5.1 A função Delta de Dirac

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Muitos fenômenos físicos exigem a representação de uma força muito grande em um intervalo de tempo muito pequeno, por exemplo:

• um circuito elétrico recebe uma força eletromotriz grande em um curto intervalo de tempo.
• um sistema massa-mola é atingido por uma martelo.
• uma bola de futebol parada recebe um chute, ou seja, uma força quase instantânea, que a coloca em movimento.
• um avião é atingido por um raio.

Para representar essa força, vamos tomar a função pulso unitário em um curto intervalo de tempo $\left[-𝜖,𝜖\right]$ em torno da origem, isto é, um pulso com integral unitária:

$${\delta }_{𝜖}\left(t\right)=\frac{1}{2𝜖}\left(u\left(t+𝜖\right)-u\left(t-𝜖\right)\right)=\left\{\begin{array}{cc}0,\hfill & t<-𝜖\hfill \\ \frac{1}{2𝜖},\hfill & -𝜖<t<𝜖\hfill \\ 0,\hfill & t>𝜖.\hfill \end{array}\right.$$

(5.1)

Um pulso unitário em torno de $t=a$ é representado por

$${\delta }_{𝜖}\left(t-a\right)=\frac{1}{2𝜖}\left(u\left(t-\left(a-𝜖\right)\right)-u\left(t-\left(a+𝜖\right)\right)\right)=\left\{\begin{array}{cc}0,\hfill & t<a-𝜖\hfill \\ \frac{1}{2𝜖},\hfill & a-𝜖<t<a+𝜖\hfill \\ 0,\hfill & t>a+𝜖.\hfill \end{array}\right.$$

(5.2)

Observe que ${\mathrm{\int \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_{-\infty }^{\infty }{\delta }_{𝜖}\left(t-a\right)=1$ para qualquer $𝜖>0$. A figura 5.1 apresenta o gráfico de ${\delta }_{𝜖}\left(t-a\right)$ para $a>0$ e $𝜖=1$, $𝜖=\frac{1}{2}$, $𝜖=\frac{1}{4}$, $𝜖=\frac{1}{8}$ e $𝜖=\frac{1}{12}$. A função que representa uma grande força instantânea é chamada de função impulso ou função Delta de Dirac e pode ser definida pelo limite das funções pulsos:

$$\delta \left(t-a\right)=\underset{𝜖\to 0}{\lim <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}{\delta }_{𝜖}\left(t-a\right).$$

(5.3)

Este limite não pode ser interpretado pontualmente, isto é, como o limite usual de funções reais, mas apenas no contexto de uma integral, como veremos. A figura 5.1 apresenta o gráfico de ${\delta }_{𝜖}\left(t-a\right)$ quando $𝜖$ diminui e uma representação gráfica para $\delta \left(t-a\right)$.

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A função Impulso é zero em todo ponto, exceto em $t=a$:

$$\delta \left(t-a\right)=\left\{\begin{array}{cc}0,\hfill & t\ne a\hfill \\ \infty ,\hfill & t=a\hfill \end{array}\right.$$

(5.5)

e

$${\int \; <!--nolimits-->}_{-\infty }^{\infty }\delta \left(t-a\right)dt=1$$

(5.6)

A função Delta de Dirac deve ser sempre compreendida como o limite de funções reais no contexto de uma integração, isto conduz à chamada propriedade da filtragem, que define totalmente a Delta da Dirac: Se $f\left(t\right)$ for um função contínua em torno de $t=a$, então

$${\int \; <!--nolimits-->}_{-\infty }^{\infty }\delta \left(t-a\right)f\left(t\right)dt=f\left(a\right).$$

(5.7)

Para chegar a esta conclusão, definimos $F\left(t\right)={\mathrm{\int \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_a^{t}f\left(\tau \right)d\tau$ e calculamos: $$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_{-\infty }^{\infty }\delta \left(t-a\right)f\left(t\right)dt& =& \underset{𝜀\to 0+}{\lim <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}{\int \; <!--nolimits-->}_{-\infty }^{\infty }{\delta }_{𝜀}\left(t-a\right)f\left(t\right)dt& \\ & =& \frac{1}{2𝜀}{\int \; <!--nolimits-->}_{-𝜀}^{𝜀}f\left(t\right)dt& \\ & =& \frac{F\left(𝜀\right)-F\left(-𝜀\right)}{2𝜀}& \\ & =& F^{\prime }\left(0\right)=f\left(a\right).& \end{array}$$

5.1.1 Delta de Dirac como derivada distribucional da função Heaviside

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Na equação (5.2) definimos a função Delta de Dirac como

$$\delta \left(t-a\right)=\underset{𝜖\to 0}{\lim <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}\frac{1}{2𝜖}\left(u\left(t-\left(a-𝜖\right)\right)-u\left(t-\left(a+𝜖\right)\right)\right).$$

(5.8)

Por outro lado, usamos a definição de derivada para escrever

$$\underset{𝜖\to 0}{\lim <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}\frac{1}{2𝜖}\left(u\left(\left(t-a\right)+𝜖\right))-u\left(\left(t-a\right)-𝜖\right))\right)=\frac{d}{dt}u\left(t-a\right)$$

(5.9)

ou seja,

$$\delta \left(t-a\right)=\frac{d}{dt}u\left(t-a\right).$$

(5.10)

Observe que as funções de Heaviside e de Dirac não são funções no sentido do cálculo diferencial e integral. Naturalmente, a derivada acima também vale somente num sentido generalizado, mas é coerente quando olhamos a função de Heaviside como limite de funções rampas (ver figura 4.4), pois na origem a derivada tende ao infinito. A transformada de Laplace de função Delta de Dirac é obtido pela propriedade da filtragem dada na equação (5.7):

$$\mathcal{L}\left\{\delta \left(t-a\right)\right\}={\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }\delta \left(t-a\right)e^{-st}dt=e^{-as}.$$

(5.11)

Exercícios

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