Capítulo 9
Integração numérica

Neste capítulo discutiremos técnicas numéricas para aproximar integrais definidas de funções reais. Mais precisamente, considere o problema de calcular (ou aproximar) a integral de $f\left(x\right)$ no intervalo $\left[a,b\right]$, ou seja,

Geometricamente, $I$ corresponde a área¹ entre o gráfico de $f\left(x\right)$ e o eixo das abscissas (eixo $x$). Uma maneira de aproximar $I$ consiste em subdividir o intervalo $\left[a,b\right]$ em $n-1$ subintervalos a partir de um conjunto ordenado de pontos $a=x_1<x_2<...<x_n=b$. Então, temos:

Agora, supondo que o tamanho de cada cada subintervalo $h_i=x_{i+1}-x_i$ é suficientemente pequeno, podemos aproximar $f\left(x\right)$ no intervalo $\left(x_i,x_{i+1}\right)$ por $f\left(x_i^{\ast }\right)$ escolhendo arbitrariamente $x_i^{\ast }\in \left[x_i,x_{i+1}\right]$. Desta forma, temos

Isto é equivalente a aproximar a área entre o gráfico de $f\left(x\right)$ e o eixo $x$ restrito ao intervalo $\left[x_i,x_{i+1}\right]$ pelo retângulo de base $h_i$ e altura $f\left(x_i^{\ast }\right)$ (veja Figura 9.1). Consequentemente, de (9.2) temos $$\begin{array}{rcll}I& =& {\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx=\sum _{i=1}^{n-1}{\int \; <!--nolimits-->}_{x_i}^{x_{i+1}}f\left(x\right)dx& \text{(9.4)}\\ I& \approx & \sum _{i=1}^{n-1}f\left(x_i^{\ast }\right)h_i.& \text{(9.5)}\end{array}$$

Uma tal aproximação de uma integral definida

é chamada de quadratura numérica, onde os números $x_i$ denota seu $i$-ésimo ponto e $w_i$ seu $i$-ésimo peso. Nas próximas seções, mostraremos como obter diferentes quadraturas numéricas e discutiremos sobre suas características.