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Análise de Fourier - Um Livro Colaborativo

8.1 Propriedades


Teorema 8.1.1 (Linearidade ou superposição). Dadas duas funções f(t) e g(t) com transformadas de Fourier F(w) e G(w), respectivamente, e α e β duas constantes reais ou complexas, então

F αf(t) + βg(t) = αF{f(t)} + βF{g(t)} = αF(w) + βG(w) (8.1)

Demonstração. O resultado é direto da linearidade da integral: F αf(t) + βg(t) = αf(t) + βg(t) eiwtdt = αf(t)eiwtdt +βg(t)eiwtdt = αf(t)eiwtdt + βg(t)eiwtdt = αF(w) + βG(w)

Exemplo 8.1.1. As transformadas das funções f(t) = e|t| e g(t) = 1 2πet2 4 são F(w) = 2 w2+1 e G(w) = ew2, respectivamente. Logo,

F 5f(t) 3g(t) = 5 2 w2 + 1 3ew2 (8.2)

Teorema 8.1.2 (Transformada da derivada). Dada uma função diferenciável f(t) tal que

lim t±f(t) = 0 (8.3)

e sua transformada de Fourier F(w), então

F{f(t)} = iwF(w) (8.4)

Demonstração. De fato, usando integração por partes, temos F f(t) = f(t)eiwtdt = f(t)eiwt iwf(t)eiwtdt = iwf(t)eiwtdt = iwF(w)

Observação 8.1.1. Essa propriedade reflete o fato de que a transformada de Fourier decompõe a função f(t) em funções do tipo eiwt cuja derivada é iweiwt. De fato, esta propriedade poderia ter sido deduzida a partir da representação de f(t) em sua integral de Fourier, isto é:

f(t) = 1 2πF(w)eiwtdw. (8.5)

Diferenciando em t, obtemos

f(t) = 1 2πF(w)iweiwtdw = 1 2π iwF(w) eiwtdw. (8.6)

Exemplo 8.1.2. Considere a função f(t) = eat2, a > 0, e sua transformada de Fourier (ver exercício 6.2.2 da página 176):

F(w) = π aew2 4a (8.7)

Usando a propriedade 8.1.2, a transformada de Fourier da derivada f(t) = 2ateat2 é dada por:

F{2ateat2 } = iwF(w) = iwπ aew2 4a . (8.8)

Usando a linearidade, encontramos a transformada de Fourier da função teat2:

F{teat2 } = iw π 2aaew2 4a . (8.9)

Compare com o exercício 7.2.1 da página 195.

Observação 8.1.2. As derivadas de ordem superior são calculadas a partir da propriedade 8.1.2: F{f(t)} = F d dt f(t) = iwF f(t) = (iw)2F f(t) = (iw)2F(w).

De modo geral, F{f(n)(t)} = (iw)nF(w).

Teorema 8.1.3 (Deslocamento no eixo w). Dada uma função f(t) e sua transformada de Fourier F(w), então

F eatf(t) = F(w + ia). (8.10)

Demonstração. De fato, F eatf(t) = f(t)eateiwtdt = f(t)e(aiw)tdt = f(t)ei(ia+w)tdt = F(w + ia)

Exemplo 8.1.3. Do exemplo 8.1.2 temos que a transformada de Fourier da função f(t) = teat2, a > 0, é dada por

F(w) = iw π 2aaew2 4a . (8.11)

Logo, a transformada G(w) da função g(t) = tebtat2, b > 0, é dada por G(w) = F tebtat2 = F ebtteat2 = F(w + ib) = i(w + ib) π 2aae(w+ib)2 4a = (b iw) π 2aaew2+2wibb2 4a = w2 + b2ei arctanw b π 2aaew2b2 4a eiwb 2a = w2 + b2 π 2aaew2b2 4a eiwb 2a +arctanw b = |G(w)|eiϕ(w),

onde |G(w)| = π 2aaeb2 4a w2 + b2ew2 4a e ϕ(w) = wb 2a + arctan w b

Veja os diagramas de espectro de G(w) quando a = b = 1 na figura 8.1.


