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Cálculo Numérico - Versão Scilab
O problema geral de ajuste linear consiste em dada uma família gerada pelo conjunto de funções e um conjunto de pares ordenados , , , , calcular os coeficientes , , , tais que a função dada por
(7.21) |
minimiza o resíduo
(7.22) |
Aqui, a minimização é feita por todas as possíveis escolhas dos coeficientes , , , .
Com o objetivo de tornar a desenvolvimento mais claro, vamos escrever como a soma dos resíduos parciais:
(7.23) |
Do fato que , temos que cada resíduo pode ser escrito como
(7.24) |
A fim de encontrar o ponto de mínimo, resolvemos o sistema oriundo de igualar a zero cada uma das derivadas parciais de em relação aos coeficientes , isto é, devemos resolver:
Dividindo cada equação por 2 e escrevendo na forma matricial, obtemos , onde a matriz é dada por:
E os vetores e são dados por:
Agora, observamos que e , onde a matriz é dada por:
(7.31) |
e é o vetor coluna .
Assim, o problema de ajuste se reduz a resolver o sistema linear , ou . Este sistema linear tem solução única se a matriz for inversível. O teorema a seguir mostra que isto acontece sempre a matriz possui posto , ou seja, o número de linhas linearmente independentes for igual ao número de colunas.1
Teorema 7.2.1. A matriz é quadrada de ordem e é inversível sempre que o posto da matriz é igual a número de colunas .
(7.32) |
Portanto implica obrigatoriamente . Como o posto de é igual ao número de colunas, precisar ser o vetor nulo.
Observação 7.2.1. Este problema é equivalente a resolver pelo métodos dos mínimos quadrados o seguinte sistema linear:
(7.33) |
Observação 7.2.2. O caso de ajuste de um reta para um conjunto de pontos é um caso particular de ajuste linear.
Solução. O problema consiste em ajustar uma função da forma no conjunto de pontos dados. Notamos que é uma função da família gerada pelo conjunto de funções . Então, aplicando o procedimento acima, temos que o vetor dos coeficientes é solução por mínimos quadrados do sistema linear , onde:
(7.34) |
Ou seja, é a solução do sistema dado por
(7.35) |
A solução desse sistema é e . A Figura 7.2, apresenta um gráfico dos pontos e da reta ajustada.
Exemplo 7.2.2. Encontre a função que melhor se ajusta pelo critérios dos mínimos quadrados aos seguintes pontos dados
Solução. Pelo procedimento visto nesta seção, temos que os coeficientes e são dados pela solução por mínimos quadrados do seguinte sistema linear
(7.36) |
cuja matriz de coeficientes é:
(7.37) |
Então, a solução por mínimos quadrados é
(7.38) |
Ou seja, é a função ajustada ao conjunto de pontos dados. A Figura 7.3 apresenta o gráfica de e dos pontos dados.
No Scilab, podemos computar os coeficientes da função da seguinte forma:
Observação 7.2.3. No Scilab, quando resolvemos um sistema usando
estamos computando a inversa da matriz e multiplicando por . Podemos evitar a computação da inversa de usando o operador contra barra (). Neste caso, escrevemos
Quando o sistema não é uma matriz quadrada, A/b retorna a solução por mínimos quadrados do sistema , enquanto inv(A)*b retorna um erro, pois não é uma matriz quadrada e, portanto, não é invertível.
O ajuste polinomial é o caso particular do ajuste linear para funções polinomiais, isto é, funções do tipo
(7.39) |
Neste caso, a matriz associada ao ajuste dos pontos , , , , é dada por:
(7.40) |
Então, os coeficientes , , são dados pela solução do sistema linear :
(7.41) |
Exemplo 7.2.3. Entre o polinômio de grau 2 que melhor se ajusta aos pontos dados na seguinte tabela:
Solução. Um polinômio de grau 2 pode ser escrito na seguinte forma:
(7.42) |
Assim, o problema se resume em encontrarmos a solução por mínimos quadrados do seguinte sistema linear:
(7.43) |
Ou, escrita na forma matricial, , onde:
(7.44) |
A solução por mínimos quadrados é, então:
(7.45) |
Ou seja, o polinômio de grau 2 que melhor ajusta os pontos dados no sentido de mínimos quadrados é . A Figura 7.4 mostra o gráfico do polinômio ajustado e os pontos dados.
No Scilab, podemos computar o polinômio da seguinte forma:
Para fazermos o gráfico do polinômio e dos pontos, digitamos:
E 7.2.3. Dado o seguinte conjunto de dados
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