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Transformada de Laplace - Um Livro Colaborativo
Muitos fenômenos físicos exigem a representação de uma força muito grande em um intervalo de tempo muito pequeno, por exemplo:
Para representar essa força, vamos tomar a função pulso unitário em um curto intervalo de tempo em torno da origem, isto é, um pulso com integral unitária:
(5.1) |
Um pulso unitário em torno de é representado por
(5.2) |
Observe que para qualquer . A figura 5.1 apresenta o gráfico de para e , , , e . A função que representa uma grande força instantânea é chamada de função impulso ou função Delta de Dirac e pode ser definida pelo limite das funções pulsos:
(5.3) |
Este limite não pode ser interpretado pontualmente, isto é, como o limite usual de funções reais, mas apenas no contexto de uma integral, como veremos. A figura 5.1 apresenta o gráfico de quando diminui e uma representação gráfica para .
Observação 5.1.1. A função delta de Dirac pode ser definida como limite de outras sequências de funções com propriedades análogas a sequência de pulsos. Por exemplo, podemos definir como limite das funções
(5.4) |
A função Impulso é zero em todo ponto, exceto em :
(5.5) |
e
(5.6) |
A função Delta de Dirac deve ser sempre compreendida como o limite de funções reais no contexto de uma integração, isto conduz à chamada propriedade da filtragem, que define totalmente a Delta da Dirac: Se for um função contínua em torno de , então
(5.7) |
Para chegar a esta conclusão, definimos e calculamos:
Na equação (5.2) definimos a função Delta de Dirac como
(5.8) |
Por outro lado, usamos a definição de derivada para escrever
(5.9) |
ou seja,
(5.10) |
Observe que as funções de Heaviside e de Dirac não são funções no sentido do cálculo diferencial e integral. Naturalmente, a derivada acima também vale somente num sentido generalizado, mas é coerente quando olhamos a função de Heaviside como limite de funções rampas (ver figura 4.4), pois na origem a derivada tende ao infinito. A transformada de Laplace de função Delta de Dirac é obtido pela propriedade da filtragem dada na equação (5.7):
(5.11) |
E 5.1.2. Considere as funções e dadas por
onde é um parâmetro positivo.
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