4.3 Matriz inversa

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Agora que temos definido um produto de matrizes, é natural de nos perguntarmos quais das propriedades usuais do produto entre números reais se mantém válidas.

Por exemplo, a matriz identidade $I_n$ é a matriz quadrada de ordem $n\times n$ que tem $1$ na diagonal principal e $0$ nas demais posições. No caso $3\times 3$, temos

$$I_3=\left[\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right].$$

(4.16)

Esta matriz satisfaz $A{I}_n=A$ para qualquer matriz $A$ de ordem $m\times n$. Da mesma forma, temos $I_{n}B=B$ para qualquer matriz $B$ de ordem $n\times m$ (observe atentamente os índices!). O nome identidade vem desta propriedade, que é parecida com a propriedade da unidade nos números reais: $1\cdot x=x=x\cdot 1$.

Existindo a matriz identidade, outra pergunta natural é se existe um inverso multiplicativo. Para números reais, qualquer número não nulo possui:

$$x\in ℝ,x\ne 0\Rightarrow x^{-1}=\frac{1}{x}\text{é um inverso multiplicativo,}$$

(4.17)

isto é, satisfaz $x\cdot x^{-1}=1$.

Vamos procurar por matrizes inversas: dada uma matriz $A$, queremos encontrar uma matriz $A^{-1}$ de modo que

$$A{A}^{-1}=I_n=A^{-1}A.$$

(4.18)

Escrevemos de duas formas diferentes acima, pois o produto de matrizes não é comutativo. A matriz $A^{-1}$ é chamada a matriz inversa de $A$. Observe que $A$ deve ser quadrada (por quê?).

4.3.1 Caso $2\times 2$

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Vamos procurar pela inversa de

$$A=\left[\begin{array}{cc}\hfill a\hfill & \hfill b\hfill \\ \hfill c\hfill & \hfill d\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right].$$

(4.19)

Escrevemos

$$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\hfill x_1\hfill & \hfill y_1\hfill \\ \hfill x_2\hfill & \hfill y_2\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]$$

(4.20)

e queremos descobrir os valores $x_1,x_2,y_1,y_2$ que satisfazem

$$\left[\begin{array}{cc}\hfill a\hfill & \hfill b\hfill \\ \hfill c\hfill & \hfill d\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\hfill x_1\hfill & \hfill y_1\hfill \\ \hfill x_2\hfill & \hfill y_2\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]$$

(4.21)

Pela interpretação que demos anteriormente ao produto de matrizes, encontrar

$$\overrightarrow{x}=\left[\begin{array}{c}\hfill x_1\hfill \\ \hfill x_2\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]\text{e}\overrightarrow{y}=\left[\begin{array}{c}\hfill y_1\hfill \\ \hfill y_2\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]$$

(4.22)

é equivalente a resolver ao mesmo tempo os dois sistemas

$$A\overrightarrow{x}=\left[\begin{array}{c}\hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]={\overrightarrow{e}}_1\text{e}A\overrightarrow{y}=\left[\begin{array}{c}\hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]={\overrightarrow{e}}_2.$$

(4.23)

A ideia é então resolver por escalonamento os sistemas cuja matriz aumentada associada é:

$$\left[\begin{array}{cccc}\hfill a\hfill & \hfill b\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill c\hfill & \hfill d\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right].$$

(4.24)

Tem-se

$$\left[\begin{array}{cccc}\hfill a\hfill & \hfill b\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill c\hfill & \hfill d\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]\underset{}{\overset{c\cdot {\ell }_1\text{ e }a\cdot {\ell }_2}{\to }}\left[\begin{array}{cccc}\hfill ac\hfill & \hfill bc\hfill & \hfill c\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill ac\hfill & \hfill ad\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill a\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]\underset{}{\overset{-{\ell }_1+{\ell }_2\text{ em }{\ell }_2}{\to }}\left[\begin{array}{cccc}\hfill ac\hfill & \hfill bc\hfill & \hfill c\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill ad-bc\hfill & \hfill -c\hfill & \hfill a\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]$$

