A função de Heaviside

Transformada de Laplace - Um Livro Colaborativo

4.3 A função de Heaviside

A função de Heaviside ou função degrau unitário é nula para argumento negativo e vale 1 para argumento positivo. Quando o argumento é zero a função não precisa estar deﬁnida (ou pode-se deﬁnir qualquer valor, dependendo do contexto, por exemplo $1 ∕ 2$ ). Observe que esta é uma função contínua por partes:

u (t) = \{\begin{matrix} 0, & t < 0 \\ 1, & t > 0 . \end{matrix}

(4.34)

A função de Heaviside com descontinuidade em $t = a$ é da forma

u (t - a) = \{\begin{matrix} 0, & t < a \\ 1, & t > a . \end{matrix}

(4.35)

A ﬁgura 4.3 apresenta os gráﬁcos de $u (t)$ e $u (t - a)$ para $a > 0$ .

Figura 4.3:

Observe que a representação gráﬁca em $t = a$ não está com o rigor matemático para funções, pois deveria estar esboçado bolinhas abertas indicando que em $t = a$ a função não está deﬁnida. Esse tipo de representação gráﬁco é usado no contexto de transformada de Laplace. Quando realmente for necessário deﬁnir um transição em $t = 0$ , toma-se uma aproximação linear e contínua para a função de Heaviside, chamada de função rampa:

g_{𝜖} (t) = \{\begin{matrix} 0, & t < - 𝜖 \\ \frac{1}{2 𝜖} t + \frac{1}{2}, & - 𝜖 \leq t \leq 𝜖 \\ 1, & t > 𝜖, \end{matrix}

(4.36)

para $𝜖 < < 1$ . A ﬁgura 4.4 ilustra o gráﬁco de $g_{𝜖} (t)$ para $𝜖 = 1 ∕ 2$ .

Figura 4.4:

A função de Heaviside é o limite de $g_{𝜖} (t)$ se $t \neq 0$ :

\lim_{𝜖 \to 0} g_{𝜖} (t) = u (t), t \neq 0 .

(4.37)

Uma função importante em aplicações é a função pulso, deﬁnida por:

f_{p} (t) = \{\begin{matrix} 0, & t < a \\ 1, & a < t < b \\ 0, & t > b ., \end{matrix}

(4.38)

com $a < b$ A ﬁgura 4.5 apresenta uma representação gráﬁca para a função pulso.

Figura 4.5:

A função pulso normalmente é representada em termos da diferença de duas funções de Heaviside:

f_{p} (t) = u (t - a) - u (t - b), a < b .

(4.39)

A função pulso geralmente indica uma chave “liga-desliga”. Por exemplo, o produto $f_{p} (t) f (t)$ signiﬁca que $f$ estava “desligada” para $t < a$ , $f$ foi “ligada” em $t = a$ e “desligada” em $t = b$ . Analogamente, o produto $u (t - a) f (t)$ indica que a função foi ligada em $t = a$ . Observe o gráﬁco de $u (t - 1) sen (t)$ na ﬁgura 4.6.

Figura 4.6: Gráﬁco da função

u (t - 1) sen (t)

Exemplo 4.3.1. Representar algebricamente em termos da função de Heaviside a função dada no gráﬁco da ﬁgura 4.7.

Figura 4.7:

Observe que podemos representar $f (t)$ da seguinte forma:

f (t) = \{\begin{matrix} 0, & t < 1 \\ 2, & 1 < t < 3 \\ - 3, & 3 < t < 5 \\ 0, & t > 5 . \end{matrix}

(4.40)

Para representar em termos da função de Heaviside, olhe para o gráﬁco pensando em dois pulsos: $2 (u (t - 1) - u (t - 3))$ e $- 3 (u (t - 3) - u (t - 5))$ . A soma deles é a função desejada:

f (t) = 2 (u (t - 1) - u (t - 3)) - 3 (u (t - 3) - u (t - 5)) .

(4.41)

A transformada de Laplace da função de Heaviside é obtida direto da deﬁnição. Primeiro considere $a \geq 0$ : $\begin{array}{rcl} L {u (t - a)} & = & \int_{0}^{\infty} u (t - a) e^{- s t} d t \\ = & \int_{a}^{\infty} e^{- s t} d t \\ = & {\frac{1}{- s} e^{- s t}|}_{a}^{\infty} = \frac{e^{- a s}}{s} . & (4.42) \end{array}$

Se $a < 0$ , então

L {u (t - a)} = L {1} = \frac{1}{s} .

(4.43)

Exercícios

E 4.3.1. Esboce o gráﬁco da função $f (t) = (u (t) - u (t - 2 π)) sen (t)$ .

E 4.3.2. Escreva uma expressão em termos da função de Heaviside para a função dada no gráﬁco 4.8.

Figura 4.8:

E 4.3.3. Esboce o gráﬁco das seguintes funções:

$(t - π) u (t - π)$
$t u (t - 2)$
$(sen t) u (t - π)$
$f (t) = u (t - 1) + 3 u (t - 3) - 4 u (t - 5)$
$f (t) = t u (t) + (t^{2} - t) u (t - 1) + (6 - t - t^{2}) u (t - 2) + (t - 6) u (t - 6)$
$f (t) = {[u (t) + u (t - 1)]}^{2}$
$f (t) = u (t - 1) [1 - u (t - 2)]$

Resposta.

$(t - π) u (t - π)$
$t u (t - 2)$
$(sen t) u (t - π)$
$f (t) = u (t - 1) + 3 u (t - 3) - 4 u (t - 5)$
$f (t) = t u (t) + (t^{2} - t) u (t - 1) + (6 - t - t^{2}) u (t - 2) + (t - 6) u (t - 6)$
$f (t) = {[u (t) + u (t - 1)]}^{2} = u (t) + 3 u (t - 1)$
$f (t) = u (t - 1) [1 - u (t - 2)] = u (t - 1) - u (t - 2)$

E 4.3.4. Escreva uma expressão para cada função em termos da função de Heaviside.

Resposta.

$f (t) = u (t - 1) - 3 u (t - 3) + 2 u (t - 5)$
$f (t) = t u (t) + (1 - t) u (t - 1) + (- \frac{3}{2} t + \frac{9}{2}) u (t - 3) + (\frac{3}{2} t - \frac{11}{2}) u (t - 5)$
$f (t) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} u (t - n)$
$f (t) = \sum_{n = 0}^{\infty} u (t - 2 n)$

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