PIC PIC


Figura 8.1:


Teorema 8.1.4 (Deslocamento no eixo t). Dada uma função f(t) e sua transformada de Fourier F(w), então

F f(t a) = eiawF(w). (8.12)

Demonstração. De fato, F f(t a) = f(t a)eiwtdt = f(s)eiw(s+a)ds = f(s)eiwaeiwsds = eiwaf(s)eiwsds = eiawF(w)

Exemplo 8.1.4. Do exemplo 6.1.1 da página 159 temos que a transformada de Fourier da função f(t) = e|t| é dada por F(w) = 2 w2+1. Logo, a transformada de Fourier da função g(t) = e|t2| é

G(w) = 2 w2 + 1e2iw (8.13)

Observação 8.1.3. Um deslocamento real no tempo não altera o módulo da transformada de Fourier, pois |eiaw| = 1 sempre que a e w são reais.

Teorema 8.1.5 (Transformada da integral). Dada uma função integrável f(t) tal que sua transformada de Fourier F(w) satisfaça F(0) = 0, então

F tf(τ)dτ = 1 iwF(w). (8.14)

Demonstração. Definimos g(t) =tf(τ)dτ e, usando o teorema fundamental do cálculo, temos g(t) = f(t). Aplicamos a transformada de Fourier na igualdade e temos:
F{g(t)} = F{f(t)}, (8.15)

ou seja,

F{g(t)} = F(w). (8.16)

Observe que

lim tg(t) =f(τ)dτ =f(τ)ei0τdτ = F(0) = 0 (8.17)

e

lim tg(t) =f(τ)dτ = 0, (8.18)

portanto, podemos usar a propriedade 8.1.2 da transformada de Fourier da derivada e obter:

F{g(t)} = iwF{g(t)}. (8.19)

Assim,

F(w) = iwF tf(τ)dτ. (8.20)

Portanto,

F tf(τ)dτ = 1 iwF(w). (8.21)

Teorema 8.1.6 (Teorema da modulação). Dada uma função f(t) e sua transformada de Fourier F(w), então

F f(t) cos(w0t) = 1 2F(w w0) + 1 2F(w + w0), (8.22)

para w0 .

Demonstração. De fato, F f(t) cos(w0t) = F f(t) eiw0t + eiw0t 2 = f(t)eiw0t + eiw0t 2 eiwtdt = 1 2f(t)ei(ww0)tdt + 1 2f(t)ei(w0+w)tdt = 1 2F(w w0) + 1 2F(w + w0)

Exemplo 8.1.5. Considere a função f(t) = cos(w0t)ea|t|, a > 0. Podemos obter a transformada de Fourier de f(t) a partir da transformada de Fourier da função g(t) = ea|t|. Basta aplicar o teorema da modulação à função g(t), cuja transformada de Fourier é dada por G(w) = 2a w2+a2: F g(t) cos(w0t) = 1 2G(w w0) + 1 2G(w + w0) = 1 2 2a (w w0)2 + a2 + 1 2 2a (w + w0)2 + a2 = a (w w0)2 + a2 + a (w + w0)2 + a2

Teorema 8.1.7 (Teorema da convolução). Dadas duas funções f1(t) e f2(t) com suas respectivas transformadas de Fourier, F1(w) e F2(w), então

  • (Convolução no tempo)
    F{(f1 f2)(t)} = F1(w)F2(w), (8.23)
  • (Convolução na frequência)
    (F1 F2)(w) = 2πF{f1(t)f2(t)} (8.24)

    ou

    F1{(F 1 F2)(w)} = 2πf1(t)f2(t), (8.25)

onde indica a convolução de duas funções:

(f1 f2)(t) =f 1(τ)f2(t τ)dτ (8.26)

