Iteração de ponto fixo

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Cálculo Numérico - Versão Scilab

3.3 Iteração de ponto fixo

Nesta seção, discutimos a abordagem da iteração do ponto fixo para a solução numérica de equações de uma variável real. Observamos que sempre podemos reescrever uma equação da forma $f (x) = 0$ (problema de encontrar os zeros de uma função) em uma equação equivalente na forma $g (x) = x$ (problema de ponto fixo). Um ponto $x = x^{*}$ tal que $g (x^{*}) = x^{*}$ é chamado de ponto fixo da função $g (x)$ . Geometricamente, um ponto fixo de uma função é um ponto de interseção entre a reta $y = x$ com o gráfico da função $g (x)$ (veja Figura 3.3).

Figura 3.3: Ponto fixo

g (x^{*}) = x^{*}

Exemplo 3.3.1. Resolver a equação $e^{x} = x + 2$ é equivalente a resolver $f (x) = 0$ , com $f (x) = e^{x} - x - 2$ . Estes são equivalentes a resolver $g (x) = x$ , com $g (x) = e^{x} - 2$ , isto é:

e^{x} = x + 2 \Leftrightarrow e^{x} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow e^{x} - 2 = x

(3.25)

Dada uma função $g (x)$ , a iteração do ponto fixo consiste em computar a seguinte sequência recursiva:

x^{(n + 1)} = g (x^{(n)}), n \geq 1,

(3.26)

onde $x^{(1)}$ é uma aproximação inicial do ponto fixo.

Exemplo 3.3.2 (Método babilônico). O método babilônico⁴ é de uma iteração de ponto fixo para extrair a raiz quadrada de um número positivo $A$ , isto é, resolver a equação $x^{2} = A$ .

Seja $r > 0$ uma aproximação para $\sqrt{A}$ . Temos três possibilidades:

$r > \sqrt{A} \Rightarrow \frac{A}{r} < \sqrt{A} \Rightarrow \sqrt{A} \in (\frac{A}{r}, r);$
$r = \sqrt{A} \Rightarrow \frac{A}{r} = \sqrt{A};$
$r < \sqrt{A} \Rightarrow \frac{A}{r} > \sqrt{A} \Rightarrow \sqrt{A} \in (r, \frac{A}{r}) .$

Ou seja, $\sqrt{A}$ sempre está no intervalo entre $r$ e $\frac{A}{r}$ , no qual podemos buscar uma nova aproximação como, por exemplo, pelo ponto médio:

x = \frac{r + \frac{A}{r}}{2} .

(3.27)

Aplicando esse método repetidas vezes, podemos construir a iteração (de ponto fixo): $\begin{array}{rcl} x^{(1)} & = & r & (3.28) \\ x^{(n + 1)} & = & \frac{x^{(n)}}{2} + \frac{A}{2 x^{(n)}}, n = 1, 2, 3, . . . & (3.29) \end{array}$

Por exemplo, para obter uma aproximação para $\sqrt{5}$ , podemos iniciar com a aproximação inicial $r = 2$ e $A = 5$ . Então, tomamos $x^{(1)} = 2$ e daí seguem as aproximações: $\begin{array}{rcl} x^{(2)} & = & \frac{2}{2} + \frac{2, 5}{2} = 2, 25 & (3.30) \\ x^{(3)} & = & \frac{2, 25}{2} + \frac{2, 5}{2, 25} = 2, 2361111 & (3.31) \\ x^{(4)} & = & \frac{2, 2361111}{2} + \frac{2, 5}{2, 2361111} = 2, 236068 & (3.32) \\ x^{(5)} & = & \frac{2, 236068}{2} + \frac{2, 5}{2, 236068} = 2, 236068 & (3.33) \end{array}$

O método babilônico sugere que a iteração do ponto fixo pode ser uma abordagem eficiente para a solução de equações. Ficam, entretanto, as seguintes perguntas:

1.: Será que a iteração do ponto fixo é convergente?
2.: Caso seja convergente, será que o limite da sequência produzida, isto é, $x^{*} : = lim_{n \to \infty} x^{(n)}$ é um ponto fixo?
3.: Caso seja convergente, qual é a taxa de convergência?

