Exercícios finais

Cálculo Numérico - Versão Scilab

4.9 Exercícios finais

E 4.9.1. O circuito linear da Figura 4.9.1 pode ser modelado pelo sistema dado a seguir. Escreva esse sistema na forma matricial sendo as tensões $V_{1}$ , $V_{2}$ , $V_{3}$ , $V_{4}$ e $V_{5}$ as cinco incógnitas. Resolva esse problema quando $V = 127$ e

$R_{1} = R_{2} = R_{3} = R_{4} = 2$ e $R_{5} = R_{6} = R_{7} = 100$ e $R_{8} = 50$
$R_{1} = R_{2} = R_{3} = R_{4} = 2$ e $R_{5} = 50$ e $R_{6} = R_{7} = R_{8} = 100$

\begin{array}{rcl} V_{1} & = & V & (4.325) \\ \frac{V_{1} - V_{2}}{R_{1}} + \frac{V_{3} - V_{2}}{R_{2}} - \frac{V_{2}}{R_{5}} & = & 0 & (4.326) \\ \frac{V_{2} - V_{3}}{R_{2}} + \frac{V_{4} - V_{3}}{R_{3}} - \frac{V_{3}}{R_{6}} & = & 0 & (4.327) \\ \frac{V_{3} - V_{4}}{R_{3}} + \frac{V_{5} - V_{4}}{R_{4}} - \frac{V_{4}}{R_{7}} & = & 0 & (4.328) \\ \frac{V_{4} - V_{5}}{R_{4}} - \frac{V_{5}}{R_{8}} & = & 0 & (4.329) \end{array}

Complete a tabela abaixo representado a solução com 4 algarismos significativos:


Caso	$V_{1}$	$V_{2}$	$V_{3}$	$V_{4}$	$V_{5}$

a

b

Então, refaça este problema reduzindo o sistema para apenas 4 incógnitas ( $V_{2}$ , $V_{3}$ , $V_{4}$ e $V_{5}$ ).

Resposta. a)

V_{5} = 98.44 V

V_{5} = 103.4 V

O problema com cinco incógnitas pode ser escrito na forma matricial conforme a seguir:

$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{R_{1}} & - (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{5}}) & \frac{1}{R_{2}} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{R_{2}} & - (\frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} + \frac{1}{R_{6}}) & \frac{1}{R_{3}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{R_{3}} & - (\frac{1}{R_{3}} + \frac{1}{R_{4}} + \frac{1}{R_{7}}) & \frac{1}{R_{4}} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{R_{4}} & - (\frac{1}{R_{4}} + \frac{1}{R_{8}}) \end{matrix}] [\begin{matrix} V_{1} \\ V_{2} \\ V_{3} \\ v_{4} \\ V_{5} \end{matrix}] = [\begin{matrix} V \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]$	(4.330)

Este problema pode ser implementado no Scilab (para o item a) com o seguinte código:

R1=2, R2=2, R3=2, R4=2, R5=100, R6=100, R7=100, R8=50, V=127

A=[1      0                  0                  0                 0;
   1/R1  -(1/R1+1/R2+1/R5)   1/R2               0                 0;
   0      1/R2              -(1/R2+1/R3+1/R6)   1/R3              0;
   0      0                  1/R3             -(1/R3+1/R4+1/R7)   1/R4;
   0      0                  0                  1/R4             -(1/R4+1/R8)]
v=[V; 0; 0; 0; 0]
y=A\v

O problema com quatro incógnitas pode ser escrito na forma matricial conforme a seguir:

$[\begin{matrix} - (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{5}}) & \frac{1}{R_{2}} & 0 & 0 \\ \frac{1}{R_{2}} & - (\frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} + \frac{1}{R_{6}}) & \frac{1}{R_{3}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{R_{3}} & - (\frac{1}{R_{3}} + \frac{1}{R_{4}} + \frac{1}{R_{7}}) & \frac{1}{R_{4}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{R_{4}} & - (\frac{1}{R_{4}} + \frac{1}{R_{8}}) \end{matrix}] [\begin{matrix} V_{2} \\ V_{3} \\ v_{4} \\ V_{5} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - \frac{V}{R 1} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]$	(4.331)

Cuja implementação pode ser feita conforme

A=[  -(1/R1+1/R2+1/R5)    1/R2               0                 0;
       1/R2              -(1/R2+1/R3+1/R6)   1/R3              0;
       0                  1/R3             -(1/R3+1/R4+1/R7)   1/R4;
       0                  0                  1/R4             -(1/R4+1/R8)]

v=[-V/R1; 0; 0; 0]
y=A\v

E 4.9.2. Resolva o Problema 4.9.1 pelos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel.

E 4.9.3. (Interpolação) Resolva os seguintes problemas:

Encontre o polinômio $P (x) = a x^{2} + b x + c$ que passa pelos pontos $(- 1, - 3)$ , $(1, - 1)$ e $(2, 9)$ .
Encontre os coeficientes $A$ e $B$ da função $f (x) = A sen (x) + B cos (x)$ tais que $f (1) = 1.4$ e $f (2) = 2.8$ .
Encontre a função $g (x) = A_{1} sen (x) + B_{1} cos (x) + A_{2} sen (2 x) + B_{2} cos (2 x)$ tais que $f (1) = 1$ , $f (2) = 2$ , $f (3) = 3$ e $f (4) = 4$ .

Resposta. Dica:

P (- 1) = - 3

P (1) = - 1

P (2) = 9

produzem três equações lineares para os coeficientes

a

b

c

. Resp: a)

P (x) = 3 x^{2} + x - 5

, b)

A \approx 2.49

B \approx - 1.29

A_{1} \approx 1.2872058

A_{2} \approx - 4.3033034

B_{1} \approx 2.051533

B_{2} \approx - 0.9046921

Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 19/8/2020 às 17:36:32.

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