4.2 Operações em $\mathbb{Z}$

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Ao operar neste conjunto numérico precisamos lidar com os números negativos e para isso precisamos dominar os jogos de sinais envolvidos nestas operações, então vamos ver alguns exemplos de operações neste conjunto para entender como lidar com os números negativos.

Adição de números inteiros

• Na adição de números inteiros com o mesmo sinal, some os números e conserve o sinal;
• Na adição de números inteiros com sinais diferentes, subtraia os números e conserve o sinal do maior.

1)

$123+7=130$

2)

$123-7=116$

3)

$-123+7=-116$

4)

$-123-7=-130$

Neste conjunto temos um elemento neutro com relação a operação de soma que é o $0$ (zero), pois dado $x\in \mathbb{Z}$, temos que $x+0=x=0+x$.

Além disso, como no conjunto dos números inteiros temos todos os números negativos, então todo elemento de $\mathbb{Z}$ possui um inverso aditivo, ou seja, $\forall <!--FUNCTION\; APPLICATION-->x\in \mathbb{Z}$ existe um elemento $-x\in \mathbb{Z}$ tal que $x+\left(-x\right)=0$. Consequentemente, decorre que neste conjunto a “operação de subtração” esta bem definida, já que dados $x,y\in \mathbb{Z}$ existe $z\in \mathbb{Z}$ tal que $x-y=x+\left(-y\right)=z$.

Multiplicação e divisão de números inteiros

• Na multiplicação e divisão de números inteiros com o mesmo sinal o resultado é sempre positivo.
• Na multiplicação e divisão de números inteiros com o sinais diferentes o resultado é sempre negativo.

Neste conjunto temos um elemento neutro com relação a operação de multiplicação que é o $1$ (um), também chamado de unidade, pois dado $x\in \mathbb{Z}$, temos que $x\cdot 1=x=1\cdot x$.

Mas um fato bem importante com relação a operação de multiplicação em $\mathbb{Z}$ é que neste conjunto os elementos não possuem inverso com relação a multiplicação, pois dado $x\in \mathbb{Z}$ não existe $y\in \mathbb{Z}$ tal que $x\cdot y=1$. Por exemplo, dado $3\in \mathbb{Z}$ não existe $y\in \mathbb{Z}$ tal que $3\cdot y=1$. Além disso a “operação de divisão” também não está definida neste conjunto pois, $\left(1\right)÷\left(2\right)=0,5$ e $0,5\notin \mathbb{Z}$.

Portanto em $\mathbb{Z}$ as operações de soma $\left(+\right)$ e multiplicação $\left(\cdot \right)$ possuem as seguintes propriedades:

Soma $\left(+\right)$:

1)

Fechamento: dados $x,y\in \mathbb{Z}$ temos que $x+y\in \mathbb{Z}$;

2)

Associativo: dados $x,y,z\in \mathbb{Z}$ temos que $\left(x+y\right)+z=x+\left(y+z\right)$;

3)

Elemento neutro: existe um elemento $0\in \mathbb{Z}$ tal que $x+0=0+x=x$, para qualquer $x\in \mathbb{Z}$;

4)

Elemento inverso: dado $x\in \mathbb{Z}$ qualquer, existe um elemento $-x\in \mathbb{Z}$ tal que $x+\left(-x\right)=0$;

5)

Comutatividade: dados $x,y\in \mathbb{Z}$ temos que $x+y=y+x$.

Multiplicação $\left(\cdot \right)$:

1)

Fechamento: dados $x,y\in \mathbb{Z}$ temos que $x\cdot y\in \mathbb{Z}$;

2)

Associativo: dados $x,y,z\in \mathbb{Z}$ temos que $\left(x\cdot y\right)\cdot z=x\cdot \left(y\cdot z\right)$;

3)

Elemento neutro: existe um elemento $1\in \mathbb{Z}$ tal que $x\cdot 1=1\cdot x=x$, para qualquer $x\in \mathbb{Z}$;

4)

Comutatividade: dados $x,y\in \mathbb{Z}$ temos que $x\cdot y=y\cdot x$.

Leis distributivas: $\forall <!--FUNCTION\; APPLICATION-->x,y,z\in \mathbb{Z}$

1)

$x\cdot \left(y+z\right)=x\cdot y+x\cdot z$;

2)

$\left(x+y\right)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$.

Como a operação de soma em $\mathbb{Z}$ satisfaz as condições de 1 a 4 acima decorre que $\left(\mathbb{Z},+\right)$ é um grupo aditivo, e por satisfazer a propriedade 5 dizemos que este grupo é abeliano. Como a operação de multiplicação em $\mathbb{Z}$ satisfaz é fechada (1) e associativa (2) e além disso satisfaz as leis distributivas decorre que $\mathbb{Z}$ é um anel. Por valer a comutatividade da multiplicação este anel é comutativo.