Equações modulares

Pré-calculo - Um Livro Colaborativo

10.1 Equações modulares

As equações modulares são equações que apresentam polinômios dentro de um módulo. Como por exemplo:

|p (x)| = 0

Antes de começarmos a ver exemplos destas equações lembremos que para um número real $x$ qualquer:

|x| = \{\begin{matrix} - x, se x < 0 \\ x, se x \geq 0 . \end{matrix}

Além disso o módulo de um número real possui algumas propriedades listadas na Proposição 2.5.2 que serão necessárias para a resolução de equações modulares.

Vejamos então alguns exemplos de equações modulares resolvidas.

Exemplo 10.1.1. Suponha que $a > 0$ . Resolva a equação $|x| = a$

Pela deﬁnição de módulo temos:

\{\begin{matrix} - x = a, se x < 0 \\ x = a, se x \geq 0 . \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} x = - a, se x < 0 \\ x = a, se x \geq 0 . \end{matrix}

Portanto o conjunto solução desta equação é $S = \{- a, a\}$ .

Exemplo 10.1.2. Caso particular: $|x| = 10$

Pela deﬁnição de módulo temos:

\{\begin{matrix} - x = 10, se x < 0 \\ x = 10, se x \geq 0 . \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} x = - 10, se x < 0 \\ x = 10, se x \geq 0 . \end{matrix}

Portanto o conjunto solução desta equação é $S = \{- 10, 10\}$ .

Exemplo 10.1.3. $|2 x - 2| = 10$

Pela deﬁnição de módulo temos:

\{\begin{matrix} - (2 x - 2) = 10, se (2 x - 2) < 0 \\ 2 x - 2 = 10, se (2 x - 2) \geq 0 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} - 2 x + 2 = 10, se x < 1 \\ 2 x - 2 = 10, se x \geq 1 \end{matrix}

\Rightarrow \{\begin{matrix} - 2 x = 8, se x < 1 \\ 2 x = 12, se x \geq 1 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} x = - 4, se x < 1 \\ x = 6, se x \geq 1 . \end{matrix}

Portanto o conjunto solução desta equação é $S = \{- 4, 6\}$ .

Exemplo 10.1.4. $|2 x^{2} - 72| = 26$

Novamente aplicando a deﬁnição de módulo temos

\{\begin{matrix} - (2 x^{2} - 72) = 26, se (2 x^{2} - 72) < 0 \\ 2 x^{2} - 72 = 26, se (2 x^{2} - 72) \geq 0 \end{matrix}

Como $2 x^{2} - 72 = 0 \Leftrightarrow 2 x^{2} = 72 \Leftrightarrow x^{2} = 36 \Leftrightarrow |x| = 6$ e a equação do 2º grau $2 x^{2} - 72 = 0$ tem $a > 0$ , fazendo o estudo de sinal desta equação obtemos os três seguintes casos:

\{\begin{matrix} 2 x^{2} - 72 \geq 0, se x \leq - 6 \\ 2 x^{2} - 72 < 0, se - 6 < x < 6 \\ 2 x^{2} - 72 \geq 0, se x \geq 6 \end{matrix}

Com isso temos que a equação inicial deve ser dividida nos seguintes casos:

\Rightarrow \{\begin{matrix} 2 x^{2} - 72 = 26, se x \leq - 6 \\ - (2 x^{2} - 72) = 26, se - 6 < x < 6 \\ 2 x^{2} - 72 = 26, se x \geq 6 \end{matrix}

temos portanto duas equações para resolver, façamos elas separadamente:

2 x^{2} - 72 = 26 \Leftrightarrow 2 x^{2} = 98 \Leftrightarrow x^{2} = 49 \Leftrightarrow x = \pm 7

(10.1)

note que $- 7 < - 6$ e $7 > 6$ logo $x = - 7$ e $x = 7$ são soluções desta equação, agora vejamos o outro caso,

\begin{array}{rcl} - (2 x^{2} - 72) = 26 & \Leftrightarrow & - 2 x^{2} + 72 = 26 & (10.2) \\ \Leftrightarrow & - 2 x^{2} = - 46 & (10.3) \\ \Leftrightarrow & x^{2} = 23 & (10.4) \\ \Leftrightarrow & x = \pm \sqrt{23} \approx \pm 4, 78 & (10.5) \end{array}

note que $- 6 < - \sqrt{23} < \sqrt{23} < 6$ , logo $x = - \sqrt{23}$ e $x = \sqrt{23}$ são soluções desta equação. Portanto o conjunto solução da nossa é equação modular é:

S = {- 7, - \sqrt{23}, \sqrt{23}, 7} .

