Polinômios de Lagrange

Cálculo Numérico - Versão Scilab

6.3 Polinômios de Lagrange

Outra maneira clássica de resolver o problema da interpolação polinomial é através dos polinômios de Lagrange. Dado um conjunto de pontos ${x_{j}}_{j = 1}^{n}$ distintos dois a dois, definimos os polinômios de Lagrange como os polinômios de grau $n - 1$ que satisfazem

L_{k} (x_{j}) = \{\begin{matrix} 1, & se k = j \\ 0, & se k \neq j \end{matrix}

(6.27)

Assim, o polinômio $p (x)$ de grau $n - 1$ que interpola os pontos dados, isto é, $p (x_{j}) = y_{j}, j = 1, \dots, n$ é dado por

p (x) = y_{1} L_{1} (x) + y_{2} L_{2} (x) + \dots + y_{n} L_{n} (x) = \sum_{k = 1}^{n} y_{k} L_{k} (x) .

(6.28)

Para construir os polinômios de Lagrange, podemos analisar a sua forma fatorada, ou seja:

L_{k} (x) = c_{k} \prod_{\begin{array}{c} j = 1 \\ j \neq i \end{array}}^{n} (x - x_{j})

(6.29)

onde o coeficiente $c_{k}$ é obtido da condição $L_{k} (x_{k}) = 1$ :

L_{k} (x_{k}) = c_{k} \prod_{\begin{array}{c} j = 1 \\ j \neq i \end{array}}^{n} (x_{k} - x_{j}) \Rightarrow c_{k} = \frac{1}{\prod_{\begin{array}{c} j = 1 \\ j \neq i \end{array}}^{n} (x_{k} - x_{j})}

(6.30)

Portanto,

L_{k} (x) = \prod_{\begin{array}{c} j = 1 \\ j \neq i \end{array}}^{n} \frac{(x - x_{j})}{(x_{k} - x_{j})}

(6.31)

Observação 6.3.1. O problema de interpolação quando escrito usando como base os polinômios de Lagrange produz um sistema linear diagonal.

Exemplo 6.3.1. Encontre o polinômio da forma $p (x) = a_{1} + a_{2} x + a_{3} x^{2} + a_{4} x^{3}$ que passa pelos pontos $(0, 0)$ , $(1, 1)$ , $(2, 4)$ , $(3, 9)$ .

Solução. Escrevemos: $\begin{array}{rcl} L_{1} (x) & = & \frac{(x - 1) (x - 2) (x - 3)}{(0 - 1) (0 - 2) (0 - 3)} = - \frac{1}{6} x^{3} + x^{2} - \frac{11}{6} x + 1 & (6.32) \\ L_{2} (x) & = & \frac{x (x - 2) (x - 3)}{1 (1 - 2) (1 - 3)} = \frac{1}{2} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 3 x & (6.33) \\ L_{3} (x) & = & \frac{x (x - 1) (x - 3)}{2 (2 - 1) (2 - 3)} = - \frac{1}{2} x^{3} + 2 x^{2} - \frac{3}{2} x & (6.34) \\ L_{4} (x) & = & \frac{x (x - 1) (x - 2)}{3 (3 - 1) (3 - 2)} = \frac{1}{6} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x & (6.35) \end{array}$

Assim, temos:

P (x) = 0 \cdot L_{1} (x) + 1 \cdot L_{2} (x) + 4 \cdot L_{3} (x) + 9 \cdot L_{4} (x) = x^{2}

(6.36)

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