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Cálculo Numérico - Versão Python

8.5 Derivada via ajuste ou interpolação


Dados os valores de uma função em um conjuntos de pontos {(xi,yi)}i=1N, as derivadas dy dx i podem ser obtidas através da derivada de uma curva que melhor ajusta ou interpola os pontos. Esse tipo de técnica é necessário quando os pontos são muito espaçados entre si ou quando a função oscila muito. Por exemplo, dados os pontos (0,1), (1,2), (2,5), (3,9), a parábola que melhor ajusta os pontos é

Q(x) = 0,95 + 0,45x + 0,75x2. (8.79)

Usando esse ajuste para calcular as derivadas, temos:

Q(x) = 0,45 + 1,5x (8.80)

e y(x 1) Q(x 1) = 0,45,y(x 2) Q(x 2) = 1,95, (8.81) y(x 3) Q(x 3) = 3,45ey(x 4) Q(x 4) = 4,95 (8.82)

Agora olhe o gráfico da seguinte tabela de pontos.



x y


0 1,95


1 1,67


2 3,71


3 3,37


4 5,12


5 5,79


6 7,50


7 7,55


8 9,33


9 9,41


10 11,48


PIC

Observe que as derivadas calculadas por diferenças finitas oscilam entre um valor pequeno e um grande em cada intervalo e além disso, a fórmula progressiva difere da regressiva significantemente. Por exemplo, por diferenças regressivas f(7) (7,55-7,50) 1 = 0,05 e por diferenças progressivas f(7) (9,33-7,55) 1 = 1,78. A melhor forma de calcular a derivada aqui é fazer um ajuste de curva. A reta que melhor ajusta os dados da tabela é y = f(x) = 1,2522727 + 0,9655455x. Usando esse ajuste, temos f(7) 0,9655455.

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Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 15/5/2019 às 15:24:50.

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