3.9 Notas avançadas

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3.9.1 O que é um espaço linear?

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A definição de espaço vetorial dada em (3.1) é ampla e engloba conceitos bem mais gerais que os espaços euclidianos de dimensão 2 e 3 com os quais o leitor tem maior familiaridade. As funções reais $f:ℝ\to ℝ$, por exemplo, formam espaço vetorial onde os escalares são dados pelos números reais. O vetor nulo, neste caso, é a função $f\left(x\right)=0$. Este espaço não tem dimensão finita pois os polinômios $P_n\left(x\right)=x^n$ para $n=0,1,2,3,\dots <!--FUNCTION\; APPLICATION-->$ formam uma família infinita de vetores linearmente independentes (isso é uma consequência do teorema fundamental da álgebra).

3.9.2 Todo espaço linear tem uma base? Axioma da escolha.

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Um problema importante é descobrir se todo espaço linear admite uma base. Este problema é mais complicado do que pode parecer e conduz a uma profunda discussão sobre os próprios fundamentos da matemática. De fato, pode-se mostrar que, o axioma da escolha implica que todo espaço linear tenha uma base.

O axioma da escolha é um dos axiomas da teoria de conjuntos padrão que tem diversas consequências contraintuitivas e fisicamente inesperadas. Um exemplo das bizarrias produzidas pelo axioma da escolha é o chamado paradoxo de Banach-Tarski: Dada uma esfera no espaço euclidiano de três dimensões, é possível cortá-la em um número finito de pedaços e rearranjar esses pedaços de forma a construir duas esferas idênticas à original. Em outras palavras, o axioma da escolha aplicado ao espaço euclidiano tridimensional traz como consequências a não preservação de “volume” frente a translações e rotações. Para definir de forma razoável os conceitos de comprimento, área e volumes, foi necessário o desenvolvimento da teoria da medida no final do Século XIX e início do Século XX. A solução encontrada foi construir uma medida apenas em uma família de subconjuntos chamamos conjuntos mensuráveis.

Vejamos um exemplo de espaço linear de dimensão: é fácil verificar que o conjunto de todos os polinômios $P\left(x\right)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots <!--FUNCTION\; APPLICATION-->a_n{x}^n$ formam um espaço linear frente às operações usuais de soma e multiplicação por um escalar. A base deste espaço é dada pelos monômios $P_n\left(x\right)=x^n$ para $n=0,1,2,3,\dots <!--FUNCTION\; APPLICATION-->$ pois cada polinômio pode ser escrito como uma combinação linear finita de elementos desse base. No entanto, não é possível mostrar desta forma construtiva uma base para o espaço das funções reais ou mesmo para as funções reais contínuas. A existência de uma base para estes espaços é um conceito abstrato não construtivo.

3.9.3 Qual amplo é o conceito de norma?

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Vimos que o conceito de espaço linear é muito mais amplo e útil que parecia. E quanto à norma? Estamos familiariados com a norma euclidiana, mas será que é possível definir outras normas no espaço ${ℝ}^n$ de forma a satisfazer as propriedades (3.12)? A norma euclidiana em um espaço de dimensão $n$ é dada por $$\parallel \overrightarrow{x}\parallel ={\left(x_1^2+x_2^2+\dots <!--FUNCTION\; APPLICATION-->x_n^2\right)}^{1∕2}$$

De fato é possível mostrar que podemos alterar esta expressão para $$\parallel \overrightarrow{x}{\parallel }_p={\left(|x_1{|}^p+|x_2{|}^p+\dots <!--FUNCTION\; APPLICATION-->+|x_n{|}^p\right)}^{1∕p}$$

com $p\ge 1$ de forma a preservar todas as propriedades da norma.

Mas será que é possível definir uma norma no espaço das funções reais? Esta é uma pergunta complicada, mas podemos simplificar exigindo um pouco mais desse espaço. Por exemplo, vamos considerar o espaço das funções reais contínuas definidas no intervalo $\left[0,1\right]$. Neste espaço é possível definir a seguinte norma:

$$\parallel f\left(x\right)\parallel =\underset{x\in \left[0,1\right]}{\max <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}\left|f\left(x\right)\right|$$

(3.37)

ou seja, a norma de uma função contínua é dada pelo máximo de seu módulo no intervalo.

No entanto, esta não é a única maneira de definir uma norma neste espaço, outra possibilidade é:

$$\parallel f\left(x\right){\parallel }_p={\left({\int \; <!--nolimits-->}_0^1|f\left(x\right){|}^{p}dx\right)}^{1∕p}$$

(3.38)

onde $p\ge 1$.

A norma (3.38) é chamada de norma $L^p$ de uma função e a norma (3.37) é chamada de norma do máximo ou norma infinito ou norma $L^{\infty }$. Isso porque $$\underset{p\to \infty }{\lim <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}\parallel f\left(x\right){\parallel }_p=\underset{x\in \left[0,1\right]}{\max <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}\left|f\left(x\right)\right|.$$

Esta normas exercem enorme importância na teoria de funções com importantes aplicações no estudo das equações diferenciais.

3.9.4 E o produto escalar?

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Uma operação com as propriedades (3.17) é um produto escalar. Produtos escalares não aparecem apenas em espaços de duas ou três dimensões: mesmo espaços de dimensão infinita podem possuir um produto escalar. Tomemos como exemplo novamente o espaço das funções contínuas definidas no intervalo $\left[0,1\right]$. A seguinte operação possui todas as propriedades de um produto escalar:

Observe o leitor que foi usada a notação para indicar o produto interno. Este produto interno induz a seguinte norma:

que é o caso particular de (3.38) quando $p=2$. A desigualdade de Cauchy-Schwarz admite a seguinte forma: $${\int \; <!--nolimits-->}_0^{1}f\left(x\right)g\left(x\right)dx\le {\left({\int \; <!--nolimits-->}_0^{1}f{\left(x\right)}^{2}dx\right)}^{1∕2}{\left({\int \; <!--nolimits-->}_0^{1}g{\left(x\right)}^{2}dx\right)}^{1∕2}$$

Exercícios resolvidos

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Exercícios

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