E 3.4.1. Escreva um código com as seguintes funções:

• Calcula o máximo entre dois inteiros
• Testa se dois inteiros são iguais e retorna 0 ou 1.
• Entra dois double e testa se um é o quadrado do outro.
• Entra um double$r$ e calcula o comprimento da circunferência de raio $r$.

E 3.4.2. Escreva uma versão para os códigos dos exercícios 2.6.4, 2.6.5 e 2.6.6 usando a estrutura de função.

E 3.4.3. Escreva uma versão para os códigos dos exercícios 2.6, 2.6.11 usando a estrutura de função.

E 3.4.4. O método de Newton para calcular as raízes de uma função suave $f\left(x\right)=0$ é dado pela sequência $$\left\{\begin{array}{c}{x}_0=a,\hfill \\ \hfill \\ x_n=x_{n-1}-\frac{f\left(x_{n-1}\right)}{f^{\prime }\left(x_{n-1}\right)},n=1,2,...\hfill \end{array}\right.,$$

desde que $a$ seja escolhido suficientemente próximo da raíz. Implemente uma código da seguinte forma:

• Com uma função para definir $f\left(x\right)=e^{-x^2}-x$.
• Com uma função que entre o chute inicial $a$ e a tolerância e retorne a raíz. Coloque uma mensagens de erro no caso de não convergência.

Teste seu programa com várias funções, tais como $f\left(x\right)=cos\left(10x\right)-e^{-x}$, $f\left(x\right)=x^4-4x^2+4$.

E 3.4.5. Repita o exercício 3.4.4 usando o método das Secantes para calcular as raízes da função suave $f\left(x\right)=0$. A sequência é $$\left\{\begin{array}{c}{x}_0=a,\hfill \\ \hfill \\ x_2=b,b\ne a\hfill \\ \hfill \\ x_{n+1}=x_n-f\left(x_n\right)\frac{x_n-x_{n-1}}{f\left(x_n\right)-f\left(x_{n-1}\right)},n=1,2,...\hfill \end{array}\right..$$

Observe que aqui você precisará de dois chutes iniciais.

E 3.4.6. Implemente um programa que aproxime o valor da integral de $f\left(x\right)$ no intervalo $\left[a,b\right]$. Faça da seguinte forma:

• implemente uma função para definir $f\left(x\right)$;
• implemente o método de Simpson simples dado por $${\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx\approx \frac{b-a}{6}\left(f\left(a\right)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f\left(b\right)\right)$$

E 3.4.7. Implemente um código similar ao dado no exemplo 3.2.1 para aproximar ${\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx$ usando a regra dos trapézios

onde $$\begin{array}{rcll}h& =& \frac{b-a}{n}& \\ x_i& =& a+\left(i-1\right)h,i=1,2,\cdots ,n+1.& \end{array}$$

E 3.4.8. Implemente um código similar ao dado no exemplo 3.2.1 para aproximar ${\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx$ usando a regra de Boole $$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx& \approx & \frac{2h}{45}\left(7f\left(x_1\right)+32f\left(x_2\right)+12f\left(x_3\right)+32f\left(x_4\right)+14f\left(x_5\right)+32f\left(x_6\right)+12f\left(x_7\right)+32f\left(x_8\right)+14f\left(x_9\right)+\cdots \right.& \\ & +& \left.14f\left(x_{4n-3}\right)+32f\left(x_{4n-2}\right)+12f\left(x_{4n-1}\right)+32f\left(x_{4n}\right)+7f\left(x_{4n+1}\right)\right)& \end{array}$$

onde $$\begin{array}{rcll}h& =& \frac{b-a}{4n}& \\ x_i& =& a+\left(i-1\right)h,i=1,2,\cdots ,4n+1.& \end{array}$$

E 3.4.9. A quadrature de Gauss-Legendre com dois pontos aproxima a integral da seguinte forma $${\int \; <!--nolimits-->}_{-1}^{1}f\left(x\right)dx=f\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right).$$

Fazendo a mudança de variável $u=\frac{2x-a-b}{b-a}$, temos: $$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx& =& \frac{b-a}{2}{\int \; <!--nolimits-->}_{-1}^{1}f\left(\frac{b-a}{2}u+\frac{a+b}{2}\right)du& \\ & \approx & \frac{b-a}{2}f\left(-\frac{b-a}{2}\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{a+b}{2}\right)+\frac{b-a}{2}f\left(\frac{b-a}{2}\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{a+b}{2}\right).& \end{array}$$

Implemente um código que calcule uma aproximação da integral de $f\left(x\right)$ no intervalo $\left[a,b\right]$ usando a quadratura de Gauss-Legendre com dois pontos.

E 3.4.10. Implemente a seguinte regra para aproximar a integral de $f\left(x\right)$ no intervalo $\left[a,b\right]$

• Calcule a integral Gauss-Legendre com dois pontos introduzida no exercício 3.4.9.
• Divida o intervalo $\left[a,b\right]$ em duas partes e use a quadratura do item anterior em cada parte.
• Compare as integrais dos dois itens anteriores.
• Divida o intervalo $\left[a,b\right]$ em quatro partes e use a mesma quadratura em cada parte.
• Compare as integrais com duas e quatro divisões.
• Repita até a convergência com tolerância de $10^{-8}$.

E 3.4.11. Implemente o método da bisseção para calcular a raíz de uma função.

O método da bisseção explora o fato de que uma função contínua $f:\left[a,b\right]\to ℝ$ com $f\left(a\right)\cdot f\left(b\right)<0$ tem um zero no intervalo $\left(a,b\right)$ (veja o teorema de Bolzano). Assim, a ideia para aproximar o zero de uma tal função $f\left(x\right)$ é tomar, como primeira aproximação, o ponto médio do intervalo $\left[a,b\right]$, isto é:

Pode ocorrer de $f\left(x^{\left(0\right)}\right)=0$ e, neste caso, o zero de $f\left(x\right)$ é $x^{\ast }=x^{\left(0\right)}$. Caso contrário, se $f\left(a\right)\cdot f\left(x^{\left(0\right)}\right)<0$, então $x^{\ast }\in \left(a,x^{\left(0\right)}\right)$. Neste caso, tomamos como segunda aproximação do zero de $f\left(x\right)$ o ponto médio do intervalo $\left[a,x^{\left(0\right)}\right]$, isto é, $x^{\left(1\right)}=\left(a+x^{\left(0\right)}\right)∕2$. Noutro caso, temos $f\left(x^{\left(0\right)}\right)\cdot f\left(b\right)<0$ e, então, tomamos $x^{\left(1\right)}=\left(x^{\left(0\right)}+b\right)∕2$. Repetimos este procedimento até alcançar a tolerância

Teste usando algumas funções, tais como $f\left(x\right)=cos\left(x\right)-x$ no intervalo $\left[0,2\right]$ ou $f\left(x\right)=e^{-x}-x$ no intervalo $\left[0,1\right]$.