6.1 Operações algébricas

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Adição e subtração

Podemos somar somente letras iguais e com mesmo expoente. Como por exemplo:

• $2x+x=\left(2+1\right)x=3x$;
• $x^2-3x^2=\left(1-3\right)x^2=-2x^2$;
• $2x+y+5x^2+7y-3x=5x^2+\left(2-3\right)x+\left(1+7\right)y=5x^2-1x+8y$;
• $3\left(x+4y-2\right)=3x+3.4y-3.2=3x+12y-6$;
• $\frac{3x^2}{4}+\frac{x}{2}=\frac{3x^2+2x}{4}$.

Multiplicação

Na multiplicação devemos sempre multiplicar coeficiente por coeficiente e letra por letra. Sendo que no caso das letras serem iguais, devemos manter a letra e somar seus expoentes, e no caso das letras serem diferentes apenas fazemos a associação das duas letras. Como mostram os seguintes exemplos:

• $x\cdot x=x^{1+1}=x^2$;
• $x\cdot x^2=x^{1+2}=x^3$;
• $x\cdot 2y=\left(1\cdot 2\right)xy=2xy$;
• $3x\cdot 2x^{2}y=\left(3\cdot 2\right)x^{1+2}y=6x^{3}y$;
• $4x^4\cdot \frac{1}{2x^2}=4x^4\cdot \frac{1}{2}{x}^{-2}=\left(4\cdot \frac{1}{2}\right)x^{4-2}=2x^2$;
• $\left(x-1\right)\cdot \left(x-2\right)=x\left(x-2\right)-1\left(x-2\right)=x^2-2x-x+2=x^2-3x+2$.

Divisão

Na divisão devemos sempre dividir coeficiente por coeficiente e letra por letra. Sendo que no caso das letras serem iguais, devemos manter a letra e subtrair seus expoentes, e no caso das letras serem diferentes apenas fazemos a associação das duas letras. Como mostram os seguintes exemplos:

• $x÷x=x^{1-1}=x^0=1$;
• $x÷x^2=x^{1-2}=x^{-1}=\frac{1}{x}$;
• $2y÷x=\frac{2y}{x}$;
• $4y^3÷2y^2=\frac{4}{2}\cdot \frac{y^3}{y^2}=2y^{3-2}=2y$;
• $\frac{x^{2}y{z}^3}{x^2{y}^3{z}^2}=x^{2-2}{y}^{1-3}{z}^{3-2}=x^0{y}^{-2}{z}^1=\frac{z}{y^2}$;
• $\frac{\left(x+3\right)\cdot \left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\cdot \left(2x+3\right)}=\frac{x+3}{2x+3}$.

Potenciação

Na potenciação devemos aplicar o expoente ao coeficiente e à incógnita, obedecendo as propriedades de potência.

• ${\left(2x\right)}^2=2^2\cdot x^2=4x^2$;
• ${\left(3x^2\right)}^3=3^3\cdot x^{2\cdot 3}=27x^6$;
• ${\left(x+1\right)}^2=\left(x+1\right)\cdot \left(x+1\right)=x^2+2x+1$;
• ${\left(x-1\right)}^2=\left(x-1\right)\cdot \left(x-1\right)=x^2-2x+1$;
• ${\left(\frac{3a^2}{4}\right)}^2=\frac{3^2{a}^{2\cdot 2}}{4^2}=\frac{9a^4}{16}$.

Radiciação

Na radiciação devemos extrair a raiz do coeficiente e da incógnita. Observamos que extrair a raiz da incógnita é equivalente a dividir seu expoente pelo índice da raiz.

• $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$;
• $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$;
• $\sqrt{x^4}={\left(x^4\right)}^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{4}{2}}=x^2$;
• $\sqrt[3]{8x^6}=\sqrt[3]{8}\cdot \sqrt[3]{x^6}=\sqrt[3]{2^3}\cdot \sqrt[3]{x^6}=2^{\frac{3}{3}}{x}^{\frac{6}{3}}=2x^2$;
• $\sqrt{\frac{2x^2}{16}}=\frac{\sqrt{2x^2}}{\sqrt{4^2}}=\frac{\sqrt{2}\cdot \left|x\right|}{4}$.

Fatoração das expressões algébricas

A fatoração das expressões algébricas, é o que nos permite escrever a expressão como um produto de dois termos, ela é utilizada principalmente na resolução de equações, para acelerar o processo de resolução.

Os seguintes casos de fatoração são os mais utilizados:

• Fator em comum: $$\begin{array}{rcll}{x}^2+x=x\left(x+1\right)& & & \text{(6.1)}\\ 4x^2+6=2\left(2x^2+3\right)& & & \text{(6.2)}\end{array}$$

• Agrupamento:

  $$ax+bx+ay+by=\left(a+b\right)x+\left(a+b\right)y=\left(a+b\right)\left(x+y\right)$$

  (6.3)

• Trinômio quadrado perfeito (+): $$\begin{array}{rcll}{\left(x+y\right)}^2& =& \left(x+y\right)\cdot \left(x+y\right)& \text{(6.4)}\\ & =& x^2+xy+yx+y^2& \text{(6.5)}\\ & =& x^2+2xy+y^2& \text{(6.6)}\end{array}$$

• Trinômio quadrado perfeito (-): $$\begin{array}{rcll}{\left(x-y\right)}^2& =& \left(x-y\right)\cdot \left(x-y\right)& \text{(6.7)}\\ & =& x^2-xy-yx+y^2& \text{(6.8)}\\ & =& x^2-2xy+y^2& \text{(6.9)}\end{array}$$

• Diferença de dois quadrados:

  $$\left(x+y\right)\cdot \left(x-y\right)=x^2-xy+yx-y^2=x^2-y^2$$

  (6.10)

• Cubo perfeito (+): $$\begin{array}{rcll}{\left(x+y\right)}^3& =& {\left(x+y\right)}^2\cdot \left(x+y\right)& \text{(6.11)}\\ & =& \left(x^2+2xy+y^2\right)\cdot \left(x+y\right)& \text{(6.12)}\\ & =& x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3& \text{(6.13)}\end{array}$$

• Cubo perfeito (-): $$\begin{array}{rcll}{\left(x-y\right)}^3& =& {\left(x-y\right)}^2\cdot \left(x-y\right)& \text{(6.14)}\\ & =& \left(x^2-2xy+y^2\right)\cdot \left(x-y\right)& \text{(6.15)}\\ & =& x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3& \text{(6.16)}\end{array}$$

• Diferença de dois cubos:

  $$x^3-y^3=\left(x-y\right)\cdot \left(x^2+xy+y^2\right)$$

  (6.17)