8.5 Derivada via ajuste ou interpolação

---

Dados os valores de uma função em um conjuntos de pontos ${\left\{\left(x_i,y_i\right)\right\}}_{i=1}^N$, as derivadas ${\left(\frac{dy}{dx}\right)}_i$ podem ser obtidas através da derivada de uma curva que melhor ajusta ou interpola os pontos. Esse tipo de técnica é necessário quando os pontos são muito espaçados entre si ou quando a função oscila muito. Por exemplo, dados os pontos $\left(0,1\right)$, $\left(1,2\right)$, $\left(2,5\right)$, $\left(3,9\right)$, a parábola que melhor ajusta os pontos é

$$Q\left(x\right)=0,95+0,45x+0,75x^2.$$

(8.79)

Usando esse ajuste para calcular as derivadas, temos:

$$Q^{\prime }\left(x\right)=0,45+1,5x$$

(8.80)

e $$\begin{array}{rcll}& & y^{\prime }\left(x_1\right)\approx Q^{\prime }\left(x_1\right)=0,45,y^{\prime }\left(x_2\right)\approx Q^{\prime }\left(x_2\right)=1,95,& \text{(8.81)}\\ & & y^{\prime }\left(x_3\right)\approx Q^{\prime }\left(x_3\right)=3,45\text{e}{y}^{\prime }\left(x_4\right)\approx Q^{\prime }\left(x_4\right)=4,95& \text{(8.82)}\end{array}$$

Agora olhe o gráfico da seguinte tabela de pontos.

Observe que as derivadas calculadas por diferenças finitas oscilam entre um valor pequeno e um grande em cada intervalo e além disso, a fórmula progressiva difere da regressiva significantemente. Por exemplo, por diferenças regressivas $f^{\prime }\left(7\right)\approx \frac{\left(7,55-7,50\right)}{1}=0,05$ e por diferenças progressivas $f^{\prime }\left(7\right)\approx \frac{\left(9,33-7,55\right)}{1}=1,78$. A melhor forma de calcular a derivada aqui é fazer um ajuste de curva. A reta que melhor ajusta os dados da tabela é $y=f\left(x\right)=1,2522727+0,9655455x$. Usando esse ajuste, temos $f^{\prime }\left(7\right)\approx 0,9655455$.

Exercícios resolvidos

---

Exercícios

---