E 8.6.1. Escreva um programa que copia o conteúdo de um arquivo para outro arquivo. Faça versões que lê e escreve arquivo de texto e arquivo binário.

E 8.6.2. Abra o gedit e escreva o seguinte arquivo:

Salve o arquivo com um nome de sua preferência. Agora escreve um programa para ler o arquivo e escrever na tela o seguinte resultado:

E 8.6.3. Faça um programa que lê um arquivo binário e escreve o menor e o maior número na tela.

E 8.6.4. Faça um programa que entra uma ou duas strings na linha de comando, sendo uma delas sempre o nome de um arquivo binário que será lido. O código vai somar os números lidos. Se entrar duas strings, uma será o nome do arquivo e a outra terá três opções: -p soma apenas os pares, -i soma apenas os ímpares e -t soma todos. Se entrar apenas uma string a resposta do programa será a mesma de -t.

E 8.6.5. Resolva novamente o exercício 6.7.8 usando a seguinte estratégia:

• Resolva primeiro o problema linear $$\left\{\begin{array}{c}-u_{xx}=100,0<x<2.\hfill \\ u\left(0\right)=0\hfill \\ u\left(2\right)=10\hfill \end{array}\right.$$

  e salve a solução em arquivo binário.

• Leia a solução do item anterior e use-a como chute inicial para o problema não linear $$\left\{\begin{array}{c}-u_{xx}=100-\frac{u^4}{10000},0<x<2.\hfill \\ u\left(0\right)=0\hfill \\ u\left(2\right)=10\hfill \end{array}\right.$$

  Salve a solução em arquivo e use-a para fazer gráfico no scilab.

E 8.6.6. Resolva novamente os exercícios 6.7.13 e 6.7.14, imprima a solução em arquivo e faça o gráfico no scilab.

E 8.6.7. (Ajuste linear - mínimos quadrados)

Dada $m$ funções $\left\{f_1\left(x\right),f_2\left(x\right),\dots ,f_m\left(x\right)\right\}$ e um conjunto de $n$ pares ordenados $\{\left(x_1,y_1\right)$, $\left(x_2,y_2\right)$, $\dots$, $\left(x_n,y_n\right)\}$, o problema de mínimos quadrados linear consiste em calcular os coeficientes $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_m$ tais que a função dada por

minimiza o resíduo

Aqui, a minimização é feita por todas as possíveis escolhas dos coeficientes $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_m$. Esse problema é equivalente a encontrar a solução o sistema $Ma=w$, onde a matriz $M$ é dada por: $$\begin{array}{rcll}M=\left[\begin{array}{cccc}\hfill \sum _{i=1}^n{f}_1{\left(x_i\right)}^2\hfill & \hfill \sum _{i=1}^n{f}_2\left(x_i\right)f_1\left(x_i\right)\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill \sum _{i=1}^n{f}_m\left(x_i\right)f_1\left(x_i\right)\hfill \\ \hfill \sum _{i=1}^n{f}_1\left(x_i\right)f_2\left(x_i\right)\hfill & \hfill \sum _{i=1}^n{f}_2{\left(x_i\right)}^2\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill \sum _{i=1}^n{f}_m\left(x_i\right)f_2\left(x_i\right)\hfill \\ \hfill \sum _{i=1}^n{f}_1\left(x_i\right)f_3\left(x_i\right)\hfill & \hfill \sum _{i=1}^n{f}_2\left(x_i\right)f_3\left(x_i\right)\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill \sum _{i=1}^n{f}_m\left(x_i\right)f_3\left(x_i\right)\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \ddots \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill \sum _{i=1}^n{f}_1\left(x_i\right)f_m\left(x_i\right)\hfill & \hfill \sum _{i=1}^n{f}_2\left(x_i\right)f_m\left(x_i\right)\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill \sum _{i=1}^n{f}_m{\left(x_i\right)}^2\hfill \end{array}\right].& & & \end{array}$$

e os vetores $a$ e $w$ são dados por $$\begin{array}{rcll}a=\left[\begin{array}{c}\hfill a_1\hfill \\ \hfill a_2\hfill \\ \hfill ⋮\hfill \\ \hfill a_m\hfill \end{array}\right]\text{e}w=\left[\begin{array}{c}\hfill \sum _{i=1}^n{f}_1\left(x_i\right)y_i\hfill \\ \hfill \sum _{i=1}^n{f}_2\left(x_i\right)y_i\hfill \\ \hfill \sum _{i=1}^n{f}_3\left(x_i\right)y_i\hfill \\ \hfill ⋮\hfill \\ \hfill \sum _{i=1}^n{f}_m\left(x_i\right)y_i\hfill \end{array}\right].& & & \end{array}$$

Mais simplificadamente, observamos que $M=V^{T}V$ e $w=V^{T}y$, onde a matriz $V$ é dada por:

e $y$ é o vetor coluna $y=\left(y_1,y_2,\dots ,y_N\right)$. Assim, o problema de ajuste se reduz a resolver o sistema linear $Ma=w$, ou $V^{T}Va=V^{T}y$.

Implemente um código para calcular os coeficientes de uma reta que melhor se ajusta a $N$ pontos no plano. Imprime o resultado em arquivo e faça gráfico da solução no scilab.