A segunda pergunta é a mais fácil de ser respondida. No caso de $g (x)$ ser contínua, se $x^{(n)} \to x^{*} \in Dom (g)$ , então:

x^{*} = lim_{n \to \infty} x^{(n)} = lim_{n \to \infty} g (x^{(n - 1)}) = g (lim_{n \to \infty} x^{(n - 1)}) = g (x^{*}) .

(3.34)

Antes de respondermos as outras perguntas acima, vejamos mais um exemplo.

Exemplo 3.3.3. Considere o problema de encontrar o zero da função $f (x) = x e^{x} - 10$ . Uma maneira geral de construir um problema de ponto fixo equivalente é o seguinte:

f (x) = 0 \Rightarrow α f (x) = 0 \Rightarrow x - α f (x) = x,

(3.35)

para qualquer parâmetro $α \neq 0$ . Consideremos, então, as seguintes duas funções:

g_{1} (x) = x - 0, 5 f (x) e g_{2} (x) = x - 0, 05 f (x) .

(3.36)

Notamos que o ponto fixo destas duas funções coincide com o zero de $f (x)$ . Construindo as iterações do ponto fixo:

x_{1}^{(n + 1)} = g_{1} (x_{1}^{(n)}) e x_{2}^{(n + 1)} = g_{2} (x_{2}^{(n)}),

(3.37)

tomando $x_{1}^{(1)} = x_{2}^{(1)} = 1, 7$ , obtemos os resultados apresentados na Tabela 3.2. Observamos que, enquanto, a iteração do ponto fixo com a função $g_{1} (x)$ ( $α = 0, 5$ ) parece divergir, a iteração com a função $g_{2} (x)$ ( $α = 0, 05$ ) parece convergir.

Tabela 3.2: Iterações do ponto fixo para o Exemplo 3.3.3.


$n$	$x_{1}^{(n)}$	$x_{2}^{(n)}$

$1$	$1, 700$	$1, 700$
$2$	$2, 047$	$1, 735$
$3$	$- 0, 8812$	$1, 743$
$4$	$4, 3013$	$1, 746$
$5$	$- 149, 4$	$1, 746$

No Scilab, podemos computar as iterações do ponto fixo $x^{(n + 1)} = g_{1} (x^{(n)})$ com o seguinte código:

--> deff(’y = f(x)’, ’y = x*exp(x)-10’)
--> deff(’y = g1(x)’, ’y = x - 0.5*f(x)’)
--> x = 1.7;
--> x = g1(x)
x =
2.0471
--> x = g1(x)
x =
-0.88119

e, assim, sucessivamente. Itere com a função $g_{2} (x)$ e verifique a convergência!

A fim de estudarmos a convergência da iteração do ponto fixo, apresentamos o teorema do ponto fixo.

3.3.1 Teorema do ponto fixo

O teorema do ponto fixo nos fornece condições suficientes para a existência e unicidade do ponto fixo, bem como para a convergência das iterações do método.

Definição 3.3.1. Uma contração é uma função real $g : [a, b] \to [a, b]$ tal que:

| g (x) - g (y) | \leq β | x - y |, 0 \leq β < 1 .

(3.38)

Observação 3.3.1. Seja $g : [a, b] \to [a, b]$ , y=g(x).

Se $g (x)$ é uma contração, então $g (x)$ função contínua.
Se $| g^{'} (x) | < k$ , $0 < k < 1$ , para todo $x \in [a, b]$ , então $g (x)$ é uma contração.

Teorema 3.3.1 (Teorema do ponto fixo). Se $g : [a, b] \to [a, b]$ é uma contração, então existe um único ponto $x^{*} \in [a, b]$ tal que $g (x^{*}) = x^{*}$ , isto é, $x^{*}$ é ponto fixo de $g (x)$ . Além disso, a sequência ${x^{(n)}}_{n \in ℕ}$ dada por:

x^{(n + 1)} = g (x^{(n)})

(3.39)

converge para $x^{*}$ para qualquer $x^{(1)} \in [a, b]$ .

Demonstração. Começamos demonstrando que existe pelo menos um ponto fixo. Para tal definimos a função

f (x) = x - g (x)

e observamos que:

f (a) = a - g (a) \leq a - a = 0

(3.40)

f (b) = b - g (b) \geq b - b = 0

(3.41)

Se $f (a) = a$ ou $f (b) = b$ , então o ponto fixo existe. Caso contrário, as desigualdades são estritas e a $f (x)$ muda de sinal no intervalo. Como esta função é contínua, pelo teorema de Bolzano 3.1.1, existe um ponto $x^{*}$ no intervalo $(a, b)$ tal que $f (x^{*}) = 0$ , ou seja, $g (x^{*}) = x^{*}$ . Isto mostra a existência.