Demonstração.
  • Usando as definições de transformada de Fourier e convolução de duas funções, temos: F{(f1 f2)(t)} = (f 1 f2)(t)eiwtdt = f 1(τ)f2(t τ)dτeiwtdt = f 1(τ)f 2(t τ)eiwtdtdτ (8.27)

    Uma das integrais pode ser calculada fazendo uma mudança de variável: f 2(t τ)eiwtdt = f 2(s)eiw(s+τ)ds = eiwτf 2(s)eiwsds = eiwτF 2(w) (8.28)

    Substituindo a equação (8.28) na equação (8.27), temos F{(f1 f2)(t)} = f 1(τ)f 2(t τ)eiwtdtdτ = f 1(τ)eiwτF 2(w) dτ = F2(w) f 1(τ)eiwτ dτ = F1(w)F2(w)

  • Analogamente, usando as definições, temos: F1{(F 1 F2)(w)} = 1 2π(F 1 F2)(w)eiwtdw = 1 2π F 1(v)F2(w v)dveiwtdw = 1 2π F 1(v)F 2(w v)eiwtdwdv (8.29)

    Também, F 2(w v)eiwtdw = F 2(y)ei(y+v)tdy = eivtF 2(y)eiytdy = 2πeivtf 2(t) (8.30)

    Substituindo a equação (8.30) na equação (8.29), temos F1{(F 1 F2)(w)} = 1 2π F 1(v)F 2(w v)eiwtdwdv = 1 2πF 1(v)eivt2πf 2(t)dv = f2(t)F 1(v)eivtdv = 2πf1(t)f2(t)

Exemplo 8.1.6. Considere as funções f(t) = tet2 e g(t) = ea|t|, a > 0 e suas respectivas transformadas de Fourier F(w) = iwπ 2 ew2 4 e G(w) = 2a w2+a2. A transformada de Fourier da função

h(t) =f(t τ)g(τ)dτ =(t τ)e(tτ)2 ea|τ|dτ (8.31)

é calculada usando o teorema da convolução e é dada por

H(w) = F(w)G(w) = iwa π w2 + a2ew2 4 (8.32)

Teorema 8.1.8 (Conjugação). Dada uma função real f(t) e sua transformada de Fourier F(w), então

F(w)¯ = F(w) (8.33)

Demonstração. De fato, F(w)¯ = f(t)eiwtdt¯ = f(t)eiwt¯dt,poisf(t)¯ = f(t) = f(t)eiwtdt = f(t)ei(w)tdt = F(w)

Observação 8.1.4. Se f(t) não é uma função real, esta propriedade não se aplica.

Exemplo 8.1.7. Considere as funções f(t) = tet2 e sua transformada de Fourier F(w) = iwπ 2 ew2 4 . Então,

F(w) = iwπ 2 ew2 4 (8.34)

e

F(w)¯ = iwπ 2 ew2 4 ¯ = iwπ 2 ew2 4 . (8.35)

Teorema 8.1.9 (Inversão temporal). Dada uma função f(t) e sua transformada de Fourier F(w), então

F f(t) = F(w). (8.36)

Demonstração. F f(t) =f(t)eiwtdt

procedemos com a mudança de variáveis τ = t: F f(t) = f(t)eiwtdt = f(τ)eiwτ(dτ) = f(τ)eiwτdτ = f(τ)ei(w)τdτ = F(w)

Teorema 8.1.10 (Simetria ou dualidade). Dada uma função f(t) e sua transformada de Fourier F(w), então

f(w) = 1 2πF{F(t)} (8.37)

Demonstração. Da definição de transformada de Fourier, temos
f(t) = 1 2πF(w)eiwtdw (8.38)

Podemos trocas t e w e calcular f(w) em função de F(t):

f(w) = 1 2πF(t)eitwdt. (8.39)

Ou seja,

f(w) = 1 2πF(t)eitwdt = 1 2πF{F(t)}. (8.40)

Teorema 8.1.11 (Mudança de escala). Dada uma função f(t) e sua transformada de Fourier F(w), então

F{f(at)} = 1 |a|F w a ,a0. (8.41)