(4.25)

$$\underset{}{\overset{{\ell }_2÷\left(ad-bc\right)}{\to }}\left[\begin{array}{cccc}\hfill ac\hfill & \hfill bc\hfill & \hfill c\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill \frac{-c}{ad-bc}\hfill & \hfill \frac{a}{ad-bc}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]\underset{}{\overset{-bc{\ell }_2+{\ell }_1\text{ em }{\ell }_1}{\to }}\left[\begin{array}{cccc}\hfill ac\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \frac{acd}{ad-bc}\hfill & \hfill \frac{-abc}{ad-bc}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill \frac{-c}{ad-bc}\hfill & \hfill \frac{a}{ad-bc}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]$$

(4.26)

$$\underset{}{\overset{{\ell }_1÷ac}{\to }}\left[\begin{array}{cccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \frac{d}{ad-bc}\hfill & \hfill \frac{-b}{ad-bc}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill \frac{-c}{ad-bc}\hfill & \hfill \frac{a}{ad-bc}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right].$$

(4.27)

Daí concluimos (depois colocar em evidência o fator $ad-bc$ que está dividindo) que:

$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}\hfill d\hfill & \hfill -b\hfill \\ \hfill -c\hfill & \hfill a\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]=\frac{1}{detA}\left[\begin{array}{cc}\hfill d\hfill & \hfill -b\hfill \\ \hfill -c\hfill & \hfill a\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right].$$

(4.28)

Nesta última expressão, definimos o determinante de uma matriz de ordem $2\times 2$:

$$detA=ad-bc$$

(4.29)

e, como foi necessário dividir por este valor, concluimos que:

$$\text{só existe a matriz inversa de }A\text{ caso }detA\ne 0\text{.}$$

(4.30)

4.3.2 Algoritmo para ordem maior

---

Considere uma matriz de ordem $n\times n$:

$$A=\left[\begin{array}{cccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1n}\hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{22}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{2n}\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill a_{n1}\hfill & \hfill a_{n2}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{nn}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right].$$

(4.37)

Para obter a matriz inversa, devemos ter:

$$\left[\begin{array}{cccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1n}\hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{22}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{2n}\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill a_{n1}\hfill & \hfill a_{n2}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{nn}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}\hfill x_{11}\hfill & \hfill x_{12}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill x_{1n}\hfill \\ \hfill x_{21}\hfill & \hfill x_{22}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill x_{2n}\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill x_{n1}\hfill & \hfill x_{n2}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill x_{nn}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right].$$

(4.38)

Da mesma forma que na seção anterior, isto é equivalente a resolver simultaneamente os sistemas:

$$A{\overrightarrow{x}}_1={\overrightarrow{e}}_1,A{\overrightarrow{x}}_2={\overrightarrow{e}}_2,\dots ,A{\overrightarrow{x}}_n={\overrightarrow{e}}_n,$$

(4.39)

onde ${\overrightarrow{x}}_1,{\overrightarrow{x}}_2,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n$ são as colunas da matriz inversa $A^{-1}$. Assim, devemos escrever a matriz aumentada associada a estes sistemas lineares:

$$\left[\begin{array}{cccccccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1n}\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{22}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{2n}\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill a_{m1}\hfill & \hfill a_{m2}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{mn}\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]$$

(4.40)

ou, de forma mais sucinta,

$$\left[\right.A|I\left]\right..$$

(4.41)

E este é o algoritmo de resolução: Deixar a matriz $A$ em forma escalonada reduzida (até chegar na matriz identidade) de modo que as soluções obtidas já serão a matriz inversa de $A$:

$$\left[\right.I|A^{-1}\left]\right..$$

(4.42)

4.3.3 Aplicação na resolução de sistemas lineares

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Sistemas lineares de ordem $n\times n$

$$A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{b},$$

(4.53)

cuja matriz associada $A$ é invertível, são sistemas que possuem exatamente uma solução, para qualquer vetor $\overrightarrow{b}\in {ℝ}^n$ (ver Subseção 4.3.4).

