Propriedades

Análise de Fourier - Um Livro Colaborativo

8.1 Propriedades

Teorema 8.1.1 (Linearidade ou superposição). Dadas duas funções $f (t)$ e $g (t)$ com transformadas de Fourier $F (w)$ e $G (w)$ , respectivamente, e $α$ e $β$ duas constantes reais ou complexas, então

F \{α f (t) + β g (t)\} = α F {f (t)} + β F {g (t)} = α F (w) + β G (w)

(8.1)

Demonstração. O resultado é direto da linearidade da integral:

\begin{array}{rcl} F \{α f (t) + β g (t)\} & = & \int_{- \infty}^{\infty} (α f (t) + β g (t)) e^{- i w t} d t \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} α f (t) e^{- i w t} d t + \int_{- \infty}^{\infty} β g (t) e^{- i w t} d t \\ = & α \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- i w t} d t + β \int_{- \infty}^{\infty} g (t) e^{- i w t} d t \\ = & α F (w) + β G (w) \end{array}

$■$

Exemplo 8.1.1. As transformadas das funções $f (t) = e^{- | t |}$ e $g (t) = \frac{1}{2 \sqrt{π}} e^{- \frac{t^{2}}{4}}$ são $F (w) = \frac{2}{w^{2} + 1}$ e $G (w) = e^{- w^{2}}$ , respectivamente. Logo,

F \{5 f (t) - 3 g (t)\} = 5 \frac{2}{w^{2} + 1} - 3 e^{- w^{2}}

(8.2)

Teorema 8.1.2 (Transformada da derivada). Dada uma função diferenciável $f (t)$ tal que

\lim_{t \to \pm \infty} f (t) = 0

(8.3)

e sua transformada de Fourier $F (w)$ , então

F {f^{'} (t)} = i w F (w)

(8.4)

Demonstração. De fato, usando integração por partes, temos

\begin{array}{rcl} F \{f^{'} (t)\} & = & \int_{- \infty}^{\infty} f^{'} (t) e^{- i w t} d t \\ = & {[f (t) e^{- i w t}]}_{- \infty}^{\infty} - \int_{- \infty}^{\infty} - i w f (t) e^{- i w t} d t \\ = & i w \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- i w t} d t \\ = & i w F (w) \end{array}

$■$

Observação 8.1.1. Essa propriedade reﬂete o fato de que a transformada de Fourier decompõe a função $f (t)$ em funções do tipo $e^{i w t}$ cuja derivada é $i w e^{i w t}$ . De fato, esta propriedade poderia ter sido deduzida a partir da representação de $f (t)$ em sua integral de Fourier, isto é:

f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (w) e^{i w t} d w .

(8.5)

Diferenciando em $t$ , obtemos

f^{'} (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (w) i w e^{i w t} d w = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} [i w F (w)] e^{i w t} d w .

(8.6)

Exemplo 8.1.2. Considere a função $f (t) = e^{- a t^{2}}$ , $a > 0$ , e sua transformada de Fourier (ver exercício 6.2.2 da página 166):

F (w) = \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{a}} e^{- \frac{w^{2}}{4 a}}

(8.7)

Usando a propriedade 8.1.2, a transformada de Fourier da derivada $f^{'} (t) = - 2 a t e^{- a t^{2}}$ é dada por:

F {- 2 a t e^{- a t^{2}}} = i w F (w) = i w \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{a}} e^{- \frac{w^{2}}{4 a}} .

(8.8)

Usando a linearidade, encontramos a transformada de Fourier da função $t e^{- a t^{2}}$ :

F {t e^{- a t^{2}}} = - i w \frac{\sqrt{π}}{2 a \sqrt{a}} e^{- \frac{w^{2}}{4 a}} .

(8.9)

Compare com o exercício 7.2.1 da página 184.