Para provar que o ponto fixo é único, observamos que se $x^{*}$ e $x^{* *}$ são pontos fixos, eles devem ser iguais, pois:

| x^{*} - x^{* *} | = | g (x^{*}) - g (x^{* *}) | \leq β | x^{*} - x^{* *} | .

(3.42)

A desigualdade $| x^{*} - x^{* *} | \leq β | x^{*} - x^{* *} |$ com $0 \leq β < 1$ implica $| x^{*} - x^{* *} | = 0$ .

Para demonstrar a convergência da sequência, observamos que:

| x^{(n + 1)} - x^{*} | = | g (x^{(n)}) - x^{*} | = | g (x^{(n)}) - g (x^{*}) | \leq β | x^{(n)} - x^{*} | .

(3.43)

Daí, temos:

| x^{(n)} - x^{*} | \leq β | x^{(n - 1)} - x^{*} | \leq β^{2} | x^{(n - 2)} - x^{*} | \leq \dots \leq β^{n} | x^{(0)} - x^{*} | .

(3.44)

Portanto, como $0 \leq β < 1$ , temos:

lim_{n \to \infty} | x^{(n)} - x^{*} | = 0,

(3.45)

ou seja, $x^{(n)} \to x^{*}$ quando $n \to \infty$ .

$■$

Observação 3.3.2. Do teorema do ponto fixo, temos que se $g (x)$ é uma contração com constante $0 \leq β < 1$ , então:

| x^{(n + 1)} - x^{*} | \leq β | x^{(n)} - x^{*} |, n \geq 1 .

(3.46)

Isto é, as iterações do ponto fixo têm taxa de convergência linear.

Exemplo 3.3.4. Mostre que o teorema do ponto fixo se aplica a função $g (x) = cos (x)$ no intervalo $[1 ∕ 2, 1]$ , isto é, a iteração de ponto fixo converge para a solução da equação $cos x = x$ . Então, calcule as iterações do ponto fixo com aproximação inicial $x^{(1)} = 0, 7$ , estime o erro absoluto da aproximação e verifique a taxa de convergência.

Solução. Basta mostrarmos que:

a): $g ([1 ∕ 2, 1]) \subseteq [1 ∕ 2, 1]$ ;
b): $| g^{'} (x) | < β, 0 < β < 1, \forall x \in [1 ∕ 2, 1]$ .

Para provar a), observamos que $g (x)$ é decrescente no intervalo, pelo que temos:

0, 54 < cos (1) \leq cos (x) \leq cos (1 ∕ 2) < 0, 88

(3.47)

Como $[0, 54, 0, 88] \subseteq [0, 5, 1]$ , temos o item a).

Para provar o item b), observamos que:

g^{'} (x) = - sen (x) .

(3.48)

Da mesma forma, temos a estimativa:

- 0, 85 < - sen (1) \leq - sen (x) \leq - sen (1 ∕ 2) < - 0, 47 .

(3.49)

Assim, $| g^{'} (x) | < 0, 85$ e temos a desigualdade com $β = 0, 85 < 1$ .


$n$	$x^{(n)}$	$ϵ_{n} : = \| x^{(n)} - x^{*} \|$

$1$	$0, 70000$	$3, 9 E - 02$
$2$	$0, 76484$	$2, 6 E - 02$
$3$	$0, 72149$	$1, 8 E - 02$
$4$	$0, 75082$	$1, 2 E - 02$
$5$	$0, 73113$	$8, 0 E - 03$
$6$	$0, 74442$	$5, 3 E - 03$
$7$	$0, 73548$	$3, 6 E - 03$

Tabela 3.3: Iteração do ponto fixo para o Exemplo 3.3.4.

A Tabela 3.3 apresenta o comportamento numérico da iteração do ponto fixo: $\begin{array}{rcl} x^{(1)} & = & 0, 7 & (3.50) \\ x^{(n + 1)} & = & cos (x^{(n)}), n \geq 1 . & (3.51) \end{array}$

Para estimar o erro, consideramos $x^{*} = 0, 7390851605$ . A Figura 3.4 mostrar o decaimento do erro $ϵ_{n} = | x^{(n)} - x^{*} |$ comparado com a taxa de convergência linear com $β = 0, 85$ .