A existência da matriz inversa $A^{-1}$ permite-nos multiplicar ambos os lados do sistema por $A^{-1}$ para obter $\overrightarrow{x}=A^{-1}\cdot A=A^{-1}\overrightarrow{b}.$ Logo,

$$\overrightarrow{x}=A^{-1}\overrightarrow{b}.$$

(4.54)

Embora nossa solução do sistema possa parecer “elegante” ao utilizar a matriz inversa, este método é muito ineficiente. Na verdade, escalonar a matriz aumentada associada ao sistema exige um custo computacional muito menor do que calcular a inversa da matriz e, portanto, em geral se usa o escalonamento.

Matrizes inversas têm uma importância mais teórica no nosso curso, como veremos na subseção abaixo.

4.3.4 Uma primeira caracterização de matrizes invertíveis

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Vamos, nesta subseção, verificar (provar de forma rigorosa) que

$\left(\Rightarrow \right)$ Se $A$ é invertível, então conseguimos resolver todos os sistemas

$$A{\overrightarrow{x}}_1={\overrightarrow{e}}_1,A{\overrightarrow{x}}_2={\overrightarrow{e}}_2,\cdots ,A{\overrightarrow{x}}_n={\overrightarrow{e}}_n$$

(4.58)

concomitantemente. De fato, qualquer vetor $\overrightarrow{b}$ pode ser escrito como

$$\overrightarrow{b}=\left[\begin{array}{c}\hfill b_1\hfill \\ \hfill b_2\hfill \\ \hfill ⋮\hfill \\ \hfill b_n\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]=b_1{\overrightarrow{e}}_1+b_2{\overrightarrow{e}}_2+\cdots +b_n{\overrightarrow{e}}_n,$$

(4.59)

e daí verificamos que se pode construir uma solução $\overrightarrow{x}$ pela fórmula

$$\overrightarrow{x}=b_1{\overrightarrow{x}}_1+b_2{\overrightarrow{x}}_2+\cdots +b_n{\overrightarrow{x}}_n,$$

(4.60)

já que pela linearidade do produto da matriz $A$ por vetores, temos $$\begin{array}{llll}\hfill A\overrightarrow{x}& =b_{1}A{\overrightarrow{x}}_1+b_{2}A{\overrightarrow{x}}_2+\cdots +b_{n}A{\overrightarrow{x}}_n,& \hfill & \\ \hfill & =b_1{\overrightarrow{e}}_1+b_2{\overrightarrow{e}}_2+\cdots +b_n{\overrightarrow{e}}_n& \hfill & \\ \hfill & =\overrightarrow{b}.& \hfill & \end{array}$$

$\left(\Leftarrow =\right)$ Reciprocamente, suponhamos que o sistema possua exatamente uma solução, para qualquer vetor $\overrightarrow{b}\in {ℝ}^n$. Em particular, podemos resolver os sitemas

$$A{\overrightarrow{x}}_1={\overrightarrow{e}}_1,A{\overrightarrow{x}}_2={\overrightarrow{e}}_2,\cdots ,A{\overrightarrow{x}}_n={\overrightarrow{e}}_n$$

(4.61)

e escrever a matriz inversa de acordo com o nosso algoritmo:

$$A^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}\hfill |\hfill & \hfill |\hfill & \hfill \hfill & \hfill |\hfill \\ \hfill {\overrightarrow{x}}_1\hfill & \hfill {\overrightarrow{x}}_2\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill {\overrightarrow{x}}_n\hfill \\ \hfill |\hfill & \hfill |\hfill & \hfill \hfill & \hfill |\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right].$$

(4.62)

Exercícios resolvidos

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Exercícios

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