Observação 8.1.2. As derivadas de ordem superior são calculadas a partir da propriedade 8.1.2: $\begin{array}{rcl} F {f^{″} (t)} & = & F \{\frac{d}{d t} (f^{'} (t))\} \\ = & i w F \{f^{'} (t)\} \\ = & {(i w)}^{2} F \{f (t)\} \\ = & {(i w)}^{2} F (w) . \end{array}$

De modo geral, $\begin{array}{rcl} F {f^{(n)} (t)} = {(i w)}^{n} F (w) . \end{array}$

Teorema 8.1.3 (Deslocamento no eixo $w$ ). Dada uma função $f (t)$ e sua transformada de Fourier $F (w)$ , então

F \{e^{a t} f (t)\} = F (w + i a) .

(8.10)

Demonstração. De fato,

\begin{array}{rcl} F \{e^{a t} f (t)\} & = & \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{a t} e^{- i w t} d t \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{(a - i w) t} d t \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- i (i a + w) t} d t \\ = & F (w + i a) \end{array}

$■$

Exemplo 8.1.3. Do exemplo 8.1.2 temos que a transformada de Fourier da função $f (t) = t e^{- a t^{2}}$ , $a > 0$ , é dada por

F (w) = - i w \frac{\sqrt{π}}{2 a \sqrt{a}} e^{- \frac{w^{2}}{4 a}} .

(8.11)

Logo, a transformada $G (w)$ da função $g (t) = t e^{b t - a t^{2}}$ , $b > 0$ , é dada por $\begin{array}{rcl} G (w) = F \{t e^{b t - a t^{2}}\} & = & F \{e^{b t} t e^{- a t^{2}}\} \\ = & F (w + i b) \\ = & - i (w + i b) \frac{\sqrt{π}}{2 a \sqrt{a}} e^{- \frac{{(w + i b)}^{2}}{4 a}} \\ = & (b - i w) \frac{\sqrt{π}}{2 a \sqrt{a}} e^{- \frac{w^{2} + 2 w i b - b^{2}}{4 a}} \\ = & \sqrt{w^{2} + b^{2}} e^{- i \arctan (\frac{w}{b})} \frac{\sqrt{π}}{2 a \sqrt{a}} e^{- \frac{w^{2} - b^{2}}{4 a}} e^{- i (\frac{w b}{2 a})} \\ = & \sqrt{w^{2} + b^{2}} \frac{\sqrt{π}}{2 a \sqrt{a}} e^{- \frac{w^{2} - b^{2}}{4 a}} e^{- i (\frac{w b}{2 a} + \arctan (\frac{w}{b}))} \\ = & | G (w) | e^{i ϕ (w)}, \end{array}$

onde $\begin{array}{rcl} | G (w) | = \frac{\sqrt{π}}{2 a \sqrt{a}} e^{- \frac{b^{2}}{4 a}} \sqrt{w^{2} + b^{2}} e^{- \frac{w^{2}}{4 a}} e ϕ (w) = - (\frac{w b}{2 a} + \arctan (\frac{w}{b})) \end{array}$

Veja os diagramas de espectro de $G (w)$ quando $a = b = 1$ na ﬁgura 8.1.

Figura 8.1:

Teorema 8.1.4 (Deslocamento no eixo $t$ ). Dada uma função $f (t)$ e sua transformada de Fourier $F (w)$ , então

F \{f (t - a)\} = e^{- i a w} F (w) .

(8.12)

Demonstração. De fato,

\begin{array}{rcl} F \{f (t - a)\} & = & \int_{- \infty}^{\infty} f (t - a) e^{- i w t} d t \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} f (s) e^{- i w (s + a)} d s \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} f (s) e^{- i w a} e^{- i w s} d s \\ = & e^{- i w a} \int_{- \infty}^{\infty} f (s) e^{- i w s} d s \\ = & e^{- i a w} F (w) \end{array}

$■$

Exemplo 8.1.4. Do exemplo 6.1.1 da página 151 temos que a transformada de Fourier da função $f (t) = e^{- | t |}$ é dada por $F (w) = \frac{2}{w^{2} + 1}$ . Logo, a transformada de Fourier da função $g (t) = e^{- | t - 2 |}$ é

G (w) = \frac{2}{w^{2} + 1} e^{- 2 i w}

(8.13)

Observação 8.1.3. Um deslocamento real no tempo não altera o módulo da transformada de Fourier, pois $| e^{- i a w} | = 1$ sempre que $a$ e $w$ são reais.