Figura 3.4: Decaimento do erro

ϵ_{n} = | x^{(n)} - x^{*} |

da iteração do ponto fixo estudada no Exemplo 3.3.4.

No Scilab, podemos computar estas iterações e o erro absoluto com o seguinte código:

//est. da solucao
deff(’y = f(x)’, ’y = cos(x)-x’)
xe = fsolve(0.7, f)

#funcao do pto. fixo
deff(’y = g(x)’, ’y = cos(x)’)

#aprox. inicial
x0 = 0.7
eps = abs(x0-xe)
disp([x0, eps])

for i=2:7
  x = g(x0)
  eps = abs(x-xe)
  disp([x, eps])
  x0 = x
end

$♢$

3.3.2 Teste de convergência

Seja $g : [a, b] \to ℝ$ uma função $C^{0} [a, b]$ e $x^{*} \in (a, b)$ um ponto fixo de $g$ . Então $x^{*}$ é dito estável se existe uma região $(x^{*} - δ, x^{*} + δ)$ chamada bacia de atração tal que $x^{(n + 1)} = g (x^{(n)})$ é convergente sempre que $x^{(0)} \in (x^{*} - δ, x^{*} + δ)$ .

Proposição 3.3.1 (Teste de convergência). Se $g \in C^{1} [a, b]$ e $| g^{'} (x^{*}) | < 1$ , então $x^{*}$ é estável. Se $| g^{'} (x^{*}) | > 1$ é instável e o teste é inconclusivo quando $| g^{'} (x^{*}) | = 1$ .

Figura 3.5: Ilustração das iterações do ponto fixo para: (esquerda)

y = g_{1} (x)

e (direita)

y = g_{2} (x)

. Veja Exemplo 3.3.5.

Exemplo 3.3.5. No Exemplo 3.3.3, observamos que a função $g_{1} (x)$ nos forneceu uma iteração divergente, enquanto que a função $g_{2} (x)$ forneceu uma iteração convergente (veja a Figura 3.5. Estes comportamentos são explicados pelo teste da convergência. Com efeito, sabemos que o ponto fixo destas funções está no intervalo $[1, 6, 1, 8]$ e temos:

| g_{1}^{'} (x) | = | 1 - 0, 5 (x + 1) e^{x} | > 4, 8, \forall x \in [1, 6, 1, 8],

(3.52)

enquanto:

| g_{2}^{'} (x) | = | 1 - 0, 05 (x + 1) e^{x} | < 0, 962, \forall x \in [1, 6, 1, 8] .

(3.53)

3.3.3 Estabilidade e convergência

A fim de compreendermos melhor os conceitos de estabilidade e convergência, considere uma função $Φ (x)$ com um ponto fixo $x^{*} = g (x^{*})$ e analisemos o seguinte processo iterativo: $\begin{array}{rcl} x^{(n + 1)} & = & g (x^{(n)}) & (3.54) \\ x^{(0)} & = & x & (3.55) \end{array}$

Vamos supor que a função $g (x)$ pode ser aproximada por seu polinômio de Taylor em torno do ponto fixo: $\begin{array}{rcl} g (x) & = & g (x^{*}) + (x - x^{*}) g^{'} (x^{*}) + O ({(x - x^{*})}^{2}), n \geq 0 & (3.56) \\ = & x^{*} + (x - x^{*}) g^{'} (x^{*}) + O ({(x - x^{*})}^{2}) & (3.57) \\ \approx & x^{*} + (x - x^{*}) g^{'} (x^{*}) & (3.58) \end{array}$

Substituindo na relação de recorrência, temos

x^{(n + 1)} = g (x^{(n)}) \approx x^{*} + (x^{(n)} - x^{*}) g^{'} (x^{*})

(3.59)

Ou seja:

(x^{(n + 1)} - x^{*}) \approx (x^{(n)} - x^{*}) g^{'} (x^{*})

(3.60)

Tomando módulos, temos:

\underset{ϵ_{n + 1}}{\underset{︸}{|x^{(n + 1)} - x^{*}|}} \approx \underset{ϵ_{n}}{\underset{︸}{|x^{(n)} - x^{*}|}} |g^{'} (x^{*})|,

(3.61)

onde $ϵ_{n} = |x^{(n)} - x^{*}|$ .

