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Pré-calculo - Um Livro Colaborativo

Capítulo 3
Divisibilidade

Dados dois números a,b ∈ ℤ, com b≠0 calculamos a divisão de a por b como mostra a figura abaixo:

PIC

Figura 3.1: Representação conjuntos numéricos

logo, dados a,b ∈ ℤ existem q,r ∈ ℤ tais que a = bq + r.

Um número inteiro a é divisível por um número inteiro b, se a divisão de a por b tem resto r = 0.

Exemplo 3.0.1.

  • Todo número par é divisível por 2.
  • Todo número terminado em 0 ou 5 é divisível por 5.
  • Todo número divisível por 2 e 3 é também divisível por 6.

Um número a ∈ ℕ diferente de 0 e de 1 é primo se for divisível apenas por 1 e por ele mesmo.

Exemplo 3.0.2. Primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13,… ⁡}

Teorema 3.0.1 (Teorema Fundamental da Aritmética). Todo número a ∈ ℕ diferente de 0 e de 1 possui uma decomposição única em números primos, em outras palavras, pode ser escrito como produto de números primos.

Definição 3.0.1. Um número a ∈ ℕ diferente de 0 e de 1 cuja decomposição em primos possui números diferentes de a é chamado de número composto. Neste caso, 1 e a não são os únicos divisores de a.

Exemplo 3.0.3. De números compostos e suas fatorações em números primos:

25 = 5 ⋅ 5 (3.1) 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 (3.2) 15 = 3 ⋅ 5 (3.3) 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 (3.4)

Para ilustrar o algoritmo utilizado na fatoração dos números naturais iremos utilizá-lo para fatorar os números acima.

Números a ser fatorado Números primos em ordem crescente
25 5
5 5
1 = 5.5
12 2
6 2
3 3
1 = 2.2.3
15 3
5 5
1 = 3.5
24 2
12 2
6 2
3 3
1 2.2.2.3

Observação 1. Um número natural sempre é divisível por todos os seus fatores primos e também pelos produtos de seus fatores primos.

Exemplo 3.0.4. Como 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3, temos que seus divisores são:

D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. (3.5)

Como 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3, temos que seus divisores são:

D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. (3.6)

Sumário

 3.1 MDC e MMC
 3.2 Exercícios

Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 18/7/2022 às 10:54:49.

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