Teorema 8.1.5 (Transformada da integral). Dada uma função integrável $f (t)$ tal que sua transformada de Fourier $F (w)$ satisfaça $F (0) = 0$ , então

F \{\int_{- \infty}^{t} f (τ) d τ\} = \frac{1}{i w} F (w) .

(8.14)

Demonstração. Deﬁnimos

g (t) = \int_{- \infty}^{t} f (τ) d τ

e, usando o teorema fundamental do cálculo, temos

g^{'} (t) = f (t)

. Aplicamos a transformada de Fourier na igualdade e temos:

F {g^{'} (t)} = F {f (t)},

(8.15)

ou seja,

F {g^{'} (t)} = F (w) .

(8.16)

Observe que

\lim_{t \to \infty} g (t) = \int_{- \infty}^{\infty} f (τ) d τ = \int_{- \infty}^{\infty} f (τ) e^{i \cdot 0 \cdot τ} d τ = F (0) = 0

(8.17)

\lim_{t \to - \infty} g (t) = \int_{- \infty}^{- \infty} f (τ) d τ = 0,

(8.18)

portanto, podemos usar a propriedade 8.1.2 da transformada de Fourier da derivada e obter:

F {g^{'} (t)} = i w F {g (t)} .

(8.19)

Assim,

F (w) = i w F \{\int_{- \infty}^{t} f (τ) d τ\} .

(8.20)

Portanto,

F \{\int_{- \infty}^{t} f (τ) d τ\} = \frac{1}{i w} F (w) .

(8.21)

$■$

Teorema 8.1.6 (Teorema da modulação). Dada uma função $f (t)$ e sua transformada de Fourier $F (w)$ , então

F \{f (t) \cos (w_{0} t)\} = \frac{1}{2} F (w - w_{0}) + \frac{1}{2} F (w + w_{0}),

(8.22)

para $w_{0} \in ℝ$ .

Demonstração. De fato,

\begin{array}{rcl} F \{f (t) \cos (w_{0} t)\} & = & F \{f (t) (\frac{e^{i w_{0} t} + e^{- i w_{0} t}}{2})\} \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} f (t) \frac{e^{i w_{0} t} + e^{- i w_{0} t}}{2} e^{- i w t} d t \\ = & \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- i (w - w_{0}) t} d t + \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- i (w_{0} + w) t} d t \\ = & \frac{1}{2} F (w - w_{0}) + \frac{1}{2} F (w + w_{0}) \end{array}

$■$

Exemplo 8.1.5. Considere a função $f (t) = \cos (w_{0} t) e^{- a | t |}$ , $a > 0$ . Podemos obter a transformada de Fourier de $f (t)$ a partir da transformada de Fourier da função $g (t) = e^{- a | t |}$ . Basta aplicar o teorema da modulação à função $g (t)$ , cuja transformada de Fourier é dada por $G (w) = \frac{2 a}{w^{2} + a^{2}}$ : $\begin{array}{rcl} F \{g (t) \cos (w_{0} t)\} & = & \frac{1}{2} G (w - w_{0}) + \frac{1}{2} G (w + w_{0}) \\ = & \frac{1}{2} \frac{2 a}{{(w - w_{0})}^{2} + a^{2}} + \frac{1}{2} \frac{2 a}{{(w + w_{0})}^{2} + a^{2}} \\ = & \frac{a}{{(w - w_{0})}^{2} + a^{2}} + \frac{a}{{(w + w_{0})}^{2} + a^{2}} \end{array}$