Demonstração. Da definição de transformada de Fourier, temos
F{f(at)} =f(at)eiwtdt (8.42)

Fazendo a mudança τ = at, distinguindo dois casos: a > 0 e a < 0. Para o caso a > 0, temos: F{f(at)} = f(at)eiwtdt = f(τ)eiwτ a dτ a = 1 af(τ)eiwτ a dτ

Para o caso a < 0, temos: F{f(at)} = f(at)eiwtdt = f(τ)eiwτ a dτ a = 1 af(τ)eiwτ a dτ

Em ambos os casos, temos: F{f(at)} = 1 |a|f(τ)eiwτ a dτ = 1 |a|F w a

Observação 8.1.5. A propriedade da inversão temporal (propriedade 8.1.9) é um caso particular desta propriedade quando a = 1.

Exercícios


E 8.1.1. O diagrama de magnitudes da transformada de Fourier F(w) de uma função f(t) é dado na figura (8.2). Esboce o diagrama de magnitudes da transformada de Fourier da função f(t).


PIC


Figura 8.2:


E 8.1.2. Faça o diagrama de espectro da transformada de Fourier do exemplo 8.1.4 da página 213.

Resposta.Ver figura abaixo.

PIC PIC

E 8.1.3. Em geral não é verdade que módulo da soma é igual a soma dos módulos, isto é, |x + y| = |x| + |y|, x,y .

  • Encontre um caso particular onde |x + y| = |x| + |y| com |x|0 e |y|0.
  • Encontre um caso particular onde |x + y| = 0 com |x|0 e |y|0. Mostre que, nesse caso, x = y.
  • Encontre um caso particular onde |x + y| = 1 com |x| = |y| = 1.
  • Mostre que |x + y| = |x| + |y| sempre que xy = 0.

Observe que não é possível, em geral, conhecer o diagrama de magnitudes da soma de duas funções, F(w) e G(w), conhecendo apenas seus diagramas de magnitudes. As fases precisam ser levadas em conta. Um exceção é quando, para todos w, ou F(w) = 0 ou G(w) = 0.

E 8.1.4. Mostre que, dada uma função f(t) e sua transformada de Fourier F(w), então

F f(t) sen (w0t) = i 2F(w + w0) i 2F(w w0), (8.43)

para w0 .

E 8.1.5. Considere uma função real f(t) tal que o diagrama de magnitude é dado na figura abaixo.

PIC

  • Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t a) onde a é uma constante real.
  • Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(2t).
  • Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t).
  • Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = 3f(t).
  • Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t) cos(1000t).
  • Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t) cos 2(1000t).
  • Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t) sen (1000t).
  • Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t)| sen (1000t)|. [Dica: Use a expansão em Série de Fourier do retificador de onda completa1 ]
  • Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t).
  • Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t) f(t).
  • Calcule o valor da energia do sinal dada por
    f(t)2dt. (8.44)
  • Calcule o módulo do valor médio do sinal dado por
    f(t)dt. (8.45)

Resposta.
  • F g(t) = F f(t a) = F f(t) eiaw F g(t) = |F(w)||eiaw| = |F(w)|

    Onde se usou a propriedade 8.1.4 Logo o diagrama de magnitude é o mesmo do de f(t).

  • F g(t) = F f(2t) = 1 2F w 2 F g(t) = 1 2 F w 2 .

    Onde se usou a propriedade 8.1.11.

    PIC

  • F g(t) = F f(t) = F w F g(t) = F w = F w¯ = F w.

    Onde se usou a propriedade 8.1.9 e, depois, 8.1.8.

    PIC

  • F g(t) = F 3f(t) = 3F w F g(t) = 3 F w.

    Onde se usou a propriedade 8.1.1.

  • F g(t) = F f(t) cos(1000t) = 1 2 F(w 1000) + F(w + 1000)

    PIC

  • F g(t) = F f(t) cos 2(1000t) = F f(t) 1 + cos(2000t) 2 = 1 2F(w) + 1 4 F(w 2000) + F(w + 2000)

    PIC

  • F g(t) = F f(t) sen (1000t) = i 2 F(w + 1000) F(w 1000)

    Veja o diagrama de magnitudes no gráfico abaixo.

