4.1 Operações em $\mathbb{N}$

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No conjunto dos números naturais, que vamos considerar aqui que contém o $0$ (zero) temos bem definida a operação de soma de dois elementos deste conjunto, pois dados $x$, $y\in \mathbb{N}$ temos que existe $z\in \mathbb{N}$ tal que $x+y=z$, e que $y+x=z$. Por exemplo, $2+3=5=3+2$. Sugestão ao leitor: pense em outros exemplos numéricos.

Neste conjunto temos um elemento neutro com relação a operação de soma que é o $0$ (zero), pois dado $x\in \mathbb{N}$, temos que $x+0=x=0+x$.

Mas um fato bem importante com relação a operação de soma em $\mathbb{N}$ é que neste conjunto os elementos não possuem inverso com relação a soma, pois dado $x\in \mathbb{N}$ não existe $y\in \mathbb{N}$ tal que $x+y=0$. Por exemplo, dado $3\in \mathbb{N}$ não existe $y\in \mathbb{N}$ tal que $3+y=0$. E ainda a “operação de subtração” também não está definida neste conjunto pois, $\left(4\right)-\left(6\right)=-2$ e $-2\notin \mathbb{N}$.

No conjunto dos números naturais, temos bem definida também a operação de multiplicação de dois elementos deste conjunto, pois dados $x$, $y\in \mathbb{N}$ temos que existe $z\in \mathbb{N}$ tal que $x\cdot y=z$, e que $y\cdot x=z$. Por exemplo, $2\cdot 3=6=3\cdot 2$. Sugestão ao leitor: pense em outros exemplos numéricos.

Neste conjunto temos um elemento neutro com relação a operação de multiplicação que é o $1$ (um), também chamado de unidade, pois dado $x\in \mathbb{N}$, temos que $x\cdot 1=x=1\cdot x$.

Mas um fato bem importante com relação a operação de multiplicação em $\mathbb{N}$ é que neste conjunto os elementos não possuem inverso com relação a multiplicação, pois dado $x\in \mathbb{N}$ não existe $y\in \mathbb{N}$ tal que $x\cdot y=1$. Por exemplo, dado $3\in \mathbb{N}$ não existe $y\in \mathbb{N}$ tal que $3\cdot y=1$. Além disso a “operação de divisão” também não está definida neste conjunto pois, $\left(1\right)÷\left(2\right)=0,5$ e $0,5\notin \mathbb{N}$.

Portanto em $\mathbb{N}$ as operações de adição $\left(+\right)$ e multiplicação $\left(\cdot \right)$ possuem as seguintes propriedades:

Soma $\left(+\right)$:

1)

Fechamento: dados $x,y\in \mathbb{N}$ temos que $x+y\in \mathbb{N}$;

2)

Associativo: dados $x,y,z\in \mathbb{N}$ temos que $\left(x+y\right)+z=x+\left(y+z\right)$;

3)

Elemento neutro: existe um elemento $0\in \mathbb{N}$ tal que $x+0=0+x=x$, para qualquer $x\in \mathbb{N}$;

4)

Comutatividade: dados $x,y\in \mathbb{N}$ temos que $x+y=y+x$.

Multiplicação $\left(\cdot \right)$:

1)

Fechamento: dados $x,y\in \mathbb{N}$ temos que $x\cdot y\in \mathbb{N}$;

2)

Associativo: dados $x,y,z\in \mathbb{N}$ temos que $\left(x\cdot y\right)\cdot z=x\cdot \left(y\cdot z\right)$;

3)

Elemento neutro: existe um elemento $1\in \mathbb{N}$ tal que $x\cdot 1=1\cdot x=x$, para qualquer $x\in \mathbb{N}$;

4)

Comutatividade: dados $x,y\in \mathbb{N}$ temos que $x\cdot y=y\cdot x$.

Leis distributivas: $\forall <!--FUNCTION\; APPLICATION-->x,y,z\in \mathbb{N}$

1)

$x\cdot \left(y+z\right)=x\cdot y+x\cdot z$;

2)

$\left(x+y\right)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$.