Teorema 8.1.7 (Teorema da convolução). Dadas duas funções $f_{1} (t)$ e $f_{2} (t)$ com suas respectivas transformadas de Fourier, $F_{1} (w)$ e $F_{2} (w)$ , então

(Convolução no tempo)
$F {(f_{1} * f_{2}) (t)} = F_{1} (w) F_{2} (w),$ (8.23)
(Convolução na frequência)
$(F_{1} * F_{2}) (w) = 2 π F {f_{1} (t) f_{2} (t)}$ (8.24)

ou
$F^{- 1} {(F_{1} * F_{2}) (w)} = 2 π f_{1} (t) f_{2} (t),$ (8.25)

onde $*$ indica a convolução de duas funções:

(f_{1} * f_{2}) (t) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{1} (τ) f_{2} (t - τ) d τ

(8.26)

Demonstração.

Usando as deﬁnições de transformada de Fourier e convolução de duas funções, temos: $\begin{array}{rcl} F {(f_{1} * f_{2}) (t)} & = & \int_{- \infty}^{\infty} (f_{1} * f_{2}) (t) e^{- i w t} d t \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} (\int_{- \infty}^{\infty} f_{1} (τ) f_{2} (t - τ) d τ) e^{- i w t} d t \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} [f_{1} (τ) \int_{- \infty}^{\infty} f_{2} (t - τ) e^{- i w t} d t] d τ & (8.27) \end{array}$

Uma das integrais pode ser calculada fazendo uma mudança de variável: $\begin{array}{rcl} \int_{- \infty}^{\infty} f_{2} (t - τ) e^{- i w t} d t & = & \int_{- \infty}^{\infty} f_{2} (s) e^{- i w (s + τ)} d s \\ = & e^{- i w τ} \int_{- \infty}^{\infty} f_{2} (s) e^{- i w s} d s \\ = & e^{- i w τ} F_{2} (w) & (8.28) \end{array}$

Substituindo a equação (8.28) na equação (8.27), temos $\begin{array}{rcl} F {(f_{1} * f_{2}) (t)} & = & \int_{- \infty}^{\infty} [f_{1} (τ) \int_{- \infty}^{\infty} f_{2} (t - τ) e^{- i w t} d t] d τ \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} [f_{1} (τ) e^{- i w τ} F_{2} (w)] d τ \\ = & F_{2} (w) \int_{- \infty}^{\infty} [f_{1} (τ) e^{- i w τ}] d τ \\ = & F_{1} (w) F_{2} (w) \end{array}$
Analogamente, usando as deﬁnições, temos: $\begin{array}{rcl} F^{- 1} {(F_{1} * F_{2}) (w)} & = & \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} (F_{1} * F_{2}) (w) e^{i w t} d w \\ = & \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} (\int_{- \infty}^{\infty} F_{1} (v) F_{2} (w - v) d v) e^{i w t} d w \\ = & \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} [F_{1} (v) \int_{- \infty}^{\infty} F_{2} (w - v) e^{i w t} d w] d v & (8.29) \end{array}$

Também, $\begin{array}{rcl} \int_{- \infty}^{\infty} F_{2} (w - v) e^{i w t} d w & = & \int_{- \infty}^{\infty} F_{2} (y) e^{i (y + v) t} d y \\ = & e^{i v t} \int_{- \infty}^{\infty} F_{2} (y) e^{i y t} d y \\ = & 2 π e^{i v t} f_{2} (t) & (8.30) \end{array}$

Substituindo a equação (8.30) na equação (8.29), temos $\begin{array}{rcl} F^{- 1} {(F_{1} * F_{2}) (w)} & = & \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} [F_{1} (v) \int_{- \infty}^{\infty} F_{2} (w - v) e^{i w t} d w] d v \\ = & \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F_{1} (v) e^{i v t} 2 π f_{2} (t) d v \\ = & f_{2} (t) \int_{- \infty}^{\infty} F_{1} (v) e^{i v t} d v \\ = & 2 π f_{1} (t) f_{2} (t) \end{array}$

