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Cálculo Numérico - Versão Python

Capítulo 1
Introdução


Cálculo numérico é a disciplina que estuda as técnicas para a solução aproximada de problemas matemáticos. Estas técnicas são de natureza analítica e computacional. As principais preocupações normalmente envolvem exatidão e desempenho.

Aliado ao aumento contínuo da capacidade de computação disponível, o desenvolvimento de métodos numéricos tornou a simulação computacional de problemas matemáticos uma prática usual nas mais diversas áreas científicas e tecnológicas. As então chamadas simulações numéricas são constituídas de um arranjo de vários esquemas numéricos dedicados a resolver problemas específicos como, por exemplo: resolver equações algébricas, resolver sistemas de equações lineares, interpolar e ajustar pontos, calcular derivadas e integrais, resolver equações diferenciais ordinárias etc. Neste livro, abordamos o desenvolvimento, a implementação, a utilização e os aspectos teóricos de métodos numéricos para a resolução desses problemas.

Trabalharemos com problemas que abordam aspectos teóricos e de utilização dos métodos estudados, bem como com problemas de interesse na engenharia, na física e na matemática aplicada.

A necessidade de aplicar aproximações numéricas decorre do fato de que esses problemas podem se mostrar intratáveis se dispomos apenas de meios puramente analíticos, como aqueles estudados nos cursos de cálculo e álgebra linear. Por exemplo, o teorema de Abel-Ruffini nos garante que não existe uma fórmula algébrica, isto é, envolvendo apenas operações aritméticas e radicais, para calcular as raízes de uma equação polinomial de qualquer grau, mas apenas casos particulares:

  • Simplesmente isolar a incógnita para encontrar a raiz de uma equação do primeiro grau;
  • Fórmula de Bhaskara para encontrar raízes de uma equação do segundo grau;
  • Fórmula de Cardano para encontrar raízes de uma equação do terceiro grau;
  • Existe expressão para equações de quarto grau;
  • Casos simplificados de equações de grau maior que 4 onde alguns coeficientes são nulos também podem ser resolvidos.

Equações não polinomiais podem ser ainda mais complicadas de resolver exatamente, por exemplo:

cos(x) = xouxex = 10 (1.1)

Para resolver o problema de valor inicial

y + xy = x, y(0) = 2, (1.2)

podemos usar o método de fator integrante e obtemos y = 1 + e-x22. No entanto, não parece possível encontrar uma expressão fechada em termos de funções elementares para a solução exata do problema de valor inicial dado por

y + xy = e-y, y(0) = 2, . (1.3)

Da mesma forma, resolvemos a integral

12xe-x2 dx (1.4)

pelo método da substituição e obtemos 1 2(e-1 - e-2). Porém a integral

12e-x2 dx (1.5)

não pode ser expressa analiticamente em termos de funções elementares, como uma consequência do teorema de Liouville.

A maioria dos problemas envolvendo fenômenos reais produzem modelos matemáticos cuja solução analítica é difícil (ou impossível) de obter, mesmo quando provamos que a solução existe. Nesse curso propomos calcular aproximações numéricas para esses problemas, que apesar de, em geral, serem diferentes da solução exata, mostraremos que elas podem ser bem próximas.

Para entender a construção de aproximações é necessário estudar como funciona a aritmética implementada nos computadores e erros de arredondamento. Como computadores, em geral, usam uma base binária para representar números, começaremos falando em mudança de base.

Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 15/5/2019 às 15:24:50.

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