Use o botão abaixo para reportar erros ou dar sugestões.

Cálculo Numérico - Versão Python

8.4 Fórmulas de diferenças finitas


Veremos nessa seção uma outra maneira de obter fórmulas de diferenças finitas para derivadas de qualquer ordem de tal forma que elas possuam alta ordem de precisão.

Dados n + 1 pontos {x1,x2,,xn}, queremos obter uma aproximação para a derivada de f(x) calculada em x* do tipo f(x*) c 1f(x1) + c2f(x2) + + cnf(xn) (8.62)

que seja exata para polinômios até ordem n - 1.

Seja q(x) = c1ϕ1(x) + c2ϕ2(x) + + cnϕn(x) o polinômio de ordem n que aproxima f(x). Fixe a base ϕk(x) = xk. Como a regra (8.62) deve ser exata para qualquer q(x) até ordem n - 1, então também deve ser exata para qualquer função da base. Substituindo f(x) por ϕ1(x) = 1 em (8.62) obtemos ϕ1(x)| x* = (1)| x* = (8.63) 0 = c1ϕ1(x1) + c2ϕ1(x2) + + cnϕ1(xn) (8.64) 0 = c1 + c2 + + cn (8.65)

Da mesma forma para k = 1,,n - 1, obtemos (x)x* = 1 = c 1x1 + c2x2 + + cnxn (8.66) (x2) x* = 2x* = c 1x12 + c 2x22 + + c nxn2 (8.67) (x3) x* = 3(x*)2 = c 1x13 + c 2x23 + + c nxn3 (8.68) = (8.69) (xn-1) x* = (n - 1)(x*)n-2 = c 1x1n-1 + c 1x1n-1 + + c nxnn-1 (8.70)

que pode ser escrito na forma matricial 1 1 1 x 1 x2 xn x12 x 22 x n2 x1n-1 x 2n-1 x nn-1 c1 c2 c3 c n = 0 1 2x* (n - 1)(x*)n-2 (8.71)

Resolvendo o sistema, obtemos os coeficientes ck para a regra de diferenciação.

Exemplo 8.4.1. Sejam {x1,x2,x3} = {-h, 0,h} e x* = x 2 = 0, obtenha uma regra de diferenciação para aproximar f(x*).

Solução. A regra terá a forma

f(x*) c 1f(x1) + c2f(x2) + c3f(x3) (8.72)

Considere a base polinomial {ϕ1(x),ϕ2(x),ϕ3(x)} = {1,x,x2} e substitua f(x) por ϕk(x) obtendo (1)x=0 = 0 = c 1(1) + c2(1) + c3(1) (8.73) (x)x=0 = 1 = c 1(-h) + c2(0) + c3(h) (8.74) (x2) x=0 = 0 = c 1(-h)2 + c 2(0)2 + c 3(h)2 (8.75)

que pode ser escrito na forma matricial 1 1 1 -h 0 h h2 0 h2 c1 c2 c3 = 0 1 0 (8.76)

Resolvendo o sistema, obtemos {c1,c2,c3} = {- 1 2h, 0, 1 2h} fornecendo a regra f| x=x1 - 1 2hf(x1) + 1 2hf(x3) (8.77) f(x3) - f(x1) 2h (8.78)

Exercícios resolvidos


Esta parte do material ainda não foi contruída. Clique em e inicie a editá-la agora mesmo. Veja outras formas de participar clicando aqui.

Exercícios


E 8.4.1. Seja {x0,x1,x2} = {0,h, 2h} e x* = x 0 = 0, obtenha uma regra unilateral de diferenciação para aproximar f(x 0).

E 8.4.2. Seja {x0,x1,x2} = {-h, 0,h} e x* = x 1 = 0, obtenha uma regra de diferenciação para aproximar f(x*).

Resposta. f(x*) = f(x0)-2f(x1)+f(x2) h2

E 8.4.3. Seja {x0,x1,,x4} = {-2h,-h, 0,h, 2h} e x* = 0, obtenha uma regra de diferenciação para aproximar f(x*).

E 8.4.4. Seja [x0,x1,,x4] = [-2h, - h,0,h,2h] e x* = 0, obtenha uma regra de diferenciação para aproximar f(x*).

E 8.4.5. Seja [x0,x1,,x4] = [0,h,3h,6h,10h] e x* = 0, obtenha uma regra de diferenciação para aproximar f(x*).

Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 15/5/2019 às 15:24:50.

Informe erros ou edite você mesmo!