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Cálculo Numérico - Versão Python

10.17 Exercícios finais


E 10.17.1. Considere o problema de valor inicial dado por du(t) dt = -u(t) + e-t (10.391) u(0) = 0 (10.392)

Resolva analiticamente este problema usando as técnicas elementares de equações diferenciais ordinárias. A seguir encontre aproximações numéricas usando os métodos de Euler, Euler modificado, Runge-Kutta clássico e Adams-Bashforth de ordem 4 conforme pedido nos itens.

  • Construa uma tabela apresentando valores com 7 algarismos significativos para comparar a solução analítica com as aproximações numéricas produzidas pelos métodos sugeridos. Construa também uma tabela para o erro absoluto obtido por cada método numérico em relação à solução analítica. Nesta última tabela, expresse o erro com 2 algarismos significativos em formato científico. Dica: format(e,8) para a segunda tabela.







    0,5 1,0 1,5 2,0 2,5






    Analítico






    Euler






    Euler modificado






    Runge-Kutta clássico






    Adams-Bashforth ordem 4












    0,5 1,0 1,5 2,0 2,5






    Euler






    Euler modificado






    Runge-Kutta clássico






    Adams-Bashforth ordem 4






  • Calcule o valor produzido por cada um desses método para u(1) com passo h = 0,1, h = 0,05, h = 0,01, h = 0,005 e h = 0,001. Complete a tabela com os valores para o erro absoluto encontrado.







    0,1 0,05 0,01 0,005 0,001






    Euler






    Euler modificado






    Runge-Kutta clássico






    Adams-Bashforth ordem 4






Resposta.







0,5 1,0 1,5 2,0 2,5






Analítico 0,3032653 0,3678794 0,3346952 0,2706706 0,2052125






Euler 0,3315955 0,3969266 0,3563684 0,2844209 0,2128243






Euler modificado 0,3025634 0,3671929 0,3342207 0,2704083 0,2051058






Runge-Kutta clássico 0,3032649 0,3678790 0,3346949 0,2706703 0,2052124






Adams-Bashforth ordem 4 0,3032421 0,3678319 0,3346486 0,2706329 0,2051848












0,5 1,0 1,5 2,0 2,5






Euler 2,8e-2 2,9e-2 2,2e-2 1,4e-2 7,6e-3






Euler modificado 7,0e-4 6,9e-4 4,7e-4 2,6e-4 1,1e-4






Runge-Kutta clássico 4,6e-7 4,7e-7 3,5e-7 2,2e-7 1,2e-7






Adams-Bashforth ordem 4 2,3e-5 4,8e-5 4,7e-5 3,8e-5 2,8e-5












0,1 0,05 0,01 0,005 0,001






Euler 2,9e-2 5,6e-3 2,8e-3 5,5e-4 2,8e-4






Euler modificado 6,9e-4 2,5e-5 6,2e-6 2,5e-7 6,1e-8






Runge-Kutta clássico 4,7e-7 6,9e-10 4,3e-11 6,8e-14 4,4e-15






Adams-Bashforth ordem 4 4,8e-5 9,0e-8 5,7e-9 9,2e-12 5,8e-13






E 10.17.2. Considere o seguinte modelo para o crescimento de uma colônia de bactérias, baseado na equação logística (ver (10.29))

u(t) = αu(t) A - u(t) (10.393)

onde u(t) indica a densidade de bactérias em unidades arbitrárias na colônia e α e A são constantes positivas. Pergunta-se:

  • Se A = 10 e α = 1 e u(0) = 1, use métodos numéricos para obter aproximação para u(t) em t = 5 10-2, t = 10-1, t = 5 10-1 e t = 1.
  • Se A = 10 e α = 1 e u(0) = 1, use métodos numéricos para obter tempo necessário para que a população dobre?
  • Se A = 10 e α = 1 e u(0) = 4, use métodos numéricos para obter tempo necessário para que a população dobre?

Resposta.
  • 1,548280989603, 2,319693166841, 9,42825618574 e 9,995915675174.
  • 0,081093021622.
  • 0,179175946923.