$■$

Exemplo 8.1.6. Considere as funções $f (t) = t e^{- t^{2}}$ e $g (t) = e^{- a | t |}$ , $a > 0$ e suas respectivas transformadas de Fourier $F (w) = - i w \frac{\sqrt{π}}{2} e^{- \frac{w^{2}}{4}}$ e $G (w) = \frac{2 a}{w^{2} + a^{2}}$ . A transformada de Fourier da função

h (t) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t - τ) g (τ) d τ = \int_{- \infty}^{\infty} (t - τ) e^{- {(t - τ)}^{2}} e^{- a | τ |} d τ

(8.31)

é calculada usando o teorema da convolução e é dada por

H (w) = F (w) G (w) = - i w a \frac{\sqrt{π}}{w^{2} + a^{2}} e^{- \frac{w^{2}}{4}}

(8.32)

Teorema 8.1.8 (Conjugação). Dada uma função real $f (t)$ e sua transformada de Fourier $F (w)$ , então

\bar{F (w)} = F (- w)

(8.33)

Demonstração. De fato,

\begin{array}{rcl} \bar{F (w)} & = & \bar{\int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- i w t} d t} \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} f (t) \bar{e^{- i w t}} d t, p o i s \bar{f (t)} = f (t) \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{i w t} d t \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- i (- w) t} d t \\ = & F (- w) \end{array}

$■$

Observação 8.1.4. Se $f (t)$ não é uma função real, esta propriedade não se aplica.

Exemplo 8.1.7. Considere as funções $f (t) = t e^{- t^{2}}$ e sua transformada de Fourier $F (w) = - i w \frac{\sqrt{π}}{2} e^{- \frac{w^{2}}{4}}$ . Então,

F (- w) = i w \frac{\sqrt{π}}{2} e^{- \frac{w^{2}}{4}}

(8.34)

\bar{F (w)} = \bar{- i w \frac{\sqrt{π}}{2} e^{- \frac{w^{2}}{4}}} = i w \frac{\sqrt{π}}{2} e^{- \frac{w^{2}}{4}} .

(8.35)

Teorema 8.1.9 (Inversão temporal). Dada uma função $f (t)$ e sua transformada de Fourier $F (w)$ , então

F \{f (- t)\} = F (- w) .

(8.36)

Demonstração.

\begin{array}{rcl} F \{f (- t)\} = \int_{- \infty}^{\infty} f (- t) e^{- i w t} d t \end{array}

procedemos com a mudança de variáveis $τ = - t$ : $\begin{array}{rcl} F \{f (- t)\} & = & \int_{- \infty}^{\infty} f (- t) e^{- i w t} d t \\ = & \int_{\infty}^{- \infty} f (τ) e^{i w τ} (- d τ) \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} f (τ) e^{i w τ} d τ \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} f (τ) e^{- i (- w) τ} d τ \\ = & F (- w) \end{array}$

$■$

Teorema 8.1.10 (Simetria ou dualidade). Dada uma função $f (t)$ e sua transformada de Fourier $F (w)$ , então

f (- w) = \frac{1}{2 π} F {F (t)}

(8.37)

Demonstração. Da deﬁnição de transformada de Fourier, temos

f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (w) e^{i w t} d w

(8.38)

Podemos trocas $t$ e $w$ e calcular $f (w)$ em função de $F (t)$ :

f (w) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (t) e^{i t w} d t .

(8.39)

Ou seja,

f (- w) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (t) e^{- i t w} d t = \frac{1}{2 π} F {F (t)} .

(8.40)

$■$

Teorema 8.1.11 (Mudança de escala). Dada uma função $f (t)$ e sua transformada de Fourier $F (w)$ , então

F {f (a t)} = \frac{1}{| a |} F (\frac{w}{a}), \forall a \neq 0 .

