4.1 Produto de matrizes

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É no produto de matrizes que aparece uma operação diferente do que estamos acostumados. Já vimos como a multiplicação de uma matriz de ordem $m\times n$ por um vetor de ${ℝ}^n$ (ou matriz de ordem $n\times 1$) aparece naturalmente quando resolvemos uma sistema linear:

$$A\overrightarrow{x}=\left[\begin{array}{cccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1n}\hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{22}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{2n}\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill a_{m1}\hfill & \hfill a_{m2}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{mn}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hfill x_1\hfill \\ \hfill x_2\hfill \\ \hfill ⋮\hfill \\ \hfill x_n\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\hfill a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots a_{1n}{x}_n\hfill \\ \hfill a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots a_{2n}{x}_n\hfill \\ \hfill ⋮\hfill \\ \hfill a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots a_{mn}{x}_n\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right].$$

(4.2)

O resultado é um vetor de ${ℝ}^m$ (ou matriz de ordem $m\times 1$). Observamos que necessariamente o número de colunas da matriz $A$ deve ser igual ao número de linhas do vetor $\overrightarrow{x}$, para que seja possível realizar o produto como indicado.

Vamos generalizar este procedimento para definir o produto entre duas matrizes de qualquer ordem. Por exemplo, se $A$ é como acima e $B$ é uma matriz $B$ de ordem $n\times 2$, o que vamos fazer é pensar nas colunas de $B$ como dois vetores ${\overrightarrow{b}}_1$ e ${\overrightarrow{b}}_2$ e realizar os produtos como já estamos acostumados. O resultado será uma matriz cujas colunas são $A{\overrightarrow{b}}_1$ e $A{\overrightarrow{b}}_2$:

$$\left[\begin{array}{cccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1n}\hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{22}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{2n}\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill a_{m1}\hfill & \hfill a_{m2}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{mn}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\hfill x_1\hfill & \hfill y_1\hfill \\ \hfill x_2\hfill & \hfill y_2\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill x_n\hfill & \hfill y_n\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\hfill a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n\hfill & \hfill a_{11}{y}_1+a_{12}{y}_2+\cdots +a_{1n}{y}_n\hfill \\ \hfill a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n\hfill & \hfill a_{21}{y}_1+a_{22}{y}_2+\cdots +a_{2n}{y}_n\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n\hfill & \hfill a_{m1}{y}_1+a_{m2}{y}_2+\cdots +a_{mn}{y}_n\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right].$$

(4.3)

O resultado é portanto uma matriz de ordem $m\times 2$.

De forma mais geral, podemos multiplicar uma matriz $A$ de ordem $m\times n$ por qualquer outra matriz de ordem $n\times p$ e o resultado obtido será uma matriz de ordem $m\times p$. É fácil de lembrar: o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz e a matriz resultante terá por ordem o que “sobrar”:

$${\left[\cdots \right]}_{m\times }$$[⋯]×p = [⋯]m×p.

(4.4)

As colunas da matriz resultante são obtidas ao fazer o produto da primeira matriz com os vetores que formam as colunas da segunda:

$$AB=\left[\begin{array}{cccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1n}\hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{22}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{2n}\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill a_{m1}\hfill & \hfill a_{m2}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{mn}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}\hfill |\hfill & \hfill |\hfill & \hfill \hfill & \hfill |\hfill \\ \hfill {\overrightarrow{b}}_1\hfill & \hfill {\overrightarrow{b}}_2\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill {\overrightarrow{b}}_p\hfill \\ \hfill |\hfill & \hfill |\hfill & \hfill \hfill & \hfill |\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\hfill |\hfill & \hfill |\hfill & \hfill \hfill & \hfill |\hfill \\ \hfill A{\overrightarrow{b}}_1\hfill & \hfill A{\overrightarrow{b}}_2\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill A{\overrightarrow{b}}_p\hfill \\ \hfill |\hfill & \hfill |\hfill & \hfill \hfill & \hfill |\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right].$$

(4.5)

Acima, ${\overrightarrow{b}}_1,{\overrightarrow{b}}_2,\dots ,{\overrightarrow{b}}_p\in {ℝ}^n$ são as colunas da matriz $B$. Conclua que $A{\overrightarrow{b}}_1,A{\overrightarrow{b}}_2,\dots ,A{\overrightarrow{b}}_p\in {ℝ}^m$ e que $AB$ é uma matriz de ordem $m\times p$.

4.1.1 Exemplos

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Vamos mostrar algumas contas que exemplificam tanto o procedimento quanto algumas das propriedades essenciais do produto de matrizes.

4.1.2 Uma interpretação para resolução de sistemas lineares

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Nós podemos pensar em

$$\left[\begin{array}{cccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1n}\hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{22}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{2n}\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill a_{m1}\hfill & \hfill a_{m2}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{mn}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\hfill x_1\hfill & \hfill y_1\hfill \\ \hfill x_2\hfill & \hfill y_2\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill x_n\hfill & \hfill y_n\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\hfill b_1\hfill & \hfill c_1\hfill \\ \hfill b_2\hfill & \hfill c_2\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill b_n\hfill & \hfill c_n\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]$$

(4.11)

como a forma matricial de escrever dois sistemas lineares que possuem a mesma matriz associada:

$$A=\left[\begin{array}{cccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1n}\hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{22}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{2n}\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill a_{m1}\hfill & \hfill a_{m2}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{mn}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]:A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{b},A\overrightarrow{y}=\overrightarrow{c}.$$

(4.12)

(por quê?) É possível de resolver os dois sistemas concomitantemente ao escrever uma matriz aumentada generalizada:

$$\left[\begin{array}{cccccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1n}\hfill & \hfill b_1\hfill & \hfill c_1\hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{22}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{2n}\hfill & \hfill b_2\hfill & \hfill c_2\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill a_{m1}\hfill & \hfill a_{m2}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{mn}\hfill & \hfill b_n\hfill & \hfill c_n\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]$$

(4.13)

A análise das soluções é feita da mesma forma que aprendemos nas notas da primeira semana. Observem que esta é uma forma de economizar as contas e não precisar escalonar duas vezes a matriz $A$ associada!

Evidentemente, este método funcionaria para resolver ao mesmo tempo 3 ou 4 ou 20 sistemas lineares ao mesmo tempo, desde que a matriz associada seja a mesma em todos eles.

Exercícios resolvidos

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Exercícios

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