E 10.17.1. Considere o problema de valor inicial dado por $$\begin{array}{rcll}\frac{du\left(t\right)}{dt}& =& -u\left(t\right)+e^{-t}& \text{(10.391)}\\ u\left(0\right)& =& 0& \text{(10.392)}\end{array}$$

Resolva analiticamente este problema usando as técnicas elementares de equações diferenciais ordinárias. A seguir encontre aproximações numéricas usando os métodos de Euler, Euler modificado, Runge-Kutta clássico e Adams-Bashforth de ordem 4 conforme pedido nos itens.

• Construa uma tabela apresentando valores com 7 algarismos significativos para comparar a solução analítica com as aproximações numéricas produzidas pelos métodos sugeridos. Construa também uma tabela para o erro absoluto obtido por cada método numérico em relação à solução analítica. Nesta última tabela, expresse o erro com 2 algarismos significativos em formato científico. Dica: $format{(\prime }^{}{e}^{\prime },8)$ para a segunda tabela.

  	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5
  Analítico
  Euler
  Euler modificado
  Runge-Kutta clássico
  Adams-Bashforth ordem 4

  	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5
  Euler
  Euler modificado
  Runge-Kutta clássico
  Adams-Bashforth ordem 4

• Calcule o valor produzido por cada um desses método para $u\left(1\right)$ com passo $h=0,1$, $h=0,05$, $h=0,01$, $h=0,005$ e $h=0,001$. Complete a tabela com os valores para o erro absoluto encontrado.

  	0,1	0,05	0,01	0,005	0,001
  Euler
  Euler modificado
  Runge-Kutta clássico
  Adams-Bashforth ordem 4

E 10.17.2. Considere o seguinte modelo para o crescimento de uma colônia de bactérias, baseado na equação logística (ver (10.29))

onde $u\left(t\right)$ indica a densidade de bactérias em unidades arbitrárias na colônia e $\alpha$ e $A$ são constantes positivas. Pergunta-se:

• Se $A=10$ e $\alpha =1$ e $u\left(0\right)=1$, use métodos numéricos para obter aproximação para $u\left(t\right)$ em $t=5\cdot 10^{-2}$, $t=\cdot 10^{-1}$, $t=5\cdot 10^{-1}$ e $t=1$.
• Se $A=10$ e $\alpha =1$ e $u\left(0\right)=1$, use métodos numéricos para obter tempo necessário para que a população dobre?
• Se $A=10$ e $\alpha =1$ e $u\left(0\right)=4$, use métodos numéricos para obter tempo necessário para que a população dobre?

E 10.17.3. Considere o seguinte modelo para a evolução da velocidade de um objeto em queda:

Sabendo que $g=9,8$ e $\alpha =10^{-2}$ e $v\left(0\right)=0$. Pede-se a velocidade ao tocar o solo e o instante quando isto acontece, dado que a altura inicial era 100.

E 10.17.4. Considere o seguinte modelo para o oscilador não linear de Van der Pol:

onde $A$, $\alpha$ e $w_0$ são constantes positivas.

• Encontre a frequência e a amplitude de oscilações quando $w_0=1$, $\alpha =.1$ e $A=10$. (Teste diversas condições iniciais)
• Estude a dependência da frequência e da amplitude com os parâmetros $A$, $\alpha$ e $w_0$. (Teste diversas condições iniciais)
• Que diferenças existem entre esse oscilador não linear e o oscilador linear?

E 10.17.5. Considere o seguinte modelo para um oscilador não linear: $$\begin{array}{rcll}{u}^{″}\left(t\right)-\alpha \left(A-z\left(t\right)\right)u^{\prime }\left(t\right)+w_0^{2}u\left(t\right)& =& 0& \text{(10.397)}\\ C{z}^{\prime }\left(t\right)+z\left(t\right)& =& u{\left(t\right)}^2& \text{(10.398)}\end{array}$$

onde $A$, $\alpha$, $w_0$ e $C$ são constantes positivas.

• Encontre a frequência e a amplitude de oscilações quando $w_0=1$, $\alpha =.1$, $A=10$ e $C=10$. (Teste diversas condições iniciais)
• Estude a dependência da frequência e da amplitude com os parâmetros $A$, $\alpha$, $w_0$ e $C$. (Teste diversas condições iniciais)

E 10.17.6. Considere o seguinte modelo para o controle de temperatura em um processo químico: $$\begin{array}{rcll}C{T}^{\prime }\left(t\right)+T\left(t\right)& =& \kappa P\left(t\right)+T_{ext}& \text{(10.399)}\\ P^{\prime }\left(t\right)& =& \alpha \left(T_{set}-T\left(t\right)\right)& \text{(10.400)}\end{array}$$

onde $C$, $\alpha$ e $\kappa$ são constantes positivas e $P\left(t\right)$ indica o potência do aquecedor. Sabendo que $T_{set}$ é a temperatura desejada, interprete o funcionamento esse sistema de controle. Faça o que se pede:

• Calcule a solução quando a temperatura externa $T_{ext}=0$, $T_{set}=1000$, $C=10$, $\kappa =.1$ e $\alpha =.1$. Considere condições iniciais nulas.
• Quanto tempo demora o sistema para atingir a temperatura 900K?
• Refaça os dois primeiros itens com $\alpha =0,2$ e $\alpha =1$
• Faça testes para verificar a influência de $T_{ext}$, $\alpha$ e $\kappa$ na temperatura final.

E 10.17.7. Considere a equação do pêndulo dada por:

onde $g$ é o módulo da aceleração da gravidade e $l$ é o comprimento da haste.

• Mostre analiticamente que a energia total do sistema dada por

  $$\frac{1}{2}{\left(\frac{d\theta \left(t\right)}{dt}\right)}^2-\frac{g}{l}cos\left(\theta \left(t\right)\right)$$

  (10.402)

  é mantida constante.

• Resolva numericamente esta equação para $g=9,8m∕s^2$ e $l=1m$ e as seguintes condições iniciais:

    i. $\theta \left(0\right)=0,5$ e ${\theta }^{\prime }\left(0\right)=0$.

    ii. $\theta \left(0\right)=1,0$ e ${\theta }^{\prime }\left(0\right)=0$.

    iii. $\theta \left(0\right)=1,5$ e ${\theta }^{\prime }\left(0\right)=0$.

    iv. $\theta \left(0\right)=2,0$ e ${\theta }^{\prime }\left(0\right)=0$.

    v. $\theta \left(0\right)=2,5$ e ${\theta }^{\prime }\left(0\right)=0$.

    vi. $\theta \left(0\right)=3,0$ e ${\theta }^{\prime }\left(0\right)=0$.

Em todos os casos, verifique se o método numérico reproduz a lei de conservação de energia e calcule período e amplitude.

E 10.17.8. Considere o modelo simplificado de FitzHugh-Nagumo para o potencial elétrico sobre a membrana de um neurônio: $$\begin{array}{rcll}\frac{dV}{dt}& =& V-V^3∕3-W+I& \text{(10.403)}\\ \frac{dW}{dt}& =& 0,08\left(V+0,7-0,8W\right)& \text{(10.404)}\end{array}$$

onde $I$ é a corrente de excitação.

• Encontre o único estado estacionário $\left(V_0,W_0\right)$ com $I=0$.
• Resolva numericamente o sistema com condições iniciais dadas por $\left(V_0,W_0\right)$ e

    $I=0$

    $I=0,2$

    $I=0,4$

    $I=0,8$

    $I=e^{-t∕200}$