Método de Adams-Moulton

Cálculo Numérico - Versão GNU Octave

10.11 Método de Adams-Moulton

O método de Adams-Moulton, assim como o método de Adams-Bashforth, é um método de passo múltiplo. A diferença entre estes dois métodos é que Adams-Bashforth é explícito, enquanto Adams-Moulton é implícito, isto é, os valores de $f (t, u))$ , nos passos $n$ , $n + 1$ , ..., $n + s - 1$ e, inclusive, $n + s$ são utilizados ao calcular $f$ em $t^{(n + s)}$ .

Considere o problema de valor inicial $\begin{array}{rcl} u^{'} (t) & = f (t, u (t)) & (10.292) \\ u (t_{0}) & = a & (10.293) \end{array}$

Integrando a equação diferencial no intervalo $[t^{(n + s - 1)}, t^{(n + s)}]$ , obtemos:

u^{(n + s)} = u^{(n + s - 1)} + \int_{t^{(n + s - 1)}}^{t^{(n + s)}} f (t, u (t)) d t

(10.294)

Agora o integrando em (10.294) é aproximado pelo polinômio que interpola $f (t^{(k)}, u^{(k)})$ para $k = n, n + 1, n + 2, \dots, n + s$ , isto é:

u^{(n + s)} = u^{(n + s - 1)} + \int_{t^{(n + s - 1)}}^{t^{(n + s)}} p (t) d t

(10.295)

onde $p (t)$ é polinômio de grau $s$ dado na forma de Lagrange por:

p (t) = \sum_{j = 0}^{s} [f (t^{(n)}, u^{(n)}) \prod_{k = 0, k \neq j}^{s} \frac{t - t^{(n + k)}}{t^{(n + j)} - t^{(n + k)}}]

(10.296)

Agora observamos que

\int_{t^{(n + s - 1)}}^{t^{(n + s)}} p (t) d t = h \sum_{j = 0}^{s} β_{j} f (t^{(n + j)}, u^{(n + j)})

(10.297)

onde

β_{j} = \frac{1}{h} \int_{t^{(n + s - 1)}}^{t^{(n + s)}} \prod_{k = 0, k \neq j}^{s} \frac{t - t^{(n + k)}}{t^{(n + j)} - t^{(n + k)}} d t

(10.298)

Aplicando a mudança de variáveis $t = t^{(n + s - 1)} + h τ$ , temos: $\begin{array}{rcl} β_{j} & = & \int_{0}^{1} \prod_{k = 0, k \neq j}^{s} \frac{τ + s - k - 1}{j - k} d t & (10.299) \\ = & \frac{{(- 1)}^{s - j}}{j! (s - j)!} \int_{0}^{1} \prod_{k = 0, k \neq j}^{s} (τ + s - k - 1) d τ & (10.300) \\ = & \frac{{(- 1)}^{s - j}}{j! (s - j)!} \int_{0}^{1} \prod_{k = 0, k \neq s - j - 1}^{s} (τ + k - 1) d τ & (10.301) \end{array}$

Assim, obtemos a relação de recorrência: $\begin{array}{rcl} u^{(n + s)} & = & u^{(n + s - 1)} + h \sum_{j = 0}^{s} β_{j} f (t^{(n + j)}, u^{(n + j)}) & (10.302) \end{array}$

Observação 10.11.1. Os coeficientes do método de Adams-Moulton de $s$ passos podem, alternativamente, ser obtidos exigindo que o sistema seja exato para $f (t, u) = t^{0}$ , $f (t, u) = t^{1}$ , $f (t, u) = t^{2}$ , …, $f (t, u) = t^{s}$ .

Exemplo 10.11.1. Obtenha o método de Adams-Moulton para $s = 3$ como $\begin{array}{rcl} u^{(n + 3)} & = u^{(n + 2)} + \int_{t^{(n + 3)}}^{t^{(n + 4)}} f (t, u (t)) d t & (10.303) \\ u^{(n + 3)} & = u^{(n + 2)} + h \sum_{m = 0}^{3} b_{m} f^{(n + m)} & (10.304) \\ u^{(n + 3)} & = u^{(n + 2)} + h [b_{3} f^{(n + 3)} + b_{2} f^{(n + 2)} + b_{1} f^{(n + 1)} + b_{0} f^{(n)}] & (10.305) \end{array}$

Para isso devemos obter $[b_{3}, b_{2}, b_{1}, b_{0}]$ tal que o método seja exato para polinômios até ordem $3$ . Podemos obter esses coeficientes de maneira análoga a obter os coeficientes de um método para integração.

