4.3 Operações em $\mathbb{Q}$

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As operações no conjunto dos números racionais envolvem em particular as operações com frações que possuem algumas particularidades por isso façamos uma rápida retomada destas operações.

Como visto anteriormente existe uma cópia do conjunto dos números inteiros dentro do conjunto dos números racionais, portanto todas as operações de soma e multiplicação dos números inteiros funcionam da mesma forma no conjunto dos racionais, portanto o jogo de sinais para soma e multiplicação nos racionais são iguais aos jogos de sinais nos inteiros, por isso não iremos detalhar aqui. Mas vale chamar atenção para alguns detalhes do conjunto $\mathbb{Q}$.

Neste conjunto temos um elemento neutro com relação a operação de soma que é o $0$ (zero), pois dado $x\in \mathbb{Q}$, temos que $x+0=x=0+x$.

Além disso, como no conjunto dos números racionais temos todos os números negativos, então todo elemento de $\mathbb{Q}$ possui um inverso aditivo, ou seja, $\forall <!--FUNCTION\; APPLICATION-->x\in \mathbb{Q}$ existe um elemento $-x\in \mathbb{Q}$ tal que $x+\left(-x\right)=0$. Consequentemente, decorre que neste conjunto a “operação de subtração” esta bem definida, já que dados $x,y\in \mathbb{Q}$ existe $z\in \mathbb{Q}$ tal que $x-y=x+\left(-y\right)=z$.

Neste conjunto temos um elemento neutro com relação a operação de multiplicação que é o $1$ (um), também chamado de unidade, pois dado $x\in \mathbb{Q}$, temos que $x\cdot 1=x=1\cdot x$.

Além disso, com relação a operação de multiplicação em $\mathbb{Q}$, vale obervar que neste conjunto os elementos diferentes de $0$ (zero) possuem inverso com relação a multiplicação, pois dado $x\ne 0\in \mathbb{Q}$ existe $x^{-1}=\frac{1}{x}\in \mathbb{Q}$ tal que $x\cdot x^{-1}=1$. Por exemplo, dado $3\in \mathbb{Q}$ existe $3^{-1}=\frac{1}{3}\in \mathbb{Q}$ tal que $3\cdot \frac{1}{3}=1$. Portanto a “operação de divisão” está definida neste conjunto.

Portanto em $\mathbb{Q}$ as operações de soma $\left(+\right)$ e multiplicação $\left(\cdot \right)$ possuem as seguintes propriedades:

Soma $\left(+\right)$:

1)

Fechamento: dados $x,y\in \mathbb{Q}$ temos que $x+y\in \mathbb{Q}$;

2)

Associativo: dados $x,y,z\in \mathbb{Q}$ temos que $\left(x+y\right)+z=x+\left(y+z\right)$;

3)

Elemento neutro: existe um elemento $0\in \mathbb{Q}$ tal que $x+0=0+x=x$, para qualquer $x\in \mathbb{Q}$;

4)

Elemento inverso: dado $x\in \mathbb{Q}$ qualquer, existe um elemento $-x\in \mathbb{Q}$ tal que $x+\left(-x\right)=0$;

5)

Comutatividade: dados $x,y\in \mathbb{Q}$ temos que $x+y=y+x$.

Multiplicação $\left(\cdot \right)$:

1)

Fechamento: dados $x,y\in \mathbb{Q}$ temos que $x\cdot y\in \mathbb{Q}$;

2)

Associativo: dados $x,y,z\in \mathbb{Q}$ temos que $\left(x\cdot y\right)\cdot z=x\cdot \left(y\cdot z\right)$;

3)

Elemento neutro: existe um elemento $1\in \mathbb{Q}$ tal que $x\cdot 1=1\cdot x=x$, para qualquer $x\in \mathbb{Q}$;

4)

Elemento inverso: dado $x\in \mathbb{Q}$ qualquer, existe um elemento $x^{-1}\in \mathbb{Q}$ tal que $x\cdot x^{-1}=1$;

5)

Comutatividade: dados $x,y\in \mathbb{Q}$ temos que $x\cdot y=y\cdot x$.

Leis distributivas: $\forall <!--FUNCTION\; APPLICATION-->x,y,z\in \mathbb{Q}$

1)

$x\cdot \left(y+z\right)=x\cdot y+x\cdot z$;

2)

$\left(x+y\right)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$.

Como a operação de soma em $\mathbb{Q}$ satisfaz as condições de 1 a 4 acima decorre que $\left(\mathbb{Q},+\right)$ é um grupo aditivo, e por satisfazer a propriedade 5 dizemos que este grupo é abeliano. Analogamente, como a operação de multiplicação em $\mathbb{Q}$ satisfaz as propriedades de 1 a 4 decorre que $\left(\mathbb{Q},\cdot \right)$ é um grupo multiplicativo, e por satisfazer a propriedade 5 é um grupo abeliano. Além disso, como a operação de multiplicação em $\mathbb{Q}$ é fechada (1) e associativa (2) e além disso satisfaz as leis distributivas decorre que $\mathbb{Q}$ é um anel.

Além disso, $\mathbb{Q}$ com as operações de soma e multiplicação, como definidas é também um corpo. Vale aqui observar que todo conjunto com duas operações, soma e multiplicação, bem definidas, satisfazendo as propriedade de 1 a 5 respectivamente, e as leis de distributividade são denominados corpos.