5.5 Problemas na origem

Para entender melhor o fenômeno surgido no problema do medicamento em que a condição inicial não parece ser satisfeita, vamos considerar um problema um pouco mais simples, dado pelo seguinte problema de valor inicial:

Tomando a Transformada de Laplace, temos:

ou seja, $Y\left(s\right)=\frac{1}{s+1}$, o que implica

Observamos que $y\left(0\right)=1\ne 0$, ou seja, a condição inicial não é satisfeita. Para entendermos o que está acontecendo, devemos lembrar que a Transformada de Laplace só produz a solução para $t>0$ e interpretar $y\left(t\right)$ como

Desta forma $y\left(0\right)$ simplesmente não está definido. De fato, para compreender esse comportamento, vamos definir um problema auxiliar colocando no lugar da função delta de Dirac uma função pulso:

onde $𝜀$ é uma constante positiva pequena. Sabemos que o termo

converge para $\delta \left(t\right)$ quando $𝜀\to 0+$. Aplicando a Transformada de Laplace e resolvendo para $Y\left(s\right)$, temos:

ou seja,

Esta solução pode ser escrita como uma função contínua:

Para $𝜀>0$ pequeno podemos usar a seguinte aproximação:

Assim, temos:

Ou seja, existe uma pequena região de transição entre $0$ e $𝜀$ onde a solução $y\left(t\right)$ sobe rapidamente. O gráfico apresentado na figura 5.12 mostra o comportamento de $y\left(t\right)$ para $𝜀=0.2$, $𝜀=0.1$ e $𝜀=0.05$ em azul, vermelho e verde, respectivamente, assim como a solução limite $e^{-t}u\left(t\right)$ em preto.

Exercícios