Supondo que os nós $t_{k}$ estejam igualmente espaçados, e para facilidade dos cálculos, como o intervalo de integração é $[t^{(n + 2)}, t^{(n + 3)}]$ , translade $t^{(n + 2)}$ para a origem tal que $[t^{(n)}, t^{(n + 1)}, \dots, t^{(n + 3)}] = [- 2 h, - h, 0, h]$ .

Considere a base $[1, t, t^{2}, t^{3}]$ e substitua $f (t)$ por cada um dos elementos da base,obtendo: $\begin{array}{rcl} \int_{0}^{h} 1 d t = h & = h (b_{0} (1) + b_{1} (1) + b_{2} (1) + b_{3} (1)) & (10.306) \\ \int_{0}^{h} t d t = \frac{h^{2}}{2} & = h (b_{0} (h) + b_{1} (0) + b_{2} (- h) + b_{3} (- 2 h)) & (10.307) \\ \int_{0}^{h} t^{2} d t = \frac{h^{3}}{3} & = h (b_{0} {(h)}^{2} + b_{1} {(0)}^{2} + b_{2} {(- h)}^{2} + b_{3} {(- 2 h)}^{2}) & (10.308) \\ \int_{0}^{h} t^{3} d t = \frac{h^{4}}{4} & = h (b_{0} {(h)}^{3} + b_{1} {(0)}^{3} + b_{2} {(- h)}^{3} + b_{3} {(- 2 h)}^{3}) & (10.309) \end{array}$

que pode ser escrito na forma matricial $\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 & - 2 \\ 1 & 0 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & - 1 & - 8 \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{0} \\ b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 ∕ 2 \\ 1 ∕ 3 \\ 1 ∕ 4 \end{matrix}) & (10.310) \end{array}$

Resolvendo o sistema obtemos

[b_{0}, b_{1}, b_{2}, b_{3}] = [\frac{1}{24}, - \frac{5}{24}, \frac{19}{24}, \frac{9}{24}]

(10.311)

fornecendo a regra $\begin{array}{rcl} u_{n + 3} & = u_{n + 2} + \frac{h}{24} [9 f_{n + 3} + 19 f_{n + 2} - 5 f_{n + 1} + f^{(n)}] & (10.312) \end{array}$

A tabela abaixo mostra as coeficientes do método de Adams-Moulton para até oito passos.


1	1
2	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
3	$- \frac{1}{12}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{5}{12}$
4	$\frac{1}{24}$	$- \frac{5}{24}$	$\frac{19}{24}$	$\frac{3}{8}$
5	$- \frac{19}{720}$	$\frac{53}{360}$	$- \frac{11}{30}$	$\frac{323}{360}$	$\frac{251}{720}$
6	$\frac{3}{160}$	$- \frac{173}{1440}$	$\frac{241}{720}$	$- \frac{133}{240}$	$\frac{1427}{1440}$	$\frac{95}{288}$
7	$- \frac{863}{60480}$	$\frac{263}{2520}$	$- \frac{6737}{20160}$	$\frac{586}{945}$	$- \frac{15487}{20160}$	$\frac{2713}{2520}$	$\frac{19087}{60480}$
8	$\frac{275}{24192}$	$- \frac{11351}{120960}$	$\frac{1537}{4480}$	$- \frac{88547}{120960}$	$\frac{123133}{120960}$	$- \frac{4511}{4480}$	$\frac{139849}{120960}$	$\frac{5257}{17280}$

Exemplo 10.11.2. O esquema iterativo de Adams-Moulton com três passos, isto é, $s = 2$ é dado na forma:

u^{(n + 2)} = u^{(n + 1)} + \frac{h}{12} [5 f (t^{(n + 2)}, u (t^{(n + 2)})) + 8 f (t^{(n + 1)}, u (t^{(n + 1)})) - f (t^{(n)}, u (t^{(n)}))]

(10.313)

Exercícios resolvidos

ER 10.11.1. Resolva o problema de valor inicial dado por: $\begin{array}{rcl} u^{'} (t) & = & - 2 u (t) + t e^{- t} & (10.314) \\ u (0) & = & - 1 & (10.315) \end{array}$

via Adams-Moulton com $s = 2$ (três passos) com $h = 0, 1$ e $h = 0, 01$ e compare com a solução exata dada por $u (t) = (t - 1) e^{- t}$ nos instantes $t = 1$ e $t = 2$ . Inicialize com Euler modificado.

