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Álgebra Linear - Um Livro Colaborativo

4.3 Matriz inversa


Agora que temos definido um produto de matrizes, é natural de nos perguntarmos quais das propriedades usuais do produto entre números reais se mantém válidas.

Por exemplo, a matriz identidade In é a matriz quadrada de ordem n × n que tem 1 na diagonal principal e 0 nas demais posições. No caso 3 × 3, temos

I3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . (4.16)

Esta matriz satisfaz AIn = A para qualquer matriz A de ordem m × n. Da mesma forma, temos InB = B para qualquer matriz B de ordem n × m (observe atentamente os índices!). O nome identidade vem desta propriedade, que é parecida com a propriedade da unidade nos números reais: 1 x = x = x 1.

Existindo a matriz identidade, outra pergunta natural é se existe um inverso multiplicativo. Para números reais, qualquer número não nulo possui:

x ,x0x1 = 1 xé um inverso multiplicativo, (4.17)

isto é, satisfaz x x1 = 1.

Vamos procurar por matrizes inversas: dada uma matriz A, queremos encontrar uma matriz A1 de modo que

AA1 = I n = A1A. (4.18)

Escrevemos de duas formas diferentes acima, pois o produto de matrizes não é comutativo. A matriz A1 é chamada a matriz inversa de A. Observe que A deve ser quadrada (por quê?).

4.3.1 Caso 2 × 2


Vamos procurar pela inversa de

A = a b c d . (4.19)

Escrevemos

A1 = x1 y1 x2 y2 (4.20)

e queremos descobrir os valores x1,x2,y1,y2 que satisfazem

a b c d x1 y1 x2 y2 = 1 0 0 1 (4.21)

Pela interpretação que demos anteriormente ao produto de matrizes, encontrar

x = x1 x2 ey = y1 y2 (4.22)

é equivalente a resolver ao mesmo tempo os dois sistemas

Ax = 1 0 = e1eAy = 0 1 = e2. (4.23)

A ideia é então resolver por escalonamento os sistemas cuja matriz aumentada associada é:

a b 1 0 c d 0 1 . (4.24)

Tem-se

a b 1 0 c d 0 1 c1 e a2 ac bc c 0 ac ad 0 a 1+2 em 2 ac bc c 0 0 ad bc c a (4.25)
2÷(adbc) ac bc c 0 0 1 c adbc a adbc bc2+1 em 1 ac 0 acd adbc abc adbc 0 1 c adbc a adbc (4.26)
1÷ac 1 0 d adbc b adbc 0 1 c adbc a adbc . (4.27)

Daí concluimos (depois colocar em evidência o fator ad bc que está dividindo) que:

A1 = 1 ad bc d b c a = 1 det A d b c a . (4.28)

Nesta última expressão, definimos o determinante de uma matriz de ordem 2 × 2:

det A = ad bc (4.29)

e, como foi necessário dividir por este valor, concluimos que:

só existe a matriz inversa de A caso  det A0. (4.30)

Observação 4.3.1. Veremos na seção seguinte que o processo que utilizamos para inverter a matriz A funciona para matrizes de qualquer ordem, mas é trabalhoso. No caso de uma matriz 2 × 2, talvez seja interessante memorizar a fórmula, já que não é tão complicada. Podemos pensar da seguinte maneira:

  • Calculamos det A. Se for diferente de zero, existe a inversa. Nós partimos de A e dividimos pelo determinante.
  • Em seguida, trocamos de lugar os elementos da diagonal principal (a e d).
  • Finalmente, trocamos o sinal dos elementos da outra diagonal.

Atenção! Este método apenas funciona para matrizes quadradas de ordem 2 × 2!

Exemplo 4.3.1. Sejam as matrizes

A = 1 1 1 3 ,B = 1 0 1 1 ,C = 1 1 2 2 . (4.31)

Calculamos

det A = 1 3 (1) 1 = 40. (4.32)

Logo, A possui inversa e temos

A1 = 1 4 3 1 1 1 = 34 14 14 14 . (4.33)

(trocamos de lugar os elementos da diagonal principal e de sinal os elementos da outra diagonal).

Façamos o mesmo para a matriz B:

det B = 1 1 1 0 = 10. (4.34)

Logo,

B1 = 1 1 1 1 1 1 = 34 14 14 14 . (4.35)

(trocamos de lugar os elementos da diagonal principal – neste caso eram iguais – e de sinal dos elementos da outra diagonal).

Já para a matriz C, temos

det C = (1) 2 2 (1) = 0 (4.36)

e portanto C não é invertível (isto é, não existe a matriz inversa C1).

4.3.2 Algoritmo para ordem maior


Considere uma matriz de ordem n × n:

A = a11 a12 a1n a21 a22 a2n a n1 an2 ann . (4.37)

Para obter a matriz inversa, devemos ter:

a11 a12 a1n a21 a22 a2n a n1 an2 ann x11 x12 x1n x21 x22 x2n x n1 xn2 xnn = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . (4.38)

Da mesma forma que na seção anterior, isto é equivalente a resolver simultaneamente os sistemas:

Ax1 = e1,Ax2 = e2,,Axn = en, (4.39)

onde x1,x2,,xn são as colunas da matriz inversa A1. Assim, devemos escrever a matriz aumentada associada a estes sistemas lineares:

a11 a12 a1n 1 0 0 a21 a22 a2n 0 1 0 am1 am2 amn 0 0 1 (4.40)

ou, de forma mais sucinta,

A|I. (4.41)

E este é o algoritmo de resolução: Deixar a matriz A em forma escalonada reduzida (até chegar na matriz identidade) de modo que as soluções obtidas já serão a matriz inversa de A:

I|A1. (4.42)

Observação 4.3.2. Para que seja possível encontrar as soluções, como indicado acima, a forma escalonada da matriz A deve possuir n posições de pivô (caso contrário, algum dos sistemas acima seria impossível), de modo que todas as colunas de A são colunas pivô.

