MDC e MMC

Pré-calculo - Um Livro Colaborativo

3.1 MDC e MMC

MDC - máximo divisor comum Dados dois números $a, b \in ℕ$ , o máximo divisor comum entre eles, é o maior número natural que divide $a$ e $b$ . Se MDC $(a, b) = 1$ então $a$ e $b$ são primos entre si.

MMC - mínimo múltiplo comum Dados dois números $a, b \in ℕ$ , o mínimo múltiplo comum entre eles, é o menor número natural divisível por $a$ e $b$ . Se $a$ e $b$ são primos entre si então MMC $(a, b) = a b$ .

Exemplo 3.1.1.

\begin{array}{rcl} MDC (12, 24) & = & 12 & (3.7) \\ MMC (12, 24) & = & 24 & (3.8) \end{array}

O cálculo do MMC entre dois números pode ser feito rapidamente com auxílio de seguinte algoritmo, que apresentaremos através de exemplos:

Exemplo 3.1.2.

a)

MMC(12, 24):

12, 24	2
6, 12	2
3, 6	2
3, 3	3
1, 1

M M C (12, 24) = 2.2.2.3 = 24

. Neste caso observe que 24= 2.12.

b)

MMC(9, 10):

9, 10	2
9, 5	3
3, 5	3
1, 5	5
1, 1

M M C (9, 10) = 2.3.3.5 = 90 = 9.10

. Neste caso como 9 e 10 não possuem nenhum divisor comum, nesta situação dizemos que eles são primos entre si.

c)

MMC(12, 20):

12, 20	2
6, 10	2
3, 5	3
1, 5	5
1, 1

M M C (12, 20) = 2.2.3.5 = 60 < 12.20 = 240

. Este é um caso em que calcular o MMC será uma vantagem, pois o MMC é menor que o produto dos dois números.

d)

MMC(7, 15):

7, 15	3
7, 5	5
7, 1	7
1, 1

M M C (7, 15) = 3.5.7 = 105

. Observe que neste caso o número 7 é primo, e o número 15 não é um múltiplo de 7, sempre que esta situações ocorrer o MMC entre os números será o produto deles.

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