Solução. Primeiro observamos que

f (u, t) = - 2 u + t e^{- t}

e que o esquema de Adams-Moulton pode ser escrito como:

u^{(n + 2)} = u^{(n + 1)} + \frac{h}{12} [5 f (t^{(n + 2)}, u (t^{(n + 2)})) + 8 f (t^{(n + 1)}, u (t^{(n + 1)})) - f (t^{(n)}, u (t^{(n)}))]

(10.316)

de forma que: $\begin{array}{rcl} u^{(n + 2)} & = & u^{(n + 1)} + \frac{h}{12} [8 f (t^{(n + 1)}, u (t^{(n + 1)})) - f (t^{(n)}, u (t^{(n)}))] + \frac{5 h}{12} f (t^{(n + 2)}, u (t^{(n + 2)})) & (10.317) \\ = & u^{(n)} + \frac{h}{12} [8 f^{(n + 1)} - f^{(n)}] + \frac{5 h}{12} (t^{(n + 2)} e^{t^{(n + 2)}} - 2 u (t^{(n + 2)})) & (10.318) \end{array}$

Assim: $\begin{array}{rcl} (1 + \frac{5 h}{6}) u^{(n + 2)} & = & u^{(n + 1)} + \frac{h}{12} [8 f^{(n + 1)} - f^{(n)}] + \frac{5 h}{12} t^{(n + 2)} e^{- t^{(n + 2)}} & (10.319) \end{array}$

Os valores obtidos são:


	t=1	t=2

h=0,1	-0,000223212480142	0,135292280956
h=0,01	-2,02891229566e-07	0,135335243537
Exato	0	0,135335283237

A seguinte rotina implementa a recursão:

function y = g(x)
  y=x*exp(-x);
endfunction

function u=moulton(u0,h,Tmax)
  itmax=Tmax/h;

  u=[0:h:Tmax];
  fn=[0:h:Tmax];

  u(1)=u0;
  l=-2;
  %Iniciliza com Euler modificado
  k1= l*u(1) + g(0);
  k2= l*(u(1)+h*k1) + g(h);
  u(2)= u(1)+ h *(k1+k2)/2;

  fn(1)= k1;
  fn(2)= l*u(2) + g(h);

  for n=1:itmax-1
    gn2=g((n+1)*h);

    u(n+2)= (u(n+1) + h/12*(8*fn(n+1)-fn(n)) + 5*h/12*gn2 ) / (1+5*h/6);
    fn(n+2)=l*u(n+2)+gn2;
  endfor

endfunction

A seguinte rotina implementa a recursão:

function y = g(x)
  y=x*exp(-x);
endfunction

function u=moulton(u0,h,Tmax)
  itmax=Tmax/h;

  u=[0:h:Tmax];
  fn=[0:h:Tmax];

  u(1)=u0;
  l=-2;
  Iniciliza com Euler modificado
  k1= l*u(1) + g(0);
  k2= l*(u(1)+h*k1) + g(h);
  u(2)= u(1)+ h *(k1+k2)/2;

  fn(1)= k1;
  fn(2)= l*u(2) + g(h);

  for n=1:itmax-1
    gn2=g((n+1)*h);

    u(n+2)= (u(n+1) + h/12*(8*fn(n+1)-fn(n)) + 5*h/12*gn2 ) / (1+5*h/6);
    fn(n+2)=l*u(n+2)+gn2;
  end

endfunction

$♢$

ER 10.11.2. Repita o Problema 10.10.1 pelo método de Adams-Moulton, isto, é resolva numericamente o problema de valor inicial dado por: $\begin{array}{rcl} y^{'} (t) & = & \sqrt{1 + y (t)}, & (10.320) \\ y (0) & = & 0, & (10.321) \end{array}$

aplicando o método de Adams-Moulton de dois passos. Calcule o valor de $y (1)$ com passo de tamanho $h = 0, 1$ .

Solução. Primeiro observamos que o processo resursivo do método de Adams é dado por:

y^{(n + 1)} = y^{(n)} + \frac{h}{2} [f (t^{(n + 1)}, u (t^{(n + 1)})) + f (t^{(n)}, u (t^{(n)}))], n = 1, 2, \dots

(10.322)

O valor inicial é dado por $y^{(1)} = 0$ . Primeiramente, precisamos isolar $y^{(x + 1)}$ na Equação 10.322:

y^{(n + 1)} = y^{(n)} + \frac{h}{8} \sqrt{h^{2} + 16 + 16 y^{(n)} + 8 h \sqrt{1 + y^{(n)}}} + \frac{h}{2} \sqrt{1 + y^{(n)}} + \frac{h^{2}}{8}, n = 1, 2, \dots

(10.323)

\begin{array}{rcl} y^{(1)} & = & 0 & (10.324) \\ y^{(2)} & = & 0, 1025 & (10.325) \\ y^{(3)} & = & 0, 21 & (10.326) \\ y^{(4)} & = & 0, 3225 & (10.327) \\ y^{(5)} & = & 0, 44 & (10.328) \\ y^{(6)} & = & 0, 5625 & (10.329) \\ y^{(7)} & = & 0, 69 & (10.330) \\ y^{(8)} & = & 0, 8225 & (10.331) \\ y^{(9)} & = & 0, 96 & (10.332) \\ y^{(10)} & = & 1, 1025 & (10.333) \\ y^{(11)} & = & 1, 25 & (10.334) \end{array}

$♢$

ER 10.11.3. Resolva o problema de valor inicial dado por $\begin{array}{rcl} y^{'} (t) & = & y^{3} - y + t, & (10.335) \\ y (0) & = & 0, & (10.336) \end{array}$

aplicando o método de Adams-Moulton de dois passos. Calcule o valor de $y (1)$ com passo de tamanho $h = 0, 1$ e $h = 0, 01$ . Primeiro observamos que o processo resursivo do método de Adams é dado por: $\begin{array}{rcl} y^{(n + 1)} & = & y^{(n)} + \frac{h}{2} [f (t^{(n + 1)}, u (t^{(n + 1)})) + f (t^{(n)}, u (t^{(n)}))], n = 1, 2, \dots, & (10.337) \\ y^{(1)} & = & 0 & (10.338) \end{array}$

Observamos que o problema de isolar $y^{(n + 1)}$ pode ser escrito como $\begin{array}{rcl} y^{(n + 1)} - \frac{h}{2} f (t^{(n + 1)}, u (t^{(n + 1)})) & = & y^{(n)} + \frac{h}{2} f (t^{(n)}, u (t^{(n)})) & (10.339) \end{array}$

O termo da esquerda é uma expressão não linear em $y^{(n + 1)}$ e o termo da direita é conhecido, isto é, pode ser calculado com base nos valores anteriormente calculados. Devemos, então, escolher um método numérico de solução de equações algébricas não lineares (veja capítulo 3) como o método de Newton visto na Seção 3.4 para resolver uma equação do tipo:

u - \frac{h}{2} f (t^{(n + 1)}, u) = a,

(10.340)

isto é:

u - \frac{h}{2} (u^{3} - u + t^{(n + 1)}) = a,

(10.341)

com $a = y^{(n)} + \frac{h}{2} f (t^{(n)}, u (t^{(n)}))$ Os valores obtidos são: $0, 37496894$ e $0, 37512382$ quando o método é inicializadom com Euler melhorado.

Exercícios

E 10.11.1. Encontre o método de Adams-Moulton para $s = 0$ .

Resposta.

y^{(n)} = y^{(n)} + h f (t^{(n)}, u (t^{(n)})

(10.342)

Este esquema é equivalente ao método de Euler Implícito.

E 10.11.2. Encontre o método de Adams-Moulton para $s = 1$ .

Resposta.

y^{(n + 1)} = y^{(n)} + \frac{h}{2} [f (t^{(n + 1)}, u (t^{(n + 1)})) + f (t^{(n)}, u (t^{(n)}))]

(10.343)

Este esquema é equivalente ao método trapezoidal.

E 10.11.3. Repita o Problema 10.11.3 usando Adams-Moulton com 3 passos e inicilizando com Runge-Kutta quarta ordem clássico.

Resposta.

0, 37517345

0, 37512543

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