Use o botão abaixo para reportar erros ou dar sugestões.

Cálculo Numérico - Versão Scilab

6.3 Polinômios de Lagrange


Outra maneira clássica de resolver o problema da interpolação polinomial é através dos polinômios de Lagrange. Dado um conjunto de pontos {xj}j=1n distintos dois a dois, definimos os polinômios de Lagrange como os polinômios de grau n - 1 que satisfazem

Lk(xj) = 1, se k = j 0, se  k j (6.27)

Assim, o polinômio p(x) de grau n - 1 que interpola os pontos dados, isto é, p(xj) = yj,j = 1,,n é dado por

p(x) = y1L1(x) + y2L2(x) + + ynLn(x) = k=1ny kLk(x). (6.28)

Para construir os polinômios de Lagrange, podemos analisar a sua forma fatorada, ou seja:

Lk(x) = ck j=1 ji n(x-x j) (6.29)

onde o coeficiente ck é obtido da condição Lk(xk) = 1:

Lk(xk) = ck j=1 ji n(x k-xj)ck = 1 j=1 ji n(x k - xj) (6.30)

Portanto,

Lk(x) = j=1 ji n (x - xj) (xk - xj) (6.31)

Observação 6.3.1. O problema de interpolação quando escrito usando como base os polinômios de Lagrange produz um sistema linear diagonal.

Exemplo 6.3.1. Encontre o polinômio da forma p(x) = a1 + a2x + a3x2 + a 4x3 que passa pelos pontos (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9).

Solução. Escrevemos: L1(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) (0 - 1)(0 - 2)(0 - 3) = -1 6x3 + x2 - 11 6 x + 1 (6.32) L2(x) = x(x - 2)(x - 3) 1(1 - 2)(1 - 3) = 1 2x3 - 5 2x2 + 3x (6.33) L3(x) = x(x - 1)(x - 3) 2(2 - 1)(2 - 3) = -1 2x3 + 2x2 - 3 2x (6.34) L4(x) = x(x - 1)(x - 2) 3(3 - 1)(3 - 2) = 1 6x3 - 1 2x2 + 1 3x (6.35)

Assim, temos:

P(x) = 0 L1(x) + 1 L2(x) + 4 L3(x) + 9 L4(x) = x2 (6.36)

Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 30/7/2018 às 13:16:34.

Informe erros ou edite você mesmo!