(8.41)

Demonstração. Da deﬁnição de transformada de Fourier, temos

F {f (a t)} = \int_{- \infty}^{\infty} f (a t) e^{- i w t} d t

(8.42)

Fazendo a mudança $τ = a t$ , distinguindo dois casos: $a > 0$ e $a < 0$ . Para o caso $a > 0$ , temos: $\begin{array}{rcl} F {f (a t)} & = & \int_{- \infty}^{\infty} f (a t) e^{- i w t} d t \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} f (τ) e^{- \frac{i w τ}{a}} \frac{d τ}{a} \\ = & \frac{1}{a} \int_{- \infty}^{\infty} f (τ) e^{- \frac{i w τ}{a}} d τ \end{array}$

Para o caso $a < 0$ , temos: $\begin{array}{rcl} F {f (a t)} & = & \int_{- \infty}^{\infty} f (a t) e^{- i w t} d t \\ = & \int_{\infty}^{- \infty} f (τ) e^{- \frac{i w τ}{a}} \frac{d τ}{a} \\ = & - \frac{1}{a} \int_{- \infty}^{\infty} f (τ) e^{- \frac{i w τ}{a}} d τ \end{array}$

Em ambos os casos, temos: $\begin{array}{rcl} F {f (a t)} & = & \frac{1}{| a |} \int_{- \infty}^{\infty} f (τ) e^{- \frac{i w τ}{a}} d τ \\ = & \frac{1}{| a |} F (\frac{w}{a}) \end{array}$

$■$

Observação 8.1.5. A propriedade da inversão temporal (propriedade 8.1.9) é um caso particular desta propriedade quando $a = - 1$ .

Exercícios

E 8.1.1. O diagrama de magnitudes da transformada de Fourier $F (w)$ de uma função $f (t)$ é dado na ﬁgura (8.2). Esboce o diagrama de magnitudes da transformada de Fourier da função $f^{'} (t)$ .

Figura 8.2:

E 8.1.2. Faça o diagrama de espectro da transformada de Fourier do exemplo 8.1.4 da página 203.

Resposta.Ver ﬁgura abaixo.

E 8.1.3. Em geral não é verdade que módulo da soma é igual a soma dos módulos, isto é, $| x + y | = | x | + | y |$ , $x, y \in ℂ$ .

Encontre um caso particular onde $| x + y | = | x | + | y |$ com $| x | \neq 0$ e $| y | \neq 0$ .
Encontre um caso particular onde $| x + y | = 0$ com $| x | \neq 0$ e $| y | \neq 0$ . Mostre que, nesse caso, $x = - y$ .
Encontre um caso particular onde $| x + y | = 1$ com $| x | = | y | = 1$ .
Mostre que $| x + y | = | x | + | y |$ sempre que $x y = 0$ .

Observe que não é possível, em geral, conhecer o diagrama de magnitudes da soma de duas funções, $F (w)$ e $G (w)$ , conhecendo apenas seus diagramas de magnitudes. As fases precisam ser levadas em conta. Um exceção é quando, para todos $w$ , ou $F (w) = 0$ ou $G (w) = 0$ .

E 8.1.4. Mostre que, dada uma função $f (t)$ e sua transformada de Fourier $F (w)$ , então

F \{f (t) sen (w_{0} t)\} = \frac{i}{2} F (w + w_{0}) - \frac{i}{2} F (w - w_{0}),

(8.43)

para $w_{0} \in ℝ$ .

E 8.1.5. Considere uma função real $f (t)$ tal que o diagrama de magnitude é dado na ﬁgura abaixo.