Se A possuir alguma coluna sem posição de pivô, podemos parar imediatamente o algoritmo, pois isto significa que a matriz não é invertível.

Exemplo 4.3.2. Vamos decidir se a matriz abaixo é invertível e, em caso afirmativo, determinar a inversa:

A = 2 1 1 0 4 3 3 1 8 7 9 5 6 7 9 8 . (4.43)

De acordo com o algoritmo, devemos escalonar

2 1 1 0 1 0 0 0 4 3 3 1 0 1 0 0 8 7 9 5 0 0 1 0 6 7 9 8 0 0 0 1 . (4.44)

Caso a matriz seja invertível, conseguiremos deixar a matriz identidade do lado esquerdo desta matriz aumentada. Começamos eliminando os termos da primeira coluna (abaixo do 2 que está na posição de pivô):

2 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 2 1 0 0 0 3 5 5 4 0 1 0 0 4 6 8 3 0 0 1 segunda coluna 2 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 2 1 0 0 0 0 2 2 2 3 1 0 0 0 2 4 5 4 0 1 (4.45)
terceira 2 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 2 1 0 0 0 0 2 2 2 3 1 0 0 0 0 2 3 1 1 1 reduzida – 4a 2 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 72 32 12 12 0 0 1 0 12 1 1 12 0 0 0 2 3 1 1 1 (4.46)
2 1 0 0 32 1 1 12 0 1 0 0 3 52 12 0 0 0 1 0 12 1 1 12 0 0 0 1 32 12 12 12 1 0 0 0 94 34 14 14 0 1 0 0 3 52 12 0 0 0 1 0 12 1 1 12 0 0 0 1 32 12 12 12 . (4.47)

Concluimos que

A1 = 94 34 14 14 3 52 12 0 12 1 1 12 32 12 12 12 . (4.48)

Verifique como exercício que esta matriz é de fato a matriz inversa de A, isto é, calcule o produto A A1 e verifique que resulta em I4.

Notamos que, caso nosso único interesse fosse decidir se A é invertível, sem necessariamente calcular sua inversa, poderíamos ter feito o escalonamento de A (nem precisa ser da matriz aumentada I|A1) e parado o processo quando chegamos em

A 2 1 1 0 0 1 1 1 0 0 2 2 0 0 0 2 , (4.49)

pois já está claro que todas as colunas possuem posição de pivô.

Exemplo 4.3.3. Vamos decidir se a matriz abaixo é invertível e, em caso afirmativo, determinar a inversa:

A = 1 1 1 1 3 3 3 9 9 . (4.50)

De acordo com o algoritmo, devemos escalonar

1 1 1 1 0 0 1 3 3 0 1 0 3 9 9 0 0 1 . (4.51)

Temos

1 1 1 1 0 0 0 2 4 1 1 0 0 6 12 3 0 1 1 1 1 1 0 0 0 2 4 1 1 0 0 0 0 0 3 1 . (4.52)

Portanto, a terceira coluna não possui posição de pivô e a matriz A não possui inversa.

4.3.3 Aplicação na resolução de sistemas lineares


Sistemas lineares de ordem n × n

Ax = b, (4.53)

cuja matriz associada A é invertível, são sistemas que possuem exatamente uma solução, para qualquer vetor b n (ver Subseção 4.3.4).

A existência da matriz inversa A1 permite-nos multiplicar ambos os lados do sistema por A1 para obter x = A1 A = A1b. Logo,

x = A1b. (4.54)

Exemplo 4.3.4. Resolver o sistema

A = 1 1 1 3 x1 x2 = 1 2 . (4.55)

Já calculamos a matriz inversa no Exemplo 4.3.1:

A1 = 34 14 14 14 . (4.56)

Segue que a solução é

x = A1b = 34 14 14 14 1 2 = 14 34 . (4.57)

Embora nossa solução do sistema possa parecer “elegante” ao utilizar a matriz inversa, este método é muito ineficiente. Na verdade, escalonar a matriz aumentada associada ao sistema exige um custo computacional muito menor do que calcular a inversa da matriz e, portanto, em geral se usa o escalonamento.

Matrizes inversas têm uma importância mais teórica no nosso curso, como veremos na subseção abaixo.

4.3.4 Uma primeira caracterização de matrizes invertíveis


Vamos, nesta subseção, verificar (provar de forma rigorosa) que

“a matriz A é invertível se, e somente se, o sistema linear Ax = b possui exatamente uma solução, para qualquer vetor b n.”

() Se A é invertível, então conseguimos resolver todos os sistemas

Ax1 = e1,Ax2 = e2,,Axn = en (4.58)

concomitantemente. De fato, qualquer vetor b pode ser escrito como

b = b1 b2 b n = b1e1+b2e2++bnen, (4.59)

e daí verificamos que se pode construir uma solução x pela fórmula

x = b1x1 + b2x2 + + bnxn, (4.60)

já que pela linearidade do produto da matriz A por vetores, temos Ax = b1Ax1 + b2Ax2 + + bnAxn, = b1e1 + b2e2 + + bnen = b.

( =) Reciprocamente, suponhamos que o sistema possua exatamente uma solução, para qualquer vetor b n. Em particular, podemos resolver os sitemas

Ax1 = e1,Ax2 = e2,,Axn = en (4.61)

e escrever a matriz inversa de acordo com o nosso algoritmo:

A1 = | | | x 1 x 2 x n | | | . (4.62)

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