(10.6)

Exemplo 10.1.5. Atenção! $|x - 4| = - 2$

Pela deﬁnição de módulo temos:

\{\begin{matrix} - (x - 4) = - 2, se (x - 4) < 0 \\ x - 4 = - 2, se (x - 4) \geq 0 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} - x + 4 = - 2, se x < 4 \\ x - 4 = - 2, se x \geq 4 \end{matrix}

\{\begin{matrix} - x = - 2 - 4, se x < 4 \\ x = - 2 + 4, se x \geq 4 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} x = 6, se x < 4 \\ x = 2, se x \geq 4 \end{matrix}

Observe que em nenhum dos dois casos o $x$ encontrado pertence ao intervalo onde a solução deveria estar, pois $6$ não é menor que $4$ e $2$ não é maior ou igual a $4$ , além disso,

x = 6 \Rightarrow |6 - 4| = |2| = 2 \neq - 2

(10.7)

x = 2 \Rightarrow |2 - 4| = |- 2| = 2 \neq - 2

(10.8)

logo esta equação NÃO tem solução!

Mas isso já era de se esperar, pois lembra que $|x| \geq 0$ para qualquer $x \in ℝ$ , por propriedade do módulo, logo $|x - 4| \geq 0$ como $- 2 < 0$ então não existe $x \in ℝ$ tal que $|x - 4| = - 2$ . Portanto, já sabíamos pela propriedade de módulo que esta equação não tinha solução.

Vamos agora, sistematizar o que acabamos de ver nos exemplos acima de forma a facilitar a aplicação desta teoria na resolução de equações modulares gerais. Para tal consideremos uma equação modular na forma geral

|A| = B

(10.9)

em que $A$ e $B$ são expressões algébricas. Pela deﬁnição de módulo temos que

|A| = \{\begin{matrix} - A, se A < 0 \\ A, se A \geq 0 \end{matrix}

logo as soluções da equação modular devem satisfazer

A = B ou - A = B .

(10.10)

Além disso, lembremos que por propriedade de módulo $|A| \geq 0$ , então para ser uma solução da equação a variável $x$ deve também satisfazer esta propriedade. Mas como vimos no contra-exemplo acima nem toda variável satifaz

(A = B ou - A = B) e (|A| \geq 0) .

(10.11)

Note que, como nossa equação é $|A| = B$ , logo garantir $|A| \geq 0$ é equivalente a garantir $B \geq 0$ , donde obtemos que as equações com $B < 0$ não possuem solução.

Resumindo temos que,

uma variável x é solução da equação modular A = B se ela satisﬁzer:

(A = B ou − A = B) e (B ≥ 0) .

(10.12)

Vejamos mais alguns exemplos resolvidos de equações com módulo.

Exemplo 10.1.6. $|x - 2| + |x + 4| = 10$

Antes de começarmos a pensar em como resolver esta equação modular observe que $B = 10 \geq 0$ , então uma das condições necessárias para se obter uma solução para a equação já está satisfeita, agora basta analisar os casos $A = B$ e $- A = B$ .

Para fazer esta segunda etapa da solução lembre-se que no exemplo Exemplo 6.4.6 após simpliﬁcarmos a expressão $|x - 2| + |x + 4|$ , considerando os casos $A < 0$ , $A = 0$ e $A > 0$ e obtemos:

|x - 2| + |x + 4| = \{\begin{matrix} - 2 x - 2, se x < - 4 \\ 6, se - 4 \leq x < 2 \\ 2 x + 2, se x \geq 2 . \end{matrix}

Agora para resolver esta equação modular vamos usar esta simpliﬁcação da expressão. Assim note que temos três casos para analisar, façamos eles separadamente.

Caso 1: $x < - 4$

Neste caso, $|x - 2| + |x + 4| = - 2 x - 2$ , com isso temos que nossa equação se torna:

- 2 x - 2 = 10 \Rightarrow - 2 x = 12 \Rightarrow x = - 6

(10.13)

como $x = - 6$ satisfaz a inequação $x < - 4$ , ele é uma solução.

Caso 2: $- 4 \leq x < 2$

Neste caso, $|x - 2| + |x + 4| = 6$ , com isso temos que nossa equação se torna:

6 = 10

(10.14)

o que é impossível, donde concluímos que neste intervalo a equação não tem solução.

Caso 3: $x \geq 2$

Neste caso, $|x - 2| + |x + 4| = 2 x + 2$ , com isso temos que nossa equação se torna:

2 x + 2 = 10 \Rightarrow 2 x = 8 \Rightarrow x = 4

(10.15)

como $x = 4$ satisfaz a inequação $x \geq 2$ , ele é uma solução da equação.

Portanto obtemos $S = {- 6, 4}$ como conjunto solução da equação modular

|x - 2| + |x + 4| = 10 .

(10.16)

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