Trace o diagrama de magnitude do espectro de $g (t) = f (t - a)$ onde $a$ é uma constante real.
Trace o diagrama de magnitude do espectro de $g (t) = f (2 t)$ .
Trace o diagrama de magnitude do espectro de $g (t) = f (- t)$ .
Trace o diagrama de magnitude do espectro de $g (t) = 3 f (t)$ .
Trace o diagrama de magnitude do espectro de $g (t) = f (t) \cos (1000 t)$ .
Trace o diagrama de magnitude do espectro de $g (t) = f (t) \cos^{2} (1000 t)$ .
Trace o diagrama de magnitude do espectro de $g (t) = f (t) sen (1000 t)$ .
Trace o diagrama de magnitude do espectro de $g (t) = f (t) | sen (1000 t) |$ . [Dica: Use a expansão em Série de Fourier do retiﬁcador de onda completa¹ ]
Trace o diagrama de magnitude do espectro de $g (t) = f^{'} (t)$ .
Trace o diagrama de magnitude do espectro de $g (t) = f (t) * f (t)$ .
Calcule o valor da energia do sinal dada por
$\int_{- \infty}^{\infty} f {(t)}^{2} d t .$ (8.44)
Calcule o módulo do valor médio do sinal dado por
$|\int_{- \infty}^{\infty} f (t) d t| .$ (8.45)

Resposta.

E 8.1.6. Considere o sinal $f (t)$ associado ao seguinte diagrama de espectro:

Calcule o valor de $\int_{- \infty}^{\infty} f (t) d t$ .
Obtenha o valor aproximado da frequência fundamental em $H z$ e identiﬁque a nota.
Trace o diagrama de amplitudes do sinal $g (t) = \frac{f^{'} (t)}{5000}$
Trace o diagrama de amplitudes do sinal $g (t) = f (- t)$ .
Trace o diagrama de amplitudes do sinal $g (t) = f (t - 2)$ .
Trace o diagrama de amplitudes do sinal $g (t) = f (1.12 t)$ , obtenha o valor aproximado da frequência fundamental em $H z$ e identiﬁque a nota.
Calcule o valor da "taxa de aceleração", $a > 0$ , para que o sinal $g (t) = f (a t)$ represente a nota sol na mesma oitava.

Resposta.

0
$f_{f} = 2070 r a d / s = 329.6 H z$ , equivalente à nota mi.
O diagrama é dada na ﬁgura abaixo.
Idêntico ao original.
Idêntico ao original.
Veja o diagrama abaixo.
$a = \frac{392}{329.6} = 1.19$ (8.47)

E 8.1.7. Trace o gráﬁco das seguintes funções, calcule sua transformada de Fourier e trace o diagrama de magnitudes:

$f (t) = e^{- | t |} \cos (10 t)$ .
$g (t) = e^{- t^{2} ∕ 2} \cos (10 t)$ .
$h (t) = \{\begin{matrix} 0, & t < - 4, \\ \cos (10 t), & - 4 \leq t \leq 4, \\ 0, & t > 4 . \end{matrix}$

Resposta. Use o teorema da modulação. No caso c), considere

h (t) = [u (t - 4) - u (t + 4)] \cos (10 t)

E 8.1.8. Considere uma aproximação do diagrama de espectro de magnitudes de uma nota tocada por um instrumento musical e representado por uma função $f (t)$ :

Identiﬁque a frequência fundamental $w_{f}$ (em rad/s) e $f_{f}$ (em Hz).
Identiﬁque a nota musical correspondente a acelerar em $1, 5$ a velocidade de reprodução do sinal.
Identiﬁque a nota musical correspondente a modular o sinal na frequência $1110 π$ rad/s ( $f (t) \cos (1100 π t)$ ).
Identiﬁque a nota musical correspondente à função $f (2 t)$ .
Identiﬁque a nota musical correspondente à função $g (t) = f (t) + f (2 t)$ . Qual a sensação ﬁsiológica produzida?

Resposta.

$w_{f} = 220 π$ rad/s e $f_{f} = 110$ Hz, equivalente ao Lá da escala 1.
Mi da escala 2.
Lá da escala 1.
Lá da escala 2.
Lá da escala 1. Percebe-se alteração na composição harmônica da nota, isto é, identicamos como uma alteração de timbre.

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