Diferenças finitas

8.1 Diferenças finitas

8.1.1 Diferenças finitas via série de Taylor

8.1.2 Erros de arredondamento

Exercícios resolvidos

Exercícios

Diferença finita progressiva de ordem 1

Diferença finita regressiva de ordem 1

Diferença finita central de ordem 2

Cálculo Numérico - Versão GNU Octave

Uma diferença finita é uma expressão da forma $f (x + b) - f (x + a)$ , que ao ser dividida por $(b - a)$ chama-se um quociente de diferenças. A técnica de diferenças finitas consiste em aproximar a derivada de uma função via fórmulas discretas que requerem apenas um conjunto finito de pares ordenados ${\{(x_{i}, y_{i})\}}_{i = 1}^{n}$ , onde geralmente denotamos $y_{i} = f (x_{i})$ .

Essas fórmulas podem ser obtidas de várias maneiras. Começamos com a fórmula mais simples que pode ser obtida do cálculo diferencial. Seja $f$ uma função diferenciável, a derivada de $f$ no ponto $x_{0}$ é, por definição,

f^{'} (x_{0}) = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} .

(8.1)

Deste limite, tomando $h \neq 0$ pequeno (não muito pequeno para evitar o cancelamento catastrófico), é esperado que possamos obter uma aproximação razoável para $f^{'} (x_{0})$ . Assim, a diferença finita progressiva de ordem 1

D_{+, h} f (x_{0}) : = \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} \approx f^{'} (x_{0})

(8.2)

é uma aproximação para $f^{'} (x_{0})$ .

Exemplo 8.1.1. Usando a diferença finita progressiva de ordem 1, calcule aproximações da derivada de $f (x) = cos (x)$ no ponto $x = 1$ usando $h = 1 0^{- 1}$ , $1 0^{- 2}$ , $1 0^{- 3}$ , $1 0^{- 4}$ , $1 0^{- 12}$ e $1 0^{- 14}$ . Calcule o erro $| D_{+, h} f (1) - f^{'} (1) |$ obtido para cada valor de $h$ .

Solução. Usando a diferença progressiva em (8.2), devemos calcular

D_{+, h} f (1) = \frac{cos (1 + h) - cos (1)}{h}

(8.3)

Fazendo isso, obtemos:

$h$	$D_{+, h} f (1)$	$\| f^{'} (1) - D_{+, h} f (1) \|$

$1 0^{- 1}$	$- 8, 67062 E - 01$	$2, 55909 E - 02$
$1 0^{- 2}$	$- 8, 44158 E - 01$	$2, 68746 E - 03$
$1 0^{- 3}$	$- 8, 41741 E - 01$	$2, 70011 E - 04$
$1 0^{- 4}$	$- 8, 41498 E - 01$	$2, 70137 E - 05$
$1 0^{- 12}$	$- 8, 41549 E - 01$	$7, 80679 E - 05$
$1 0^{- 14}$	$- 8, 43769 E - 01$	$2, 29851 E - 03$

No GNU Octave, podemos calcular a aproximação da derivada $f^{'} (1)$ com $h = 0, 1$ usando as seguintes linhas de código:

f = @(x) cos(x);
x0 = 1;
h = 0.1;
df = (f(x0+h) - f(x0))/h

E, similarmente, para outros valores de $x_{0}$ e $h$ .

$♢$

Figura 8.1: Erro absoluto das derivadas numéricas no Exemplo 8.1.1.

Exploremos o Exemplo 8.1.1 um pouco mais. Observamos que, para valores moderados de $h$ , o erro $| f^{'} (1) - D_{+, h} f (1) |$ diminui linearmente com $h$ (veja Figura 8.1). Isto é consequência da ordem de truncamento da fórmula de diferenças finitas aplicada (que é de ordem 1). Porém, para valores muito pequenos de $h < 1 0^{- 8}$ , o erro passa a aumentar quando diminuímos $h$ . Isto é devido ao efeito de cancelamento catastrófico.

