Capítulo 13
Funções trigonométricas

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Vamos agora definir as funções trigonométricas no maior subconjunto real possível, e estudar o comportamento de seus gráficos. Mas para que este estudo seja completo precisamos antes definir os conceitos de período e amplitudade que são particularmente utéis para a compreenssão das funções trigonométricas.

Estas funções fazem parte do grupo de funções periódicas, que são as funções que satisfazem a seguinte definição.

Assim para entender seu comportamento em $ℝ$ basta conhecer como ela se comporta em um período.

Além de periódica algumas funções trigonométricas são limitadas, ou seja admitem um valor máximo e um valor mínimo, e para estas funções podemos definir o conceito de amplitude como segue.

De posse deste conceitos passamos agora para a definição das funções trigonométricas.

• Função Seno: $f:ℝ\to \left[-1,1\right]$ dada por $f\left(x\right)=\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)$, cujo gráfico é:

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  Figura 13.1: Gráfico da função $f\left(x\right)=\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)$

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• Função Cosseno: $f:ℝ\to \left[-1,1\right]$ dada por $f\left(x\right)=\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)$, cujo gráfico é:

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  Figura 13.2: Gráfico da função $f\left(x\right)=\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)$

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  Geometricamente podemos observar que o comportamento do gráfico das funções seno o cosseno no intervalo $\left[0,2\pi \right]$ se repete em cada intervalo de comprimento $2\pi$. Isso pode ser visualizado também olhando para o círculo trigonométrico, por exemplo quando estamos olhando para um ângulo $𝜃=4\pi +\frac{\pi }{4}$ estamos apenas dando duas voltas no círculo trigonométrico e andando mais $\frac{\pi }{4}$, por isso:

  $$\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(4\pi +\frac{\pi }{4}\right)=\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(\frac{\pi }{4}\right),$$

  (13.3)

  $$\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(4\pi +\frac{\pi }{4}\right)=\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(\frac{\pi }{4}\right),$$

  (13.4)

  funções com esta propriedade de repetição de comportamento são denominadas funções periódicas, e o intervalo que se repete é chamado de período.

  Por interpretação do círculo trigonométrico vemos que, para todo $x\in ℝ$:

  $$\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x+2\pi \right)=\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right),$$

  (13.5)

  $$\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x+2\pi \right)=\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right),$$

  (13.6)

  logo as funções seno e cosseno são de fato funções períodicas de período $2\pi$.

  Além disso note que ambas as funções seno e cosseno são limitadas, com $y_{max}=1$ e $y_{min}=-1$, portanto para ambas temos sua amplitude será:

  $$A=\frac{y_{max}-y_{min}}{2}=\frac{1-\left(-1\right)}{2}=\frac{1+1}{2}=1.$$

  (13.7)

  Para as demais funções trigonométricas que apresentaremos a seguir, convidamos o leitor a observar que elas não são limitadas e por este motivo não faz sentido falar de amplitudade para estas funções.

• Função Tangente: $f:ℝ\setminus \left\{\frac{k\pi }{2}|k\in \mathbb{Z}\right\}\to ℝ$ dada por $f\left(x\right)=\tan <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)$, cujo gráfico é:

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  Figura 13.3: Gráfico da função $f\left(x\right)=\tan <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)$

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  Lembramos que $\tan <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)=\frac{\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)}{\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)}$, logo podemos entender o domínio da função tangente como o conjunto dos $x\in ℝ$ tais que $\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)\ne 0$.

  Note que o comportamento do gráfico da função tangente no intervalo $]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$ se repete indefinadamente, e ainda

  $$\tan <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)=\tan <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x+\pi \right)$$

  (13.8)

  donde concluímos que a função tangente é uma função períodica de período $\pi$.

• Função Cossecante: $f:ℝ\setminus \left\{k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}\to ℝ$ dada por $f\left(x\right)=\csc <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)$, o gráfico desta função é:

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  Figura 13.4: Gráfico da função $f\left(x\right)=\csc <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)$

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  Como $\csc <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)=\frac{1}{\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)}$ o domínio da função cossecante é exatamente o conjunto dos $x\in ℝ$ tais que $\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)\ne 0$.

  Ao observar o gráfico da função cossecante notamos que o gráfico da função no intervalo $]0,\pi \left[\cup \right]\pi ,2\pi [$ se repete indefinidamente, e ainda

  $$\csc <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x+2\pi \right)=\csc <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right),$$

  (13.9)

  logo esta é uma função periódica, com período $2\pi$.

• Função Secante: $f:ℝ\setminus \left\{\frac{k\pi }{2}|k\in \mathbb{Z}\right\}\to ℝ$ dada por $f\left(x\right)=\sec <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)$, com gráfico dado por:

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  Figura 13.5: Gráfico da função $f\left(x\right)=\sec <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)$

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  Como $\sec <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)=\frac{1}{\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)}$ o domínio da função secante é o conjunto dos $x\in ℝ$ tais que $\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)\ne 0$.

  Ao observar o gráfico da função secante notamos que o intervalo que se repete neste caso é $]\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}\left[\cup \right]\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}[$, e ainda que

  $$\sec <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x+2\pi \right)=\sec <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right),$$

  (13.10)

  logo esta é uma função periódica com período $2\pi$.

• Função Cotangente: $f:ℝ\setminus \left\{k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}\to ℝ$ dada por $f\left(x\right)=\cot <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)$, cujo gráfico é:

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  Figura 13.6: Gráfico da função $f\left(x\right)=\cot <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)$

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  Lembramos que $\cot <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)=\frac{\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)}{\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)}$ logo o domínio da função cotangente é o conjunto dos $x\in ℝ$ tais que $\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)\ne 0$.

  Já no gráfico da função cotangente vemos a repetição do comportamento do intervalo $]0,\pi [$, e temos que

  $$\cot <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x+\pi \right)=\cot <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)$$

  (13.11)

  portanto esta é uma função periódica de período $\pi$.

  Funções Inversas

  As funções trigonométricas admitem inversas quando restringimos seus domínios a um único período da função, assim temos por exemplo as seguintes funções:

• Função Arco Seno: $f:\left[-1,1\right]\to \left[\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ dada por $f\left(x\right)=\mathrm{arcsen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)$, que também denotamos por ${\mathrm{sen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}^{-1}\left(x\right)=\mathrm{arcsen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)$, neste caso o gráfico será:

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  Figura 13.7: Gráfico da função $f\left(x\right)=\mathrm{arcsen}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)$

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• Função Arco Cosseno: $f:\left[-1,1\right]\to \left[0,\pi \right]$ dada por $f\left(x\right)=\arccos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)$, que também denotamos por ${\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}^{-1}\left(x\right)=\arccos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)$, neste caso temos o seguinte gráfico:

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  Figura 13.8: Gráfico da função $f\left(x\right)=\arccos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)$

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• Função Arco Tangente: $f:ℝ\to ]\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$, dada por $f\left(x\right)=\arctan <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)$ que também denotamos por ${\tan <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}^{-1}\left(x\right)=\arctan <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)$, neste caso o gráfico será:

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  Figura 13.9: Gráfico da função $f\left(x\right)=\arctan <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(x\right)$

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