T(e2),T(e3),,T(en) m (e portanto n colunas com m componentes cada).

Exemplo 3.4.1. A transformação linear T : 3 3, T(u) = 5u, satisfaz

T(e1) = 5 0 0 ,T(e2) = 0 5 0 eT(e3) = 0 0 5 . (3.39)

Assim, podemos escrever

T(x) = 5 0 0 0 5 0 0 0 5 x1 x2 x3 . (3.40)

Exemplo 3.4.2. O método acima pode também ser aplicado para conseguirmos uma fórmula para transformações lineares como as do Exemplo 3.3.2. Vamos considerar a aplicação T : 2 2 definida por

T(x) = rotação no sentido anti-horário de x por um ângulo 𝜃 (0, 2π). (3.41)

A matriz da transformação linear tem por colunas a imagem por T dos vetores e1 e e2. Observamos que (ver figura)


PIC


T(e1) = cos 𝜃 sen 𝜃 ,T(e2) = sen 𝜃 cos 𝜃 . (3.42)

Logo, concluimos que

T(x) = cos 𝜃 sen 𝜃 sen 𝜃 cos 𝜃 x1 x2 . (3.43)

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