Observação 3.3.3. Da análise acima, concluímos:

Se $| g^{'} (x^{*}) | < 1$ , então, a distância de $x^{(n)}$ até o ponto fixo $x^{*}$ está diminuindo a cada passo.
Se $| g^{'} (x^{*}) | > 1$ , então, a distância de $x^{(n)}$ até o ponto fixo $x^{*}$ está aumentando a cada passo.
Se $| g^{'} (x^{*}) | = 1$ , então, nossa aproximação de primeira ordem não é suficiente para compreender o comportamento da sequência.

3.3.4 Erro absoluto e tolerância

Na prática, quando se aplica uma iteração como esta, não se conhece de antemão o valor do ponto fixo $x^{*}$ . Assim, o erro $ϵ_{n} = |x^{(n)} - x^{*}|$ precisa ser estimado com base nos valores calculados $x^{(n)}$ . Uma abordagem frequente é analisar a evolução da diferença entre dois elementos da sequência:

Δ_{n} = |x^{(n + 1)} - x^{(n)}|

(3.62)

A pergunta natural é: Será que o erro $ϵ_{n} = |x^{(n)} - x^{*}|$ será pequeno quando $Δ_{n} = |x^{(n + 1)} - x^{(n)}|$ for pequeno?

Para responder a esta pergunta, observamos que

x^{*} = lim_{n \to \infty} x^{(n)}

(3.63)

portanto: $\begin{array}{rcl} x^{*} - x^{(N)} & = & (x^{(N + 1)} - x^{(N)}) + (x^{(N + 2)} - x^{(N + 1)}) + (x^{(N + 3)} - x^{(N + 2)}) + \dots & (3.64) \\ = & \sum_{k = 0}^{\infty} (x^{(N + k + 1)} - x^{(N + k)}) & (3.65) \end{array}$

Usamos também as expressões: $\begin{array}{rcl} x^{(n + 1)} & \approx & x^{*} + (x^{(n)} - x^{*}) g^{'} (x^{*}) & (3.66) \\ x^{(n)} & \approx & x^{*} + (x^{(n - 1)} - x^{*}) g^{'} (x^{*}) & (3.67) \end{array}$

Subtraindo uma da outra, temos: $\begin{array}{rcl} x^{(n + 1)} - x^{(n)} & \approx & (x^{(n)} - x^{(n - 1)}) g^{'} (x^{*}) & (3.68) \end{array}$

Portanto: $\begin{array}{rcl} x^{(N + k + 1)} - x^{(N + k)} & \approx & (x^{(N + 1)} - x^{(N)}) {(g^{'} (x^{*}))}^{k} & (3.69) \end{array}$

E temos: $\begin{array}{rcl} x^{*} - x^{(N)} & = & \sum_{k = 0}^{\infty} (x^{(N + k + 1)} - x^{(N + k)}) & (3.70) \\ \approx & \sum_{k = 0}^{\infty} (x^{(N + 1)} - x^{(N)}) {(g^{'} (x^{*}))}^{k} & (3.71) \\ = & (x^{(N + 1)} - x^{(N)}) \frac{1}{1 - g^{'} (x^{*})}, |g^{'} (x^{*})| < 1 & (3.72) \end{array}$

Tomando módulo, temos: $\begin{array}{rcl} |x^{*} - x^{(N)}| & \approx & |x^{(N + 1)} - x^{(N)}| \frac{1}{1 - g^{'} (x^{*})} & (3.73) \\ ϵ_{N} & \approx & \frac{Δ_{N}}{1 - g^{'} (x^{*})} & (3.74) \end{array}$

Observação 3.3.4. Tendo em mente a relação $x^{(n + 1)} - x^{(n)} \approx (x^{(n)} - x^{(n - 1)}) g^{'} (x^{*})$ , concluímos:

Quando $g^{'} (x^{*}) < 0$ , o esquema é alternante, isto é, o sinal do erro se altera a cada passo. O erro $ϵ_{N}$ pode ser estimado diretamente da diferença $Δ_{N}$ , pois o denominador $1 - g^{'} (x^{*}) > 1$ .
Quando $0 < g^{'} (x^{*}) < 1$ , o esquema é monótono e $\frac{1}{1 - g^{'} (x^{*})} > 1$ , pelo que o erro $ϵ_{N}$ é maior que a diferença $Δ_{N}$ . A relação será tão mais importante quando mais próximo da unidade for $g^{'} (x^{*})$ , ou seja, quando mais lenta for a convergência. Para estimar o erro em função da diferença $Δ_{N}$ , observamos que $g^{'} (x^{*}) \approx \frac{x^{(n + 1)} - x^{(n)}}{x^{(n)} - x^{(n - 1)}}$ e
$|g^{'} (x^{*})| \approx \frac{Δ_{n}}{Δ_{n - 1}}$ (3.75)

e portanto
$ϵ_{N} \approx \frac{Δ_{N}}{1 - \frac{Δ_{n}}{Δ_{n - 1}}} .$ (3.76)

Exercícios

E 3.3.1. Resolver a equação $e^{x} = x + 2$ é equivalente a calcular os pontos fixos da função $g (x) = e^{x} - 2$ (veja o Exemplo 3.3.1). Use a iteração do ponto fixo $x^{(n + 1)} = g (x^{n})$ com $x^{(1)} = - 1, 8$ para obter uma aproximação de uma das soluções da equação dada com $8$ dígitos significativos.

Resposta.

- 1, 8414057

E 3.3.2. Mostre que a equação:

cos (x) = x

(3.77)

possui uma única solução no intervalo $[0, 1]$ . Use a iteração do ponto fixo e encontre uma aproximação para esta solução com 4 dígitos significativos.

Resposta.

$0, 7391$

E 3.3.3. Mostre que a equação $x e^{x} = 10$ é equivalente às seguintes equações:

x = ln (\frac{10}{x}) e x = 10 e^{- x} .

(3.78)

Destas, considere as seguintes iterações de ponto fixo:

a): $x^{(n + 1)} = ln (\frac{10}{x^{(n)}})$
b): $x^{(n + 1)} = 10 e^{- x^{(n)}}$

Tomando $x^{(1)} = 1$ , verifique se estas sequências são convergentes.

Resposta.

Tomemos $x^{(1)} = 1$ como aproximação inicial para a solução deste problema, iterando a primeira sequência a), obtemos: $\begin{array}{rcl} x^{(1)} & = & 1 & (3.79) \\ x^{(2)} & = & ln (\frac{10}{1}) = 2, 3025851 & (3.80) \\ x^{(3)} & = & ln (\frac{10}{2, 3025851}) = 1, 4685526 & (3.81) \\ ⋮ & (3.82) \\ x^{(21)} & = & 1, 7455151 & (3.83) \\ x^{(31)} & = & 1, 745528 & (3.84) \\ x^{(32)} & = & 1, 745528 & (3.85) \end{array}$

Iterando a segunda sequência b), obtemos: $\begin{array}{rcl} x^{(1)} & = & 1 & (3.86) \\ x^{(2)} & = & 10 e^{- 1} = 3, 6787944 & (3.87) \\ x^{(3)} & = & 10 e^{- 3, 6787944} = 0, 2525340 & (3.88) \\ x^{(4)} & = & 10 e^{- 0, 2525340} = 7, 7682979 & (3.89) \\ x^{(5)} & = & 10 e^{- 7, 7682979} = 0, 0042293 & (3.90) \\ x^{(6)} & = & 10 e^{- 0, 0042293} = 9, 9577961 & (3.91) \end{array}$

Este experimento numérico sugere que a iteração a) converge para $1, 745528$ e a iteração b) não é convergente.

E 3.3.4. Verifique (analiticamente) que a única solução real da equação:

x e^{x} = 10

(3.92)

é ponto fixo das seguintes funções:

$g (x) = ln (\frac{10}{x})$
$g (x) = x - \frac{x e^{x} - 10}{15}$
$g (x) = x - \frac{x e^{x} - 10}{10 + e^{x}}$

Implemente o processo iterativo $x^{(n + 1)} = g (x^{(n)})$ para $n \geq 0$ e compare o comportamento. Discuta os resultados com base na teoria estudada.

E 3.3.5. Verifique (analiticamente) que a única solução real da equação:

cos (x) = x

(3.93)

é ponto fixo das seguintes funções:

$g (x) = cos (x)$
$g (x) = 0, 4 x + 0, 6 cos (x)$
$g (x) = x + \frac{cos (x) - x}{1 + sen (x)}$

Implemente o processo iterativo $x^{(n + 1)} = g (x^{(n)})$ para $n \geq 0$ e compare o comportamento. Discuta os resultados com base na teoria estudada.