Podemos construir fórmulas de diferenças finitas para uma função $f (x)$ (suave¹ ) no ponto $x = x_{0}$ a partir de seu polinômio de Taylor. Em alguns casos, este procedimento acaba por nos fornecer, também, a ordem de truncamento da fórmula.

Podemos obter uma aproximação para $f^{'} (x_{0})$ a partir da série de Taylor

f (x_{0} + h) = f (x_{0}) + h f^{'} (x_{0}) + h^{2} \frac{f^{″} (ξ)}{2}, h > 0, ξ \in (x_{0}, x_{0} + h) .

(8.4)

Isolando $f^{'} (x_{0})$ , obtemos

f^{'} (x_{0}) = \underset{D_{+, h}}{\underset{︸}{\frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}}} - \underset{O (h)}{\underset{︸}{h \frac{f^{″} (ξ)}{2}}},

(8.5)

o que mostra que o erro de truncamento da diferença finita progressiva²

D_{+, h} f (x_{0}) : = \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}

(8.6)

é de ordem $h$ .

Outra aproximação para a derivada primeira pode ser obtida da série de Taylor de $f$ em torno de $(x_{0} - h)$ dada por

f (x_{0} - h) = f (x_{0}) - h f^{'} (x_{0}) + h^{2} \frac{f^{″} (ξ)}{2}, h > 0, ξ \in (x_{0}, x_{0} + h) .

(8.7)

Isolando $f^{'} (x_{0})$ , obtemos

f^{'} (x_{0}) = \underset{D_{-, h}}{\underset{︸}{\frac{f (x_{0}) - f (x_{0} - h)}{h}}} + \underset{O (h)}{\underset{︸}{h \frac{f^{″} (ξ)}{2}}} .

(8.8)

que fornece a diferença finita regressiva³

D_{-, h} f (x_{0}) : = \frac{f (x_{0}) - f (x_{0} - h)}{h},

(8.9)

que possui erro de truncamento de ordem $h$ .

Para obter uma aproximação para a derivada primeira com um erro menor, podemos utilizar as séries de Taylor: $\begin{array}{rcl} f (x_{0} + h) & = f (x_{0}) + h f^{'} (x_{0}) + h^{2} f^{″} (x_{0}) + h^{3} \frac{f^{‴} (ξ_{+})}{3!}, & (8.10) \\ f (x_{0} - h) & = f (x_{0}) - h f^{'} (x_{0}) + h^{2} f^{″} (x_{0}) + h^{3} \frac{f^{‴} (ξ_{-})}{3!} & (8.11) \end{array}$

Fazendo a primeira equação menos a segunda, obtemos

f (x_{0} + h) - f (x_{0} - h) = 2 h f^{'} (x_{0}) + h^{3} (\frac{f^{‴} (ξ_{+}) - f^{‴} (ξ_{-})}{3!}) .

(8.12)

Dividindo por $2 h$ e isolando $f^{'} (x_{0})$ obtemos

f^{'} (x_{0}) = \underset{D_{0, h}}{\underset{︸}{\frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0} - h)}{2 h}}} - \underset{O (h^{2})}{\underset{︸}{h^{2} (\frac{f^{‴} (ξ_{+}) - f^{‴} (ξ_{-})}{2 \cdot 3!})}} .

(8.13)

Assim, a diferença finita central⁴

D_{0, h} f (x_{0}) : = \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0} - h)}{2 h},

(8.14)

é uma aproximação para $f^{'} (x_{0})$ com erro de truncamento de ordem $h^{2}$ , ou simplesmente ordem $2$ .

Exemplo 8.1.2. Calcule a derivada numérica da função $f (x) = e^{\frac{1}{2} x}$ no ponto $x = 2$ usando a diferença progressiva, diferença regressiva e diferença central com $h = 1 0^{- 1}$ , $h = 1 0^{- 2}$ e $h = 1 0^{- 4}$ . Também, calcule o erro absoluto da aproximação obtida em cada caso.

