E 9.4.1. Faça uma nova versão do exercício 6.7.13.

• Use o método de Adams-Bashforth terceira ordem:

  $$u^{\left(n+3\right)}=u^{\left(n+2\right)}+\frac{h}{12}\left[23f\left(t^{\left(n+2\right)},u\left(t^{\left(n+2\right)}\right)\right)-16f\left(t^{\left(n+1\right)},u\left(t^{\left(n+1\right)}\right)\right)+5f\left(t^{\left(n\right)},u\left(t^{\left(n\right)}\right)\right)\right]$$

  (9.1)

• Use o método de Kunge-Kutta terceira ordem para calcular as três primeiras iterações: $$\begin{array}{rcll}{k}_1& =& hf\left(t^{\left(n\right)},u^{\left(n\right)}\right)& \\ k_2& =& hf\left(t^{\left(n\right)}+h∕2,u^{\left(n\right)}+k_1∕2\right)& \\ k_3& =& hf\left(t^{\left(n\right)}+h,u^{\left(n\right)}-k1+2k_2\right)& \\ u^{\left(n+1\right)}& =& u^{\left(n\right)}+\frac{k_1+4k_2+k_3}{6}& \end{array}$$

• Faça uma rotina geral para sistemas de equações diferenciais ordinárias.

Teste usando vários PVIs:

1.

$$\begin{array}{rcll}{u}^{\prime }& =& u+e^{-t},& \\ u\left(0\right)& =& 1& \end{array}$$

2.

$$\begin{array}{rcll}{u}^{\prime }& =& -2u+v,& \\ v^{\prime }& =& u-2v-e^{-t^2},& \\ u\left(0\right)& =& 1& \\ v\left(0\right)& =& 0.& \end{array}$$

3.

$$\begin{array}{rcll}{u}^{\prime }& =& -2u+v-2w,& \\ v^{\prime }& =& u-2v+w,& \\ w^{\prime }& =& u+v-w+e^{-t},& \\ u\left(0\right)& =& 1& \\ v\left(0\right)& =& 0& \\ w\left(0\right)& =& -1.& \end{array}$$

E 9.4.2. Implemente um algorítmo para calcular a seguinte integral dupla: $$F\left(x\right)={\int \; <!--nolimits-->}_0^1{\int \; <!--nolimits-->}_0^1\frac{1}{\mu }{e}^{-\frac{1}{\mu }|s-x|}Q\left(s\right)d\mu ds$$

onde $Q\left(s\right)=s\left(1-s\right)$.

Dicas:

• Embora a integral está bem definida, tem singularidades quando $x=s$ e $\mu =0$. Logo, um abordagem ingênua produz resultado com bastante erro.
• Use o seguinte truque para remover a singularidade: $$F\left(x\right)={\int \; <!--nolimits-->}_0^1{\int \; <!--nolimits-->}_0^1\frac{1}{\mu }{e}^{-\frac{1}{\mu }|s-x|}\left(Q\left(s\right)-Q\left(x\right)\right)d\mu ds+Q\left(x\right){\int \; <!--nolimits-->}_0^1{\int \; <!--nolimits-->}_0^1\frac{1}{\mu }{e}^{-\frac{1}{\mu }|s-x|}d\mu ds.$$

    A primeira integral fica numericamente bem comportada e a segunda podemos integral analiticamente: $$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_0^1{\int \; <!--nolimits-->}_0^1\frac{1}{\mu }{e}^{-\frac{1}{\mu }|s-x|}d\mu ds& =& {\int \; <!--nolimits-->}_0^1{\int \; <!--nolimits-->}_0^1\frac{1}{\mu }{e}^{-\frac{1}{\mu }|s-x|}dsd\mu & \\ & =& {\int \; <!--nolimits-->}_0^1\left[{\int \; <!--nolimits-->}_0^x\frac{1}{\mu }{e}^{-\frac{1}{\mu }\left(x-s\right)}ds+{\int \; <!--nolimits-->}_x^1\frac{1}{\mu }{e}^{-\frac{1}{\mu }\left(s-x\right)}ds\right]d\mu & \\ & =& {\int \; <!--nolimits-->}_0^1\left[{\left.e^{-\frac{1}{\mu }\left(x-s\right)}\right|}_0^x-{\left.e^{-\frac{1}{\mu }\left(s-x\right)}\right|}_x^1\right]d\mu & \\ & =& {\int \; <!--nolimits-->}_0^1\left[1-e^{-\frac{x}{\mu }}-e^{-\frac{1}{\mu }\left(1-x\right)}+1\right]d\mu & \\ & =& 2-{\int \; <!--nolimits-->}_0^1\left[e^{-\frac{x}{\mu }}+e^{-\frac{\left(1-x\right)}{\mu }}\right]d\mu .& \end{array}$$