E 3.3.6. Encontre a solução de cada equação com erro absoluto inferior a $1 0^{- 6}$ .

$e^{x} = x + 2$ no intervalo $(- 2, 0)$ .
$x^{3} + 5 x^{2} - 12 = 0$ no intervalo $(1, 2)$ .
$\sqrt{x} = cos (x)$ no intervalo $(0, 1)$ .

E 3.3.7. Encontre numericamente as três primeiras raízes positivas da equação dada por:

cos (x) = \frac{x}{10 + x^{2}}

(3.94)

com erro absoluto inferior a $1 0^{- 6}$ .

Resposta.

x_{1} \approx 1, 4506619

x_{2} \approx 4, 8574864

x_{3} = 7, 7430681

E 3.3.8. Considere os seguintes processos iterativos:

\begin{matrix} a \{\begin{matrix} x^{(n + 1)} & = & cos (x^{(n)}) \\ x^{(1)} & = & . 5 \end{matrix} \\ e \\ b \{\begin{matrix} x^{(n + 1)} & = & . 4 x^{(n)} + . 6 cos (x^{(n)}) \\ x^{(1)} & = & . 5 \end{matrix} \end{matrix}

(3.95)

Use o teorema do ponto fixo para verificar que cada um desses processos converge para a solução da equação $x^{*}$ de $cos (x) = x$ . Observe o comportamento numérico dessas sequências. Qual estabiliza mais rápido com cinco casas decimais? Discuta.

Dica: Verifique que $cos ([0.5, 1]) \subseteq [0.5, 1]$ e depois a mesma identidade para a função $f (x) = 0, 4 x + 0, 6 cos (x)$ .

E 3.3.9. Use o teorema do ponto fixo aplicado a um intervalo adequado para mostrar que a função $g (x) = ln (100 - x)$ possui um ponto fixo estável.

E 3.3.10. (Fluidos) Na hidráulica, o fator de atrito de Darcy é dado pela implicitamente pela equação de Colebrook-White:

\frac{1}{\sqrt{f}} = - 2 {log}_{10} (\frac{ε}{14.8 R_{h}} + \frac{2.51}{R e \sqrt{f}})

(3.96)

onde $f$ é o fator de atrito, $ε$ é a rugosidade do tubo em metros, $R_{h}$ é o raio hidráulico em metros e $R e$ é o número de Reynolds. Considere $ε = 2 m m$ , $R_{h} = 5 c m$ e $R e = 10000$ e obtenha o valor de $f$ pela iteração:

x^{(n + 1)} = - 2 {log}_{10} (\frac{ε}{14.8 R_{h}} + \frac{2.51 x^{(n)}}{R e})

(3.97)

Resposta.

$0.0431266$

E 3.3.11. Encontre uma solução aproximada para a equação algébrica

180 - 100 x = 0.052 senh^{- 1} (1 0^{13} x)

(3.98)

com erro absoluto inferior a $1 0^{- 3}$ usando um método iterativo. Estime o erro associado ao valor de $v = 180 - 100 x = 0.052 senh^{- 1} (1 0^{13} x)$ , usando cada uma dessas expressões. Discuta sucintamente o resultado obtido. Dica: Este caso é semelhante ao Problema 3.2.8.

E 3.3.12. Considere que $x_{n}$ satisfaz a seguinte relação de recorrência:

x_{n + 1} = x_{n} - β (x_{n} - x^{*})

(3.99)

onde $β$ e $x^{*}$ são constantes. Prove que

x_{n} - x^{*} = {(1 - β)}^{n - 1} (x_{1} - x^{*}) .

(3.100)

Conclua que $x_{n} \to x^{*}$ quando $| 1 - β | < 1$ .

E 3.3.13. (Convergência lenta) Considere o seguinte esquema iterativo: $\begin{array}{rcl} x^{(n + 1)} & = & x_{n} + q^{n}, & (3.101) \\ x^{(0)} & = & 0, & (3.102) \end{array}$

onde $q = 1 - 1 0^{- 6}$ .

Calcule o limite

x_{\infty} = lim_{n \to \infty} x^{(n)}

(3.103)

analiticamente.

