9.1 Somas de Riemann

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O método mais simples de aproximar

$$I={\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx.$$

(9.8)

com apenas um intervalo, é aproximar $f\left(x\right)$ por um polinômio constante no intervalo $\left[a,b\right]$, ou seja, $f\left(x\right)=c$. Se aproximarmos $f\left(x\right)$ pelo ponto a esquerda do intervalo temos que $f\left(x\right)\approx f\left(a\right)$ e $$\begin{array}{rcll}I& =& {\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx& \text{(9.9)}\\ & \approx & {\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(a\right)dx& \text{(9.10)}\\ & =& f\left(a\right){\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}dx& \text{(9.11)}\\ & =& f\left(a\right)\left(b-a\right)& \text{(9.12)}\end{array}$$

Esta é a regra de quadratura local para $1$ intervalo.

Quando subdividimos $\left[a,b\right]$ em $n$ intervalos com tamanho $h=\left(b-a\right)∕n$ nos pontos $x_i=a+\left(i-1\right)h$ , em cada intervalo $i$ aproximamos a área por

$$\Delta S_i\approx f\left(x_i\right)h$$

(9.13)

tal que a área total será aproximada pelas somas de Riemann à esquerda

$$S=\sum _{i=1}^{n-1}\Delta S_i=\sum _{i=1}^{n-1}f\left(x_i\right)h$$

(9.14)

Podemos obter uma fórmula similar se usarmos os pontos a direita do intervalo, ou seja, as somas de Riemann à direita

$$S=\sum _{i=1}^{n-1}f\left(x_{i+1}\right)h$$

(9.15)

Uma terceira opção é utilizar o ponto médio do intervalo $\left[x_i,x_{i+1}\right]$ o qual fornece a regra do ponto médio

$$S=\sum _{i=1}^{n-1}f\left({\xi }_i\right)h,{\xi }_i=\frac{x_i+x_{i+1}}{2}.$$

(9.16)

Exercícios resolvidos

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Exercícios

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