E 6.7.1. Refaça os exercícios 4.4.6, 4.4.7 e 4.4.8 usando troca de ponteiros na parte iterativa.

E 6.7.2. Implemente uma função que entra um vetor com $N$ posições e devolve o máximo e o mínimo valor.

E 6.7.3. Use a estrutura trabalhada no exemplo 6.2.2 para refazer os exercícios 3.4.4 e 3.4.5

E 6.7.4. A eliminação gaussiana (ou escalonamento), é um método para resolver sistemas lineares que consiste em manipular o sistema através de determinadas operações elementares, transformando-o em um sistema triangular. A solução pode ser obtida via substituição regressiva.

1.

multiplicação de um linha por uma constante não nula.

2.

substituição de uma linha por ela mesma somada a um múltiplo de outra linha.

3.

permutação de duas linhas.

• Implemente um programa que resolve sistema lineares por eliminação gaussiana.
• Implemente um programa que resolve sistema lineares por eliminação gaussiana com pivotamento parcial. A eliminação gaussiana com pivotamento parcial consiste em fazer uma permutação de linhas para escolher o maior pivô (em módulo) a cada passo.

Para ajudar o programador, segue um sistema linear 3x3 retirado do livro colaborativo www.ufrgs.br/numerico $$\begin{array}{rcll}x+y+z& =& 1& \\ 2x+y-z& =& 0& \\ 2x+2y+z& =& 1& \end{array}$$

A solução via eliminação gaussiana com pivotamento parcial segue os seguintes passos: $$\begin{array}{rcll}\left[\begin{array}{cccc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right]& \sim & \left[\begin{array}{cccc}\hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right]& \\ & \sim & \left[\begin{array}{cccc}\hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1∕2\hfill & \hfill 3∕2\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right]& \\ & \sim & \left[\begin{array}{cccc}\hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1∕2\hfill & \hfill 3∕2\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right]& \\ & \sim & \left[\begin{array}{cccc}\hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1∕2\hfill & \hfill 1∕2\hfill \end{array}\right]& \end{array}$$

Por substituição regressiva, temos $1∕2z=1∕2$, ou seja, $z=1$. Substituímos na segunda equação e temos $y+2z=1$, ou seja, $y=-1$ e, finalmente $2x+y-z=0$, resultando em $x=1$.

E 6.7.5. As aproximações de segunda ordem para a derivada primeira são obtidas pelas seguintes fórmulas

• Progressiva: $f^{\prime }\left(x_0\right)\approx \frac{1}{2h}\left[-3f\left(x_0\right)+4f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0+2h\right)\right]$
• Central: $f^{\prime }\left(x_0\right)\approx \frac{1}{2h}\left[f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0-h\right)\right]$
• Regressiva: $f^{\prime }\left(x_0\right)\approx \frac{1}{2h}\left[f\left(x_0-2h\right)-4f\left(x_0-h\right)+3f\left(x_0\right)\right]$

Refaça o exemplo 6.3.2 usando diferenças de segunda ordem para todas as derivadas e o algorítmo de eliminação Gaussiana para resolver o sistema linear.

E 6.7.6. Encontre uma aproximação numérica para o seguinte problema não-linear de três equações e três incógnitas: $$\begin{array}{rcll}2x_1-x_2& =& cos\left(x_1\right)& \\ -x_1+2x_2-x_3& =& cos\left(x_2\right)& \\ -x_2+x_3& =& cos\left(x_3\right)& \end{array}$$

Partindo das seguintes aproximações iniciais:

• $x^{\left(0\right)}={\left[1,1,1\right]}^T$
• $x^{\left(0\right)}={\left[-0,5,-2,-3\right]}^T$
• $x^{\left(0\right)}={\left[-2,-3,-4\right]}^T$
• $x^{\left(0\right)}={\left[0,0,0\right]}^T$

E 6.7.7. Considere o seguinte sistema de equações não-lineares: $$\begin{array}{rcll}{x}_1-x_2& =& 0& \\ -x_{j-1}+5\left(x_j+x_j^3\right)-x_{j+1}& =& 10exp\left(-j∕3\right),2\le j\le 10& \\ x_{11}& =& 1& \text{(6.1)}\end{array}$$

Implemente um código para encontrar a única solução deste problema pelo método de Newton.