Solução. Usando a diferença progressiva, devemos calcular

D_{+, h} = \frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{e^{\frac{1}{2} (x + h)} - e^{\frac{1}{2} x}}{h} .

(8.15)

Com a diferença regressiva, calculamos

D_{-, h} = \frac{f (x) - f (x - h)}{h} = \frac{e^{\frac{1}{2} x} - e^{\frac{1}{2} (x - h)}}{h} .

(8.16)

Por fim, usando a diferença central temos

D_{0, h} = \frac{f (x + h) - f (x - h)}{2 h} = \frac{e^{\frac{1}{2} (x + h)} - e^{\frac{1}{2} (x - h)}}{2 h} .

(8.17)

As aproximações e os erros absolutos calculados em cada caso estão apresentados na seguinte tabela:

$h$	$D_{+, h} f (2)$	Erro	$D_{-, h}$	Erro	$D_{0, h}$	Erro

$1 0^{- 1}$	$1, 39369$	$3, 5 E - 02$	$1, 32572$	$3, 3 E - 02$	$1, 35971$	$5, 7 E - 04$
$1 0^{- 2}$	$1, 36254$	$3, 4 E - 03$	$1, 35575$	$3, 4 E - 03$	$1, 35915$	$5, 7 E - 06$
$1 0^{- 4}$	$1, 35917$	$3, 4 E - 05$	$1, 35911$	$3, 4 E - 05$	$1, 35914$	$5, 7 E - 10$

$♢$

Figura 8.2: Erro absoluto das derivadas numéricas no Exemplo 8.1.2.

Observação 8.1.1. O experimento numérico realizado no Exemplo 8.1.2, nos mostra que o erro absoluto na derivação numérica não é da ordem do erro de truncamento. Entretanto, este erro tende a variar com $h$ na mesma ordem do erro de truncamento. A Figura 8.1.2 apresenta o erro absoluto das derivadas numéricas computadas para o Exemplo 8.1.2. Note que, devido ao efeito de cancelamento catastrófico, o erro absoluto deixa de variar na ordem do erro de truncamento para valores muito pequenos de $h$ .

Exemplo 8.1.3. Estime o erro absoluto no cálculo da derivada de $f (x) = e^{- x}$ para $x > 0$ utilizando a diferença progressiva.

Solução. Da Equação 8.5, temos:

f^{'} (x) = D_{+, h} f (x) - h \frac{f^{″} (ξ)}{2}, ξ > 0,

(8.18)

ou seja:

| f^{'} (x) - D_{+, h} f (x) | = |\frac{f^{″} (ξ)}{2}| h, ξ > 0 .

(8.19)

Agora, como $| f^{″} (x) | = | e^{- x} | < 1$ para $x > 0$ , concluímos que:

| f^{'} (x) - D_{+, h} f (x) | \leq \frac{1}{2} h, x > 0 .

(8.20)

$♢$

Para entender como os erros de arredondamento se propagam ao calcular as derivadas numéricas vamos analisar a fórmula de diferenças finitas progressiva

D_{+, h} f (x) = \frac{f (x + h) - f (x)}{h} .

(8.21)

Nesse contexto temos o valor exato $f^{'} (x)$ para a derivada, a sua aproximação numérica $D_{+, h} f (x)$ e a representação em número de máquina do operador $D_{+, h} f (x)$ que denotaremos por $\bar{D_{+, h} f (x)}$ . Denotando por $ε (x, h)$ o erro de arredondamento ao calcularmos a derivada, vamos assumir que

\bar{D_{+, h} f (x)} = D_{+, h} f (x) (1 + ε (x, h)) = \frac{\bar{f (x + h)} - \bar{f (x)}}{h} (1 + ε (x, h)) .

(8.22)

Também, consideremos

| \bar{f (x + h)} - f (x + h) | = δ (x, h) \leq δ

(8.23)

| \bar{f (x)} - f (x) | = δ (x, 0) \leq δ,

(8.24)

onde $\bar{f (x + h)}$ e $\bar{f (x)}$ são as representações em ponto flutuante dos números $f (x + h)$ e $f (x)$ , respectivamente.