  • g(t) = f(t)| sen (1000x)| = f(t) 2 π 4 π cos(2000x) 1 3 + cos(4000x) 3 5 + cos(6000x) 5 7 + (8.46)

    F{g(t)} = 2 πF(w) 2 3π(F(w + 2000) + F(w 2000)) 2 15π(F(w + 4000) + F(w 4000)) 2 35π(F(w + 6000) + F(w 6000)) +

    Veja o diagrama de magnitudes no gráfico abaixo.

    PIC

  • Usamos a propriedade 8.1.2 para obter F{g(t)} = iwF(w).

    Veja o diagrama de magnitudes no gráfico abaixo.

    PIC

  • F{g(t)} = F{f(t) f(t)} = F(w)2 |G(w)| = |F(w)|2.

    Onde se usou a propriedade da convolução 8.1.7. Veja o diagrama de magnitudes no gráfico abaixo.

    PIC

  • f(t)2dt = |f(t)|2dt = 1 2π|F(w)|2dw = 1 π025010 1 w 250 2dw = 100 π 10u2 250 du = 25000 π 01u2du = 25000 π u3 3 01dw = 25000 3π

  • f(t)dt = F(0) f(t)dt = |F(0)| = 10

E 8.1.6. Considere o sinal f(t) associado ao seguinte diagrama de espectro:

PIC

  • Calcule o valor de f(t)dt.
  • Obtenha o valor aproximado da frequência fundamental em Hz e identifique a nota.
  • Trace o diagrama de amplitudes do sinal g(t) = f(t) 5000
  • Trace o diagrama de amplitudes do sinal g(t) = f(t).
  • Trace o diagrama de amplitudes do sinal g(t) = f(t 2).
  • Trace o diagrama de amplitudes do sinal g(t) = f(1.12t), obtenha o valor aproximado da frequência fundamental em Hz e identifique a nota.
  • Calcule o valor da "taxa de aceleração", a > 0, para que o sinal g(t) = f(at) represente a nota sol na mesma oitava.

Resposta.
  • 0
  • ff = 2070rad/s = 329.6Hz, equivalente à nota mi.
  • O diagrama é dada na figura abaixo.

    PIC

  • Idêntico ao original.
  • Idêntico ao original.
  • Veja o diagrama abaixo.

    PIC

  • a = 392 329.6 = 1.19 (8.47)

E 8.1.7. Trace o gráfico das seguintes funções, calcule sua transformada de Fourier e trace o diagrama de magnitudes:

  • f(t) = e|t| cos(10t).
  • g(t) = et22 cos(10t).
  • h(t) = 0, t < 4, cos(10t), 4 t 4, 0, t > 4.

Resposta. Use o teorema da modulação. No caso c), considere h(t) = u(t 4) u(t + 4) cos(10t).

E 8.1.8. Considere uma aproximação do diagrama de espectro de magnitudes de uma nota tocada por um instrumento musical e representado por uma função f(t):

PIC

  • Identifique a frequência fundamental wf (em rad/s) e ff (em Hz).
  • Identifique a nota musical correspondente a acelerar em 1,5 a velocidade de reprodução do sinal.
  • Identifique a nota musical correspondente a modular o sinal na frequência 1110π rad/s (f(t) cos(1100πt)).
  • Identifique a nota musical correspondente à função f(2t).
  • Identifique a nota musical correspondente à função g(t) = f(t) + f(2t). Qual a sensação fisiológica produzida?

Resposta.
  • wf = 220π rad/s e ff = 110 Hz, equivalente ao Lá da escala 1.
  • Mi da escala 2.
  • Lá da escala 1.
  • Lá da escala 2.
  • Lá da escala 1. Percebe-se alteração na composição harmônica da nota, isto é, identicamos como uma alteração de timbre.

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