6.2 Binômio de Newton

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As expressões ${\left(x+y\right)}^2$ e ${\left(x+y\right)}^3$ para $x,y\in ℝ$,podem ser generalizadas para ${\left(x+y\right)}^n$ com $n\in \mathbb{N}$, esta generalização é dada pelo Binômio de Newton, da seguinte forma:

$${\left(x+y\right)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{n}{k}\right)\cdot x^{n-k}{y}^k=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{n}{k}\right)\cdot x^k{y}^{n-k}$$

(6.18)

$$\begin{array}{rcll}{\left(x-y\right)}^n& =& {\left(x+\left(-y\right)\right)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{n}{k}\right)\cdot x^{n-k}{\left(-y\right)}^k& \text{(6.19)}\\ & =& \sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{n}{k}\right)\cdot x^{n-k}{\left(-1\right)}^k{y}^k& \text{(6.20)}\\ & =& \sum _{k=0}^n{\left(-1\right)}^k\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{n}{k}\right)\cdot x^{n-k}{y}^k& \text{(6.21)}\end{array}$$

Os coeficientes $\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{n}{k}\right)$ são chamados coeficientes binomiais e são definidos por:

$$\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$$

(6.22)

para $n,k\in \mathbb{N}$ com $k\le n$.

Vale lembrar que por definição o fatorial de $n$ é dado por:

$$n!=n\cdot \left(n-1\right)\cdot \left(n-2\right)\cdots 2\cdot 1.$$

(6.23)