Então, da Equação (8.22), a diferença do valor da derivada e sua aproximação representada em ponto flutuante pode ser estimada por:

|f^{'} (x) - \bar{D_{+, h} f (x)}| = |f^{'} (x) - \frac{\bar{f (x + h)} - \bar{f (x)}}{h} (1 + ε (x, h))| .

(8.25)

Podemos reescrever o lado direito desta equação, da seguinte forma $\begin{array}{rcl} |f^{'} (x) - \bar{D_{+, h} f (x)}| & = & |f^{'} (x) - (\frac{\bar{f (x + h)} - \bar{f (x)}}{h} + \frac{f (x + h) - f (x + h)}{h} & (8.26) \\ + & \frac{f (x) - f (x)}{h}) (1 + ε)| & (8.27) \\ = & |f^{'} (x) + (- \frac{f (x + h) - f (x)}{h} - \frac{\bar{f (x + h)} - f (x + h)}{h} & (8.28) \\ + & \frac{\bar{f (x)} - f (x)}{h}) (1 + ε)| . & (8.29) \end{array}$

Então, separando os termos e estimando, obtemos: $\begin{array}{rcl} |f^{'} (x) - \bar{D_{+, h} f (x)}| & \leq & |f^{'} (x) - \frac{f (x + h) - f (x)}{h}| + (|\frac{\bar{f (x + h)} - f (x + h)}{h}| & (8.30) \\ + & |\frac{\bar{f (x)} - f (x)}{h}|) | 1 + ε | + |\frac{f (x + h) - f (x)}{h}| ε & (8.31) \\ \leq & M h + (|\frac{δ}{h}| + |\frac{δ}{h}|) | 1 + ε | + | f^{'} (x) | ε & (8.32) \\ \leq & M h + (\frac{2 δ}{h}) | 1 + ε | + | f^{'} (x) | ε & (8.33) \end{array}$

onde

M = \frac{1}{2} max_{x \leq y \leq x + h} | f^{″} (y) |

(8.34)

está relacionado com o erro de truncamento.

Por fim, obtemos a seguinte estimativa para o erro absoluto na computação da derivada numérica:

|f^{'} (x) - \bar{D_{+, h} f (x)}| \leq M h + (\frac{2 δ}{h}) | 1 + ε | + | f^{'} (x) | ε .

(8.35)

Esta estimativa mostra que se o valor de $h$ for muito pequeno o erro ao calcular a aproximação numérica cresce. Isso nos motiva a procurar o valor ótimo de $h$ que minimiza o erro.

Exemplo 8.1.4. No Exemplo 8.1.2, computamos a derivada numérica da função $f (x) = e^{\frac{1}{2} x}$ no ponto $x = 2$ usando as fórmulas de diferenças finitas progressivas, regressivas e central. A Figura 8.2, mostra que, para valores $h$ muito pequenos, os erros de arredondamento passam a dominar os cálculos e, por consequência, o erro da derivada numérica passa a aumentar. Pela figura, podemos inferir que a escolha ótima de $h$ para as fórmulas progressiva e regressivas é $h \approx 1 0^{- 7}$ . Agora, para a fórmula central, $h \approx 1 0^{- 5}$ parece ser a melhor escolha.

Observação 8.1.2. Note que a estimativa (8.35), mostra que o erro na computação da derivada numérica depende da função que está sendo derivada. Assim, o $h$ ótimo depende não somente da fórmula de diferenças finitas, mas também da função a ser derivada.

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ER 8.1.1. Aproxime a derivada de $f (x) = sen (2 x) - x^{2}$ no ponto $x = 2$ usando a fórmula de diferenças finitas progressiva de ordem 1 com: a) $h = 0, 1$ e b) $h = 0, 01$ . Compute, também, o erro absoluto de cada aproximação computada.

