Método de Euler

Cálculo Numérico - Versão GNU Octave

10.2 Método de Euler

Nesta seção, contruiremos o mais simples dos métodos para resolver problemas de valor inicial: o método de Euler com passo constante. Por passo constante, queremos dizer que os pontos da malha estão todos igualmente espaçados, isto é:

t^{(i)} = (i - 1) h, i = 1, 2, \dots, N .

(10.14)

onde $h$ é passo, ou seja, a distância entre dois pontos da malha.

Considere então o problema de valor inicial dado por:

\begin{matrix} \begin{aligned} u^{'} (t) & = f (t, u (t)), t > t^{(1)} \\ u (t^{(1)}) & = a . \end{aligned} \end{matrix}

(10.15)

Ao invés de tentar solucionar o problema para qualquer $t > t^{(1)}$ , iremos aproximar $u (t)$ em $t = t^{(2)}$ .

Integrando (10.15) de $t^{(1)}$ até $t^{(2)}$ , obtemos: $\begin{array}{rcl} \int_{t^{(1)}}^{t^{(2)}} u^{'} (t) d t & = & \int_{t^{(1)}}^{t^{(2)}} f (t, u (t)) d t & (10.16) \\ u (t^{(2)}) - u (t^{(1)}) & = & \int_{t^{(1)}}^{t^{(2)}} f (t, u (t)) d t & (10.17) \\ u (t^{(2)}) & = & u (t^{(1)}) + \int_{t^{(1)}}^{t^{(2)}} f (t, u (t)) d t & (10.18) \end{array}$

Seja $u_{n}$ a aproximação de $u (t_{n})$ . Para obter o método numérico mais simples aproximamos $f$ em $[t^{(1)}, t^{(2)}]$ pela função constante $f (t, u (t)) \approx f (t^{(1)}, u^{(1)})$ , $\begin{array}{rcl} u^{(2)} & = & u^{(1)} + f (t^{(1)}, u^{(1)}) \int_{t^{(1)}}^{t^{(2)}} d t & (10.19) \\ u^{(2)} & = & u^{(1)} + f (t^{(1)}, u^{(1)}) (t^{(2)} - t^{(1)}) & (10.20) \\ u^{(2)} & = & u^{(1)} + h f (t^{(1)}, u^{(1)}) & (10.21) \end{array}$

Este procedimento pode ser repetido para $t^{(3)}$ , $t^{(4)}$ , $\dots$ , obtendo, assim, o chamado método de Euler:

\begin{matrix} \begin{aligned} u^{(n + 1)} & = u^{(n)} + h f (t^{(n)}, u^{(n)}), \\ u^{(1)} & = u^{(1)} = u (t^{(1)}) (c o n d i ç ã o i n i c i a l) . \end{aligned} \end{matrix}

(10.22)

Exemplo 10.2.1. Considere o problema de valor inicial

\begin{matrix} \begin{aligned} u^{'} (t) & = 2 u (t) \\ u (0) & = 1 \end{aligned} \end{matrix}

(10.23)

cuja solução é $u (t) = e^{2 t}$ . O método de Euler aplicado a este problema produz o esquema:

\begin{matrix} \begin{aligned} u^{(k + 1)} & = u^{(k)} + 2 h u^{(k)} = (1 + 2 h) u^{(k)} \\ u^{(1)} & = 1, \end{aligned} \end{matrix}

(10.24)

Suponha que queremos calcular o valor aproximado de $u (1)$ com $h = 0, 2$ . Então os pontos $t^{(1)} = 0$ , $t^{(2)} = 0, 2$ , $t^{(3)} = 0, 4$ , $t^{(4)} = 0, 6$ , $t^{(5)} = 0, 8$ e $t^{(6)} = 1, 0$ formam os seis pontos da malha. As aproximações para a solução nos pontos da malha usando o método de Euler são:

\begin{matrix} \begin{aligned} u (0) & \approx u^{(1)} = 1 \\ u (0, 2) & \approx u^{(2)} = (1 + 2 h) u^{(1)} = 1, 4 u^{(1)} = 1, 4 \\ u (0, 4) & \approx u^{(3)} = 1, 4 u^{(2)} = 1, 96 \\ u (0, 6) & \approx u^{(4)} = 1, 4 u^{(3)} = 2, 744 \\ u (0, 8) & \approx u^{(5)} = 1, 4 u^{(4)} = 3, 8416 \\ u (1, 0) & \approx u^{(6)} = 1, 4 u^{(5)} = 5, 37824 \end{aligned} \end{matrix}

(10.25)