Considere que o problema de obter o limite da sequência numericamente usando como critério de parada que $| x^{(n + 1)} - x^{(n)} | < 1 0^{- 5}$ . Qual o valor é produzido pelo esquema numérico? Qual o desvio entre o valor obtido pelo esquema numérico e o valor do limite obtido no item a? Discuta. (Dica: Você não deve implementar o esquema iterativo, obtendo o valor de $x^{(n)}$ analiticamente)
Qual deve ser a tolerância especificada para obter o resultado com erro relativo inferior a $1 0^{- 2}$ ?

E 3.3.14. (Convergência sublinear) Considere o seguinte esquema iterativo:

x^{(n + 1)} = x^{(n)} - {[x^{(n)}]}^{3}, x^{(n)} \geq 0

(3.104)

com $x^{(0)} = 1 0^{- 2}$ . Prove que ${x^{(n)}}$ é sequência de número reais positivos convergindo para zero. Verifique que são necessários mais de mil passos para que $x^{(n)}$ se torne menor que $0.9 x^{(0)}$ .

E 3.3.15. (Taxa de convergência)

Use o teorema do ponto fixo para mostrar que a função $g (x) = 1 - sen (x)$ possui um único ponto fixo estável o intervalo $[\frac{1}{10}, 1]$ . Construa um método iterativo $x^{(n + 1)} = g (x^{(n)})$ para encontrar esse ponto fixo. Use o computador para encontrar o valor numérico do ponto fixo.
Verifique que função $ψ (x) = \frac{1}{2} [x + 1 - sen (x)]$ possui um ponto fixo $x^{*}$ que também é o ponto fixo da função $g$ do item a. Use o computador para encontrar o valor numérico do ponto fixo através da iteração $x^{(n + 1)} = ψ (x^{(n)})$ . Qual método é mais rápido?

E 3.3.16. (Esquemas oscilantes)(Esquemas oscilantes)

Considere a função $g (x)$ e a função composta $ψ (x) = g \circ g = g (g (x))$ . Verifique todo ponto fixo de $g$ também é ponto fixo de $ψ$ .
Considere a função
$g (x) = 10 exp (- x)$ (3.105)

e a função composta $ψ (x) = g \circ g = g (g (x))$ . Mostre que $ψ$ possui dois pontos fixos que não são pontos fixos de $g$ .
No problema anterior, o que acontece quando o processo iterativo $x^{(n + 1)} = g (x^{(n)})$ é inicializado com um ponto fixo de $ψ$ que não é ponto fixo de $g$ ?

E 3.3.17. (Aceleração de convergência - introdução ao método de Newton) Mostre que se $f (x)$ possui uma raiz $x^{*}$ então a $x^{*}$ é um ponto fixo de $ϕ (x) = x + γ (x) f (x)$ . Encontre uma condição em $γ (x)$ para que o ponto fixo $x^{*}$ de $ϕ$ seja estável. Encontre uma condição em $γ (x)$ para que $ϕ^{'} (x^{*}) = 0$ .

E 3.3.18. (Aceleração de convergência - introdução ao método de Newton) Considere que $x^{(n)}$ satisfaz a seguinte relação de recorrência:

x^{(n + 1)} = x^{(n)} - γ f (x^{(n)})

(3.106)

onde $γ$ é uma constante. Suponha que $f (x)$ possui um zero em $x^{*}$ . Aproxime a função $f (x)$ em torno de $x^{*}$ por

f (x) = f (x^{*}) + f^{'} (x^{*}) (x - x^{*}) + O ({(x - x^{*})}^{2}) .

(3.107)

Em vista do problema anterior, qual valor de $γ$ você escolheria para que a sequência $x^{(n)}$ convirja rapidamente para $x^{*}$ .

E 3.3.19. Considere o problema da Questão 3.2.8 e dois seguintes esquemas iterativos.

\begin{matrix} A \{\begin{matrix} I^{(n + 1)} = \frac{1}{R} [V - v_{t} ln (1 + \frac{I^{(n)}}{I_{R}})], n > 0 \\ I^{(0)} = 0 \end{matrix} \\ e \\ B \{\begin{matrix} I^{(n + 1)} = I_{R} [exp (\frac{V - R I^{(n)}}{v_{t}}) - 1], n > 0 \\ I^{(0)} = 0 \end{matrix} \end{matrix}

(3.108)

Verifique numericamente que apenas o processo A é convergente para a, b e c; enquanto apenas o processo B é convergente para os outros itens.

Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 19/8/2020 às 17:36:32.

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