Solução. A fórmula de diferenças finitas de ordem 1 para uma função

y = f (x)

em um ponto

x = x_{0}

é dada por:

D_{+, h} f (x_{0}) = \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} .

(8.36)

Substituindo $f (x) = sen (2 x) - x^{2}$ e $x_{0} = 2$ , obtemos:

\begin{matrix} \begin{aligned} D_{+, h} f (x_{0}) & = \frac{(sen (2 (x_{0} + h)) - {(x_{0} + h)}^{2}) - (sen (2 x_{0}) - x_{0}^{2})}{h} \\ = \frac{sen (2 (x_{0} + h)) - x_{0}^{2} + 2 x_{0} h + h^{2} - sen (2 x_{0}) + x_{0}^{2}}{)} \\ = \frac{sen (4 + 2 h) + 4 h + h^{2} - sen (4)}{)} . \end{aligned} \end{matrix}

(8.37)

Então, tomando $h = 0, 1$ , podemos computar a derivada numérica e o erro associado:

D_{+, 0, 1} f (2) = - 5, 247733, | f^{'} (2) - D_{+, 0, 1} f (2) | = 5, 96 \times 1 0^{- 2},

(8.38)

onde $f^{'} (x) = 2 sen (2 x) - 2 x$ é a derivada analítica. Tomando $h = 0, 01$ temos:

D_{+, 0, 1} f (2) = - 5, 302065, | f^{'} (2) - D_{+, 0, 1} f (2) | = 5, 22 \times 1 0^{- 3} .

(8.39)

No GNU Octave, podemos fazer os cálculos com o seguinte código:

#funcao
f = @(x) sin(2*x) - x^2;

#derivada analitica
fl = @(x) 2*cos(2*x) - 2*x;

#d.f. progressiva de ordem 1
dp1 = @(f,x,h=0.1) (f(x+h)-f(x))/h;

#h=0.1
dy = dp1(f,2)
printf("D.F. Progressiva de ordem 1 com h = %f\n", 1e-1)
printf("Df = %f\n", dy)
printf("Erro = %1.2e\n", abs(fl(2)-dy))

#h=0.01
dy = dp1(f,2,1e-2)
printf("D.F. Progressiva de ordem 1 com h = %f\n", 1e-2)
printf("Df = %f\n", dy)
printf("Erro = %1.2e\n", abs(fl(2)-dy))

$♢$

$\begin{matrix} \end{matrix}$

E 8.1.1. Use os esquemas numéricos de diferença finita regressiva de ordem 1, diferença finita progressiva de ordem 1 e diferença finita central de ordem 2 para aproximar as seguintes derivadas:

$f^{'} (x)$ onde $f (x) = sen (x)$ e $x = 2$ .
$f^{'} (x)$ onde $f (x) = e^{- x}$ e $x = 1$ .

Use $h = 1 0^{- 2}$ e $h = 1 0^{- 3}$ e compare com os valores obtidos através da avaliação numérica das derivadas exatas.

Resposta.

$f^{'} (x)$ onde $f (x) = sen (x)$ e $x = 2$ para $h = 1 0^{- 2}$ e $h = 1 0^{- 3}$ , respectivamente.
Progressiva ordem 1: $- 0, 42069$ e $- 0, 41660$ .
Regressiva ordem 1: $- 0, 41159$ e $- 0, 41569$ .
Central ordem 2: $- 0, 41614$ e $- 0, 41615$ .
Exata: $cos (2) = - 0, 41615$
$f^{'} (x)$ onde $f (x) = e^{- x}$ e $x = 1$ para $h = 1 0^{- 2}$ e $h = 1 0^{- 3}$ , respectivamente.
Progressiva ordem 1: $- 0, 36605$ e $- 0, 36788$ .
Regressiva ordem 1: $- 0, 36972$ e $- 0, 36806$ .
Central ordem 2: $- 0, 36789$ e $- 0, 36788$ .
Exata: $- e^{- 1} = - 0, 36788$