Essa aproximação é bem grosseira quando comparamos com a solução do problema em $t = 1$ : $u (1) = e^{2} \approx 7, 38906$ . Não obstante, se tivéssemos escolhido um passo menor, teríamos obtido uma aproximação melhor. Veja tabela abaixo com valores obtidos com diferentes valores de passo $h$ .


h	$1 0^{- 1}$	$1 0^{- 2}$	$1 0^{- 3}$	$1 0^{- 4}$	$1 0^{- 5}$	$1 0^{- 6}$	$1 0^{- 7}$

$u^{(N)}$	6,1917	6,7275	7,0400	7,2096	7,2980	7,3432	7,3660

De fato, podemos mostrar que quando $h$ se aproxima de $0$ , a solução aproximada via método de Euler converge para a solução exata $e^{2}$ . Para isto, basta observar que a solução da relação de recorrência (10.24) é dada por

u^{(k)} = {(1 + 2 h)}^{k - 1} .

(10.26)

Como $t^{(k)} = (k - 1) h$ e queremos a solução em $t = 2$ , a solução aproximada pelo método de Euler com passo $h$ em é dada por:

u^{(k)} = {(1 + 2 h)}^{k - 1} = {(1 + 2 h)}^{\frac{2}{h}} .

(10.27)

Aplicando o limite $h \to 0 +$ , temos:

lim_{h \to 0 +} {(1 + 2 h)}^{\frac{2}{h}} = e^{2} .

(10.28)

Vamos agora, analisar o desempenho do método de Euler usando um exemplo mais complicado, porém ainda simples suficiente para que possamos obter a solução exata:

Exemplo 10.2.2. Considere o problema de valor inicial relacionado à equação logística:

\begin{matrix} \begin{aligned} u^{'} (t) & = u (t) (1 - u (t)) \\ u (0) & = 1 ∕ 2 \end{aligned} \end{matrix}

(10.29)

Podemos obter a solução exata desta equação usando o método de separação de variáveis e o método das frações parciais. Para tal escrevemos:

\frac{d u (t)}{u (t) (1 - u (t))} = d t

(10.30)

O termo $\frac{1}{u (t) (1 - u (t))}$ pode ser decomposto em frações parciais como $\frac{1}{u} + \frac{1}{1 - u}$ e chegamos na seguinte equação diferencial:

(\frac{1}{u (t)} + \frac{1}{1 - u (t)}) d u = d t .

(10.31)

Integrando termo-a-termo, temos a seguinte equação algébrica relacionando $u (t)$ e $t$ :

ln (u (t)) - ln (1 - u (t)) = t + C

(10.32)

Onde $C$ é a constante de integração, que é definida pela condição inicial, isto é, $u = 1 ∕ 2$ em $t = 0$ . Substituindo, temos $C = 0$ . O que resulta em:

ln (\frac{u (t)}{1 - u (t)}) = t

(10.33)

Equivalente a

\frac{u (t)}{1 - u (t)} = e^{t} \Rightarrow u (t) = (1 - u (t)) e^{t} \Rightarrow (1 + e^{t}) u (t) = e^{t}

(10.34)

E, finalmente, encontramos a solução exata dada por $u (t) = \frac{e^{t}}{1 + e^{t}}$ .

Vejamos, agora, o esquema iterativo produzido pelo método de Euler:

\begin{matrix} \begin{aligned} u^{(k + 1)} & = u^{(k)} + h u^{(k)} (1 - u^{(k)}), \\ u^{(1)} & = 1 ∕ 2 . \end{aligned} \end{matrix}

(10.35)

O seguinte código pode ser usado para implementar no Octave a recursão acima:

function u=euler(h,Tmax)
  u= .5;
  itmax = Tmax/h;
  for n=1:itmax
    u= u + h*u*(1-u);
   end
endfunction

o qual pode ser invocado da seguinte forma $(h = 1 e - 1, t = 2)$ :

>> euler(1e-1,1)
ans = 0.88543

Para fins de comparação, calculamos a solução exata e aproximada para alguns valores de $t$ e de passo $h$ e resumimos na tabela abaixo:


$t$	$Exato$	$Euler h = 0, 1$	$Euler h = 0, 01$

$0$	$1 ∕ 2$	$0, 5$	$0, 5$

$1 ∕ 2$	$\frac{e^{1 ∕ 2}}{1 + e^{1 ∕ 2}} \approx 0, 6224593$	$0, 6231476$	$0, 6225316$