Obs: A solução analitica do problema de valor inicial é dada por:

u(t) = Au0 (A - u0)e-Aαat + u0 (10.394)

Os valores exatos para os itens b e c são: 1 10 ln 9 4 e 1 10 ln 6.

E 10.17.3. Considere o seguinte modelo para a evolução da velocidade de um objeto em queda:

v = g - αv2 (10.395)

Sabendo que g = 9,8 e α = 10-2 e v(0) = 0. Pede-se a velocidade ao tocar o solo e o instante quando isto acontece, dado que a altura inicial era 100.

Resposta. O valor exato é g α 1 - e-200α 29,109644835142 em t = 1 gα tanh -1 1 - e-200α 2,3928380185497

E 10.17.4. Considere o seguinte modelo para o oscilador não linear de Van der Pol:

u(t) - α(A - u(t)2)u(t) + w 02u(t) = 0 (10.396)

onde A, α e w0 são constantes positivas.

  • Encontre a frequência e a amplitude de oscilações quando w0 = 1, α = .1 e A = 10. (Teste diversas condições iniciais)
  • Estude a dependência da frequência e da amplitude com os parâmetros A, α e w0. (Teste diversas condições iniciais)
  • Que diferenças existem entre esse oscilador não linear e o oscilador linear?

E 10.17.5. Considere o seguinte modelo para um oscilador não linear: u(t) - α(A - z(t))u(t) + w 02u(t) = 0 (10.397) Cz(t) + z(t) = u(t)2 (10.398)

onde A, α, w0 e C são constantes positivas.

  • Encontre a frequência e a amplitude de oscilações quando w0 = 1, α = .1, A = 10 e C = 10. (Teste diversas condições iniciais)
  • Estude a dependência da frequência e da amplitude com os parâmetros A, α, w0 e C. (Teste diversas condições iniciais)

E 10.17.6. Considere o seguinte modelo para o controle de temperatura em um processo químico: CT(t) + T(t) = κP(t) + T ext (10.399) P(t) = α(T set - T(t)) (10.400)

onde C, α e κ são constantes positivas e P(t) indica o potência do aquecedor. Sabendo que Tset é a temperatura desejada, interprete o funcionamento esse sistema de controle. Faça o que se pede:

  • Calcule a solução quando a temperatura externa Text = 0, Tset = 1000, C = 10, κ = .1 e α = .1. Considere condições iniciais nulas.
  • Quanto tempo demora o sistema para atingir a temperatura 900K?
  • Refaça os dois primeiros itens com α = 0,2 e α = 1
  • Faça testes para verificar a influência de Text, α e κ na temperatura final.

E 10.17.7. Considere a equação do pêndulo dada por:

d2θ(t) dt2 + g l sen (θ(t)) = 0 (10.401)

onde g é o módulo da aceleração da gravidade e l é o comprimento da haste.

  • Mostre analiticamente que a energia total do sistema dada por
    1 2 dθ(t) dt 2 - g l cos(θ(t)) (10.402)

    é mantida constante.

  • Resolva numericamente esta equação para g = 9,8ms2 e l = 1m e as seguintes condições iniciais:

      i. θ(0) = 0,5 e θ(0) = 0.

      ii. θ(0) = 1,0 e θ(0) = 0.

      iii. θ(0) = 1,5 e θ(0) = 0.

      iv. θ(0) = 2,0 e θ(0) = 0.

      v. θ(0) = 2,5 e θ(0) = 0.

      vi. θ(0) = 3,0 e θ(0) = 0.

Em todos os casos, verifique se o método numérico reproduz a lei de conservação de energia e calcule período e amplitude.

E 10.17.8. Considere o modelo simplificado de FitzHugh-Nagumo para o potencial elétrico sobre a membrana de um neurônio: dV dt = V - V 33 - W + I (10.403) dW dt = 0,08(V + 0,7 - 0,8W) (10.404)

onde I é a corrente de excitação.

  • Encontre o único estado estacionário V 0,W0 com I = 0.
  • Resolva numericamente o sistema com condições iniciais dadas por V 0,W0 e

      I = 0

      I = 0,2

      I = 0,4

      I = 0,8

      I = e-t200

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