E 8.1.2. Expanda a função suave $f (x)$ em um polinômio de Taylor adequado para obter as seguintes aproximações:

$f^{'} (x) = \frac{f (x + h) - f (x)}{h} + O (h)$
$f^{'} (x) = \frac{f (x) - f (x - h)}{h} + O (h)$
$f^{'} (x) = \frac{f (x + h) - f (x - h)}{2 h} + O (h^{2})$

E 8.1.3. Use a expansão da função $f (x)$ em torno de $x = 0$ em polinômios de Taylor para encontrar os coeficientes $a_{1}$ , $a_{2}$ e $a_{3}$ tais que

$f^{'} (0) = a_{1} f (0) + a_{2} f (h) + a_{3} f (2 h) + O (h^{2})$
$f^{'} (0) = a_{1} f (0) + a_{2} f (- h) + a_{3} f (- 2 h) + O (h^{2})$
$f^{'} (0) = a_{1} f (- h_{1}) + a_{2} f (0) + a_{3} f (h_{2}) + O (h^{2}), | h_{1} |, | h_{2} | = O (h)$

Resposta.

$f^{'} (0) = \frac{- 3 f (0) + 4 f (h) - f (2 h)}{2 h} + O (h^{2})$
$f^{'} (0) = \frac{3 f (0) - 4 f (- h) + f (- 2 h)}{2 h} + O (h^{2})$
$f^{'} (0) = \frac{1}{h_{1} + h_{2}} l [- \frac{h_{2}}{h_{1}} f (- h_{1}) + (\frac{h_{2}}{h_{1}} - \frac{h_{1}}{h_{2}}) f (0) + \frac{h_{1}}{h_{2}} f (h_{2})]$

E 8.1.4. As tensões na entrada, $v_{i}$ , e saída, $v_{o}$ , de um amplificador foram medidas em regime estacionário conforme tabela abaixo.


0,0	0,50	1,00	1,50	2,00	2,50	3,00	3,50	4,00	4,50	5,00

0,0	1,05	1,83	2,69	3,83	4,56	5,49	6,56	6,11	7,06	8,29

onde a primeira linha é a tensão de entrada em volts e a segunda linha é tensão de saída em volts. Sabendo que o ganho é definido como

\frac{\partial v_{o}}{\partial v_{i}} .

(8.40)

Calcule o ganho quando $v_{i} = 1$ e $v_{i} = 4.5$ usando as seguintes técnicas:

Derivada primeira numérica de primeira ordem usando o próprio ponto e o próximo.
Derivada primeira numérica de primeira ordem usando o próprio ponto e o anterior.
Derivada primeira numérica de segunda ordem usando o ponto anterior e o próximo.
Derivada primeira analítica da função do tipo $v_{0} = a_{1} v_{i} + a_{3} v_{i}^{3}$ que melhor se ajusta aos pontos pelo critério dos mínimos quadrados.


Caso	a	b	c	d

$v_{i} = 1$

$v_{i} = 4.5$

Resposta. Caso a b c d v i = 1 1.72 1.56 1.64 1.86 v i = 4.5 2.46 1.90 2.18 1.14

$\begin{matrix} \end{matrix}$




(8.41)

E 8.1.5. Estude o comportamento da derivada de $f (x) = e^{- x^{2}}$ no ponto $x = 1, 5$ quando $h$ fica pequeno.

Resposta.

Segue a tabela com os valores da derivada para vários valores de $h$ .

h 10−2 10−4 10−6 10−7 10−8 10−9 D+,hf(1,5) − 0,3125246 − 0,3161608 − 0,3161973 − 0,3161976 − 0,3161977 − 0,3161977

h 10−10 10−11 10−12 10−13 10−14 10−15 D+,hf(1,5) − 0,3161976 − 0,3161971 − 0,3162332 − 0,3158585 − 0,3178013 − 0,3747003

Observe que o valor exato é $- 0, 3161977$ e o $h$ ótimo é algo entre $1 0^{- 8}$ e $1 0^{- 9}$ .

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