$1$	$\frac{e}{1 + e} \approx 0, 7310586$	$0, 7334030$	$0, 7312946$

$2$	$\frac{e^{2}}{1 + e^{2}} \approx 0, 8807971$	$0, 8854273$	$0, 8812533$

$3$	$\frac{e^{3}}{1 + e^{3}} \approx 0, 9525741$	$0, 9564754$	$0, 9529609$

Exercícios Resolvidos

ER 10.2.1. Aproxime a solução do problema de valor inicial $\begin{array}{rcl} u^{'} (t) & = & - 0, 5 u (t) + 2 + t & (10.36) \\ u (0) & = & 8 & (10.37) \end{array}$

Usando os seguinte passos: $h = 1 0^{- 1}$ , $h = 1 0^{- 2}$ , $h = 1 0^{- 3}$ , $h = 1 0^{- 4}$ e $h = 1 0^{- 5}$ e compare a solução aproximada em $t = 1$ com a solução exata dada por:

u (t) = 2 t + 8 e^{- t ∕ 2} \Rightarrow u (1) = 2 + 8 e^{- 1 ∕ 2} \approx 6, 85224527770107

(10.38)

Solução. Primeramente itentificamos

f (t, u) = - 0, 5 u + 2 + t

e construímos o processo iterativo do método de Euler:

\begin{array}{rcl} u^{(n + 1)} & = & u^{(n)} + h (- 0, 5 u^{(n)} + 2 + t^{(n)}), n = 1, 2, 3, \dots & (10.39) \\ u^{(1)} & = & 8 & (10.40) \end{array}

O seguinte código pode ser usado para implementar no Octave a recursão acima:

function u=euler(h,Tmax)
  u= 8;
  t= 0;
  itmax = Tmax/h;
  for n=1:itmax
    t= (n-1)*h;
    u= u + h*(-0.5*u+2+t);
   end
endfunction

o qual pode ser invocado da seguinte forma:

>> euler(1e-1,1)
ans = 6.8799

Podemos construir um vetor com as cinco soluções da seguinte forma:

>> S=[euler(1e-1,1) euler(1e-2,1) euler(1e-3,1) euler(1e-4,1) euler(1e-5,1)]
S =

6.7899 6.8462 6.8516 6.8522 6.8522

A seguinte tabela resume os resultados obtidos:


h	$1 0^{- 1}$	$1 0^{- 2}$	$1 0^{- 3}$	$1 0^{- 4}$	$1 0^{- 5}$

Euler	6,7898955	6,8461635	6,8516386	6,8521846	6,8522392

$ε_{r e l}$	9,1e-03	8,9e-04	8,9e-05	8,9e-06	8,9e-07

$♢$

Exercícios

E 10.2.1. Resolva o problema de valor inicial a seguir envolvendo uma equação não autônoma, isto é, quando a função $f (t, u)$ depende explicitamente do tempo. Use passo $h = 0, 1$ e $h = 0, 01$ . Depois compare com a solução exata dada por $u (t) = 2 e^{- t} + t - 1$ nos intantes $t = 0$ , $t = 1$ , $t = 2$ e $t = 3$ .

\begin{matrix} \begin{aligned} u^{'} (t) & = - u (t) + t, \\ u (0) & = 1 . \end{aligned} \end{matrix}

(10.41)

Resposta.


$t$	Exato	Euler $h = 0, 1$	Euler $h = 0, 01$

$0$	$1$	$1$	$1$

$1$	$2 e^{- 1} \approx 0, 7357589$	$0, 6973569$	$0, 7320647$

$2$	$2 e^{- 2} + 1 \approx 1, 2706706$	$1, 2431533$	$1, 2679593$

$3$	$2 e^{- 3} + 2 \approx 2, 0995741$	$2, 0847823$	$2, 0980818$

E 10.2.2. Resolva o prolema de valor inicial envolvendo uma equação não linear usando passo $h = 0, 1$ e $h = 0, 01$ .

\begin{matrix} \begin{aligned} u^{'} (t) & = cos (u (t)) \\ u (0) & = 0, \end{aligned} \end{matrix}

(10.42)

Depois compare com a solução exata dada por

u (t) = {tan}^{- 1} (\frac{e^{2 t} - 1}{2 e^{t}}) .

(10.43)

nos intantes $t = 0$ , $t = 1$ , $t = 2$ e $t = 3$ .

Resposta.


$t$	Exato	Euler $h = 0, 1$	Euler $h = 0, 01$

$0$	$0$	$0$	$0$

$1$	$0, 8657695$	$0.8799602$	$0.8671764$

$2$	$1, 3017603$	$1.3196842$	$1.3035243$

$3$	$1, 4713043$	$1.4827638$	$1.4724512$

E 10.2.3. Resolva a seguinte problema de valor inicial linear com passo $h = 1 0^{- 4}$ via método de Euler e compare a solução obtida com o valor exato $y (t) = e^{sen (t)}$ em $t = 2$ :