E 6.7.8. Resolva numericamente o problema de valor de contorno para a equação de calor no estado estacionário com um termo não linear de radiação $$\left\{\begin{array}{c}-u_{xx}=100-\frac{u^4}{10000},0<x<2.\hfill \\ u\left(0\right)=0\hfill \\ u\left(2\right)=10\hfill \end{array}\right.$$

usando o método de diferenças finitas.

E 6.7.9. Resolva numericamente o problema de valor de contorno para a equação de calor no estado estacionário com um termo não linear de radiação e um termo de convecção: $$\left\{\begin{array}{c}-u_{xx}+3u_x=100-\frac{u^4}{10000},0<x<2.\hfill \\ u^{\prime }\left(0\right)=0\hfill \\ u\left(2\right)=10\hfill \end{array}\right.$$

usando o método de diferenças finitas.

E 6.7.10. Resolva numericamente o problema de valor de contorno $$\left\{\begin{array}{c}-u^{″}+2u^{\prime }=e^{-x}-\frac{u^2}{100},1<x<4.\hfill \\ u^{\prime }\left(1\right)+u\left(1\right)=2\hfill \\ u^{\prime }\left(4\right)=-1\hfill \end{array}\right.$$

usando o método de diferenças finitas.

E 6.7.11. Implemente o cálculo da fatorial de $n$ de várias formas:

1.

Entre com $n$ no scanf e use um for.

2.

Entre com $n$ na linha de comando

3.

Construa uma função recursiva $n!=n\left(n-1\right)!$ (não use for).

E 6.7.12. Repita o exercício anterior para $x^n$, $n\ge 0$.

E 6.7.13. O método de Runge-Kutta quarta ordem clássico para resolver o PVI $$\begin{array}{rcll}{u}^{\prime }& =& f\left(t,u\right)& \\ u\left(0\right)& =& u_0& \end{array}$$

é dado pela recursão $$\begin{array}{rcll}{k}_1& =& hf\left(t^{\left(n\right)},u^{\left(n\right)}\right)& \\ k_2& =& hf\left(t^{\left(n\right)}+h∕2,u^{\left(n\right)}+k_1∕2\right)& \\ k_3& =& hf\left(t^{\left(n\right)}+h∕2,u^{\left(n\right)}+k_2∕2\right)& \\ k_4& =& hf\left(t^{\left(n\right)}+h,u^{\left(n\right)}+k_3\right)& \\ u^{\left(n+1\right)}& =& u^{\left(n\right)}+\frac{k_1+2k_2+2k_3+k_4}{6}& \end{array}$$

Implemente um código em C com a algorítmo acima para resolva o sistema para o oscilador não linear de Van der Pol dado por

onde $A$, $\alpha$ e $w_0$ são constantes positivas. Encontre a frequência e a amplitude de oscilações quando $w_0=1$, $\alpha =.1$ e $A=10$ (teste diversas condições iniciais).

Observação:

• Embora o oscilador seja de segunda ordem, você pode fazer uma mudança de variável e escrevê-lo com um sistema de primeira ordem.
• Entre com os parâmetros tempo final e o número de intervalos na linha de comando.

E 6.7.14. Resolva o modelo simplificado de FitzHugh-Nagumo para o potencial elétrico sobre a membrana de um neurônio: $$\begin{array}{rcll}\frac{dV}{dt}& =& V-V^3∕3-W+I& \\ \frac{dW}{dt}& =& 0,08\left(V+0,7-0,8W\right)& \end{array}$$

onde $I$ é a corrente de excitação.

• Encontre o único estado estacionário $\left(V_0,W_0\right)$ com $I=0$.
• Resolva numericamente o sistema com condições iniciais dadas por $\left(V_0,W_0\right)